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第二讲 函数与方程及函数的应用,【知识回顾】 1.几种常见函数模型 (1)一次函数模型:_. (2)二次函数模型:_. (3)指数函数模型:_. (4)对数函数模型:_.,y=ax+b(a0),y=ax2+bx+c(a0),y=abx+c(b0且b1),y=blogax+c(a0且a1),(5)分段函数模型:_(A1A2=).,2.函数的零点 (1)函数的零点及函数的零点与方程的根的关系 对于函数f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的 _,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x) 的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的 _.,零点,横坐标,(2)零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有_,那么函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也 就是方程f(x)=0的一个根.,f(a)f(b)0,【易错提醒】 1.忽略概念致误:函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.,2.不能准确应用零点存在性定理致误:函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点,但存在零点时不一定满足该条件.即函数y=f(x)在(a,b)内存在零点,不一定有f(a)f(b)0.,【考题回访】 1.(2016四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(),(参考数据:lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年,【解析】选B.设x年后该公司全年投入的研发资金为 200万元, 由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1.12 =3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2019年.,2.(2016天津高考)已知函数f(x)= (a0且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|= 2-x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(),【解析】选C.,由y=loga(x+1)+1在0，+)上递减，则0a1， 又由f(x)在R上单调递减， 结合f(x)的图象可知，在0，+)上，|f(x)|=2-x有且仅有一个解，,故在(-，0)上，|f(x)|=2-x同样有且仅有一个解， 当3a2，即a 时，联立 则=(4a-2)2-4(3a-2)=0，解得：a= 或1(舍)， 当13a2时，由图象可知，符合条件. 综上：a,3.(2016江苏高考)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0, a1,b1). (1)设a=2,b= . 求方程f(x)=2的根; 若对任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实 数m的最大值.,(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.,【解析】(1)f(x)=2x+ ,由f(x)=2可得2x+ =2(2x1)2=02x=1x=0; 由题意得22x+ m -6恒成立, 令t=2x+ ,则由2x0可得t =2,此时t2-2 mt-6恒成立,即m 恒成立,因为t2时 =4,当且仅当t=2时等号成立,因 此实数m的最大值为4. (2)g(x)=f(x)-2=ax+bx-2, g(x)=axlna+bxlnb=axlnb ,01可 得 则h(x)是递增函数,而lna0,因此x0= 时,h(x0)=0,因此x(-,x0)时,h(x)0,则g(x)0,axlnb0,则g(x)0, 则g(x)在(-,x0)上递减,在(x0,+)上递增,因此g(x)的最小值为g(x0).,若g(x1) =2,bx0,则g(x)0, 因此x10,因此g(x)在(x1,x0) 有零点,则g(x)至少有两个零点,与条件矛盾. 若g(x0)0,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点, g(x)的最小值为g(x0),可得g(x0)=0, 由g(0)=a0+b0-2=0,因此x0=0,因此 即lna+lnb=0,ln(ab)=0,则ab=1.,热点考向一函数的零点 命题解读:主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合法确定函数零点的个数或其存在范围,以及应用零点求参数的值(或范围),常用高次函数、分式、指数式、对数式、三角式结构为载体,以选择题、填空题为主;有时与导函数结合在解答题中出现.,命题角度一确定函数零点个数或其存在范围 【典例1】(1)(2016大庆一模)已知函数f(x)= 若 ,则f(x)零点所在区间为(),(2)(2016合肥二模)定义在R上的奇函数f(x),当x0 时,f(x)= 则关于x的函数F(x)=f(x) -a(0a1)的零点个数为() A.2B.3C.4D.5,【解题导引】(1)利用零点存在性定理判断. (2)转化为同一坐标系内y=f(x);y=a的图象交点个数求解.,【规范解答】(1)选C,由题意,函数f(x)= -ax在定义 域上连续,f(0)=0-10, 故f(x)零点所在区间为,(2)选D.因为f(x)为奇函数, 所以x0时,f(x)=-f(-x) = 画出y=f(x)和y=a(0a1) 的图象,如图 共有5个交点,所以F(x)有5个零点.,【母题变式】 1.典例1(2)的条件不变,求函数F(x)所有零点的和?,【解析】由典例1(2)解析知函数f(x)与y=a有5个交点, 设其横坐标从左到右分别为x1,x2,x3,x4,x5,则 = -3, =3,而- (-x3+1)=alog2(1-x3)=ax3=1- 2a,可得x1+x2+x3+x4+x5=1-2a. 即所有零点之和为1-2a.,2.若把典例1(2)条件中“01时零点个数为1. 当a=-1或a=1时,零点个数为3. 当-1a1时,零点个数为5.,命题角度二根据零点的个数或其存在范围求参数范 围 【典例2】(2016汕头一模)设函数f(x)是定义在R上 的周期为2的函数,且对任意的实数x,恒有f(x)-f(-x) =0,当x-1,0时,f(x)=x2,若g(x)=f(x)-logax在x (0,+)上有且仅有三个零点,则a的取值范围为(),A.3,5B.4,6 C.