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1.5不等式证明的基本方法,1.5.1比较法,1.理解和掌握比较法证明不等式的依据. 2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤. 3.通过学习比较法证明不等式,培养学生对转化思想的理解和应用.,比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种,【做一做1】 设m=a+2b,n=a+b2+1,则() A.mnB.mn C.mnD.mn 解析:n-m=b2+1-2b=(b-1)20,nm. 答案:D 【做一做2】 下列命题中,是真命题的有(),A.B. C.D. 答案:A,1.用作差比较法证明不等式的一般步骤是什么? 剖析:用作差比较法证明不等式的一般步骤是:(1)作差:把不等式的左、右两边作差,可以是左边减右边,也可以是右边减左边;(2)变形:把这个差变化为易于判断正负的形式,而不必考虑差的值是多少,变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等;(3)判断差的符号:主要依据差的最后变形的结果来判断;(4)下结论:肯定所证明的不等式成立.,2.作商比较法中的符号问题如何解决?,断.否则,结论将是错误的.对于此类问题,分为含参数变量类的和大小固定的两种,因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测,进而给出一定的理性推理或证明过程.,题型一,题型二,题型三,题型四,用作差比较法证明不等式,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“差式”是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论.,题型一,题型二,题型四,题型三,用作商比较法证明不等式 【例2】 已知abc0,求证:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b. 分析:证明这类含幂指数乘积形式的不等式,往往通过作商与1比较大小来证明. 证明:由abc0,得ac+bbc+aca+b0. 所证不等式左边除以右边,得,题型一,题型二,题型四,题型三,反思证明此题易出现在不讨论ab+cbc+aca+b0的前提下,就开始作商;或在未得到a-b0, ,就得出商大于1,这些都是解题不严谨的表现,解题时要注意这一点. 一般地,要比较的两个解析式均为正值时,可利用作商的方法比较其大小,如果两个解析式均为负值时,可用同样的方法比较其绝对值的大小.,题型一,题型二,题型三,题型四,比较法的实际应用 【例3】 已知买8千克胡萝卜和10千克白菜的钱小于22元,而买12千克胡萝卜和6千克白菜的钱大于24元,问买2千克胡萝卜与3千克白菜的钱哪个更多些? 分析:设每千克胡萝卜和每千克白菜的钱分别为a元和b元,根据条件列出a,b间的关系式,比较2a与3b的大小即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思应用不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决.在实际应用不等关系问题时,常用比较法来判断数的大小关系,若是选择题或填空题,则可用特殊值加以判断.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:作差后对差式变形不恰当,使判断符号的过程含糊不清. 【例4】 判断函数f(x)=x3在R上的单调性. 错解:设x1,x2是R上的任意两个数,且x1f(x1). f(x)=x3在R上为增函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,1 2 3 4 5,1下列关系式中对任意ab0的实数都成立的是 (),答案:B,1 2 3 4 5,2已知a0,且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P,Q的大小关系是() A.PQB.PQ C.P=QD.大小不确定,答案:A,1 2 3 4 5,A.PQB.PQ C.PQD.PQ,答案:D,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1). 解析:(x+1)(x2-x+1)-(x-1)(x2+x+1)=x3+1-(x3-1)=20, 故(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1). 答案:,
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