(3,5)D.(4,6) 【解题导引】根据函数的周期性和奇偶性画出f(x)和y=logax在(0,+)上的图象,根据交点个数列出不等式,解出a.,【规范解答】选C.因为f(x)-f(-x)=0, 所以f(x)=f(-x), 所以f(x)是偶函数, 根据函数的周期性和奇偶性画出f(x)的图象如图所示:,因为g(x)=f(x)-logax在x(0,+)上有且仅有三个零 点, 所以y=f(x)和y=logax的图象在(0,+)上只有三个交 点, 所以 解得3a5.,【规律方法】 1.判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点:令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数. (2)利用零点存在性定理:利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.,(3)数形结合法:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.,2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.,【题组过关】 1.(2016武汉一模)函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为() A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4),【解析】选C.由于函数f(x)=lnx+x3-9在(0,+)上是增函数,f(2)=ln2-10,故函数f(x)=lnx+x3-9在区间(2,3)上有唯一的零点.,2.(2016赤峰一模)若函数y=f(x)(xR)满足f(x+2)= f(x),且x-1,1时,f(x)=1-x2,g(x)= 则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5内的零点的个数 为() A.5B.7C.8D.10,【解析】选C.本题考查函数的图象与性质,函数与方程.由f(x+2)=f(x)可得f(x)是周期为2的周期函数;画出函数f(x)与g(x)的图象(如图所示);它们在区间-5,5内有8个交点,所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5内的零点的个数为8.,3.(2016亳州二模)已知函数f(x)= (a0,且a1)的图象上关于y轴对称的点至少有5对,则 实数a的取值范围为(),【解析】选D.若x0, 因为x0时,f(x)=sin -1, 所以f(-x)=sin -1 =-sin -1, 则若f(x)=sin -1(x0)关于y轴对称,则f(-x)=-sin -1=f(x), 即y=-sin -1,x0, 设g(x)=-sin -1,x0, 作出函数g(x)的图象, 要使y=-sin -1,x0与f(x)=loga(-x),x0的图象至 少有5个交点,则0logaa-2, 即7 ,综上可得0a,【加固训练】 1.(2016邯郸二模)已知函数f(x)= 则方程f(x)+1=0的实根个数为() A.0B.1C.2D.3,【解析】选C.画出函数f(x)= 和y=-1的 图象,方程f(x)+1=0即f(x)=-1,结合图象易知这两个函 数的图象有2交点,则方程f(x)+1=0的实根个数为2.,2.(2016武汉二模)已知函数f(x)=x3-3x+m只有一个零点,则实数m的取值范围是() A.-2,2B.(-,-2)(2,+) C.(-2,2)D.(-,-22,+),【解析】选B.因为f(x)=x3-3x+m的导函数为:f(x)= 3x2-3,所以f(x)=x3-3x+m的极大值为f(-1)=2+m,极小 值为f(1)=-2+m. 因为该函数只有一个零点,所以f(-1)=2+m0,所以m2.,热点考向二函数与方程的综合应用 命题解读:主要考查以高次式、分式、指数式、对数式、三角式以及绝对值式为载体的方程解的个数或由其解的个数求参数的值(或范围),常与函数的图象与性质交汇命题,以选择题、填空题为主.,【典例3】(1)(2016安庆一模)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点,则k 的取值范围是(),(2)(2016山东高考)已知函数f(x)= 其中m0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个 不同的实根,则m的取值范围是_.,【解题导引】(1)转化函数的零点为方程的根,利用数形结合求解即可. (2)转化为两个函数y=f(x)与y=b的图象有三个不同的交点问题,数形结合求解.,【规范解答】(1)选D.函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点, 即f(x)=k,只有一个解, 在平面直角坐标系中画出,y=f(x)的图象, 结合函数图象可知,方程只有一个解时,k(-,0),(2)由图象可知,要满足题设要求,必须有mm2- 2mm+4m,所以m2-2m2+4m0,整理后,解得 m3. 答案:,【规律方法】应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 (1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解. (2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解.,【题组过关】 1.(2016湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点,则实数的值是(),【解析】选C.令y=f(2x2+1)+f(-x)=0,且f(x)是奇函 数,则f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-),又因为f(x)是R上 的单调函数,所以2x2+1=x-只有一个零点,即2x2-x+ 1+=0只有一个解,则=1-8(1+)=0,解得=- .,2.(2016长沙二模)已知f(x)= 若存在实 数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范 围是_.,【解析】依题意可知,问题等价于方程x3=b(xa)与方 程x2=b(xa)的根的个数和为2,若两个方程各有一个根, 则可知关于b的不等式组 有解,所以a21;,若方程x3=b(xa)无解,方程x2=b(xa)有2个根; 则可知关于b的不等式组 有解,从而a0, 综上,实数a的取值范围是(-,0)(1,+). 答案:(-,0)(1,+),【加固训练】 1.设函数f(x)=-x,g(x)=lg(ax2-4x+1),若对任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为() A.(-,4B.(0,4 C.(-4,0D.4,+),【解析】选A.f(x)=-x0,所以f(x)的值域是 (-,0. 设g(x)的值域为A,因为对任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),所以(-,0A.设y=ax2-4x+1的值域为B,则(0,1B. 显然当a=0时,上式成立.当a0时,=16-4a0,解得0a4. 当a0时,ymax= 1,即1- 1恒成立. 综上,a4.,2.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x (0,2时,f(x)= 若x(0,4时,t2- f(x)恒成立,则实数t的取值范围是(),【解析】选C.当x(2,3)时,x-2(0,1), 则f(x)=2f(x-2)-2=2(x-2)2-2(x-2)-2, 即为f(x)=2x2-10 x+10, 当x3,4时,x-21,2, 则f(x)=2f(x-2)-2= -2.,当x(0,1)时,当x= 时,f(x)取得最小值,且为- ; 当x1,2时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为 ; 当x(2,3)时,当x= 时,f(x)取得最小值,且为- ; 当x3,4时,当x=4时,f(x)取得最小值,且为-1. 综上可得,f(x)在(0,4上的最小值为- .,若x(0,4时,t2- f(x)恒成立, 则有t2- - .解得1t .,热点考向三函数的实际意义 命题解读:主要考查涉及物价、投入、产出、路径、工程、环保等国计民生的实际问题,常以面积、条件、利润等优化问题出现,与函数的最值、不等式、导数的应用综合命题,一般为解答题.,【典例4】一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周用墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.,(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.,【解题导引】(1)先设出一个变量,得出关于总造价的关系式,进而求出最小值即可. (2)注意池底的限制条件,重新求(1)中解析式的最值即可.,【规范解答】 (1)设污水处理池的宽为x米,则长为 米. 总造价f(x)=400 +2482x+80162 =1296x+ +12960 =1296 +12960 12962 +12960,=38880(元), 当且仅当x= (x0), 即x=10时取等号, 所以当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最 低,总造价最低为38880元.,(2)由限制条件知 所以 x16, 设g(x)=x+ 当x= 时,总造价最低, 最低价为1296 +12960=38882(元), 所以当污水处理池的长为16米,宽为 米时总造价最 低,总造价最低为38882元.,【规律方法】应用函数模型解决实际问题的一般程序 和解题关键 (1)一般程序: (2)解题关键:解答这类问题的关键是确切地建立相关 函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有 关知识加以综合解答.,【题组过关】 1.(2016哈尔滨二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和 煤气费f(x)(元)满足关系f(x)= 已知 某家庭今年前三个月的煤气费如表:,若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则其煤气费为() A.11.5元B.11元 C.10.5元D.10元,【解析】选A.经分析知:A4,C=4. 根据题意有: 解得: 所以f(20)=4+0.5(20-5)=11.5.,2.(2016成都一模)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e= 2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是_小时.,【解析】由题意得 当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3eb= 192=24. 答案:24,【加固训练】 1.某人想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要 门面装修费20000元,每天需要房租、水电等费用100 元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店 销售总收益R与门面经营天数x的关系式是R=R(x)=,则总利润最大时,该门面经营的 天数是() A.100B.150C.200D.300,【解析】选D.由题意知,总成本C=20000+100 x. 所以总利润P=R-C = 则P= 所以P在0,300上单调递增,在(300,+)上单调递减, 由题意易知当x=300时,总利润最大.,2.(2016厦门模拟)某地一渔场的水质受到了污染.渔 场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂 来净化水质.已知每投放质量为m(mN*)个单位的药剂 后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足 y=mf(x),其中f(x)= 当药剂在水中释 放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在,水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化. (1)投放的药剂质量为m=6,试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天? (2)投放的药剂质量为m,为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.,【解析】(1)由题设知投放的药剂质量为m=6,渔场的水 质达到有效净化6f(x)6f(x)1 或 0x5或5x8,即0x8, 所以如果投放的药剂质量为m=6,渔场水质达到有效净 化一共可持续8天.,(2)由题设知x(0,8,6mf(x)18,m0, 所以f(x)= 所以x(0,5,6mlog3(x+4)18, 且x(5,8,6 18. 所以 且,所以6m9,mN*. 故投放的药剂质量m的取值范围为m=m|m=6,7,8,9.,
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