电动力学高教第三版1

本章重点：本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些假设总结出麦克斯韦方程组。本章难点：本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。电磁现象的普遍规律电磁现象的普遍规律 rrQQF4120QQ一、一、库仑定律和电场强度库仑定律和电场强度FF电场的基本性质：对电场中的电荷有力的作用电场的基本性质：对电场中的电荷有力的作用 304)(rrQQFxE2.点电荷电场强度点电荷电场强度3场的叠加原理（实验定律）场的叠加原理（实验定律）电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。Q1QnQi2Q1QPE2E1E平行四边形法则3110()4nniiiiiiQrE xEr 0limVQdQxVdV dVdQ 0limlQdQxldl dldQ 0limSQdQxSdS dsdQ 体电荷体电荷面电荷面电荷线电荷线电荷5连续分布电荷激发的电场强度连续分布电荷激发的电场强度 30()4LxrE xdlr对场中一个点电荷，受力 仍成立 FQ E 30()4VxrE xdVr304rrdQEd 30()4SxrE xdSrPrEdn若已知 ，原则上可求出 。若不能积分，可近似求解或数值积分。但是在许多实际情况 不总是已知的。例如，空间存在导体介质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现束缚电荷分布，这些电荷分布一般是不知道或不可测的，它们产生一个附加场 ，总场为 。因此要确定空间电场，在许多情况下不能用上式，而需用其他方法。x E x x=EEE总E二、高斯定理与静电场的散度二、高斯定理与静电场的散度静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值。它适用求解电荷分布具有对称性情况下的静电场。它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内的关系，不反应电场的点与点间的关系。电场是有源场，源为电荷。1.高斯定理高斯定理 VQx dVESdn0QSdES高斯定理的证明高斯定理的证明 3014VVrxdV dVr 0144VVxx x dV dV 01VVxx x dV dV 0Q314rx xr EdS利用点电荷可以验证高斯定理利用点电荷可以验证高斯定理 3014VxErdVr30)(41VSSdVrrSdxSdE2.静电场的散度静电场的散度n上式又称为静电场高斯定理的微分形式。n说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷体密度有关，与其它点的无关。n描述静电场在空间各点发散和会聚情况。n仅适用于连续介质的区域，在分界面上，电场强度一般不连续，因而不能使用。n由于电场强度有三个分量，仅此方程不能确定场，还要知道静电场的旋度。0E VVSdVxdVESdE)(10三、静电场的环路定理与旋度三、静电场的环路定理与旋度1.环路定理环路定理 证明30104VSrx dVdSr0LldE30)(41VLLdVl drrxl dE 静电场对任意闭合回路的环量为零。说明在回路内无涡旋存在，电场线是不闭合。又称为环路定理的微分形式，仅适用静电场。说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。在介质分界面上电场强度一般不连续，旋度方程 不适用，只能用环路定理。0E 2、静电场的旋度、静电场的旋度0)(SLSdEl dE四、静电场的基本方程四、静电场的基本方程 VSdVxQSdE)(10000,EE微分形式积分形式物理意义：反映电荷激发电场及电场内部运动的规律性物理图像：静电场是有源无旋场，电荷是电场的源。例题0Ll dE一、电荷守恒定律一、电荷守恒定律 1 1、电流强度和电流密度（矢量）、电流强度和电流密度（矢量）JSSIdIJ dS两者关系：cosdIJdSJSdSdJdSJdIcos2、电荷守恒的实验定律、电荷守恒的实验定律封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统，单位时间流出区域V的电荷总量等于V内电量的减少率。0dQdt0Jt 反映空间某点电流与电荷之间的关系，电流线一般不闭合 若空间各点电荷与时间无关，则为稳恒电流。0 JCQdVtSdJSV流出为正流入为负304rrdVJBdLrrlIdB304034IdlrdBrlIdrBd 磁场：通电导线间有相互作用力。与静电场类比假定导线周围存在着场，该场与永久磁铁产生的磁场性质类似，因此称为磁场。磁场也是物质存在的形式，用磁感应强度来描述。VdVrrJB304二、磁场以及有关的两个定律二、磁场以及有关的两个定律LBlIdFVdVBJF结论：结论：两电流元之间的两电流元之间的相互作用力不满足牛顿相互作用力不满足牛顿第三定律。但两通电闭第三定律。但两通电闭合导体之间满足第三定合导体之间满足第三定律律dFIdlBBdVJFd 安培作用力定律安培作用力定律它反应了电流与磁感应强度在某区它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系，对于某些具有较高对域内的关系，对于某些具有较高对称性的问题可利用该定理求解。称性的问题可利用该定理求解。三、安培环路定理和磁场的旋度方程三、安培环路定理和磁场的旋度方程JSL0LSB dlJ dS 利用直导线电流可以利用直导线电流可以验证安培环路定理验证安培环路定理SIJ dS0BJ 毕奥-萨伐尔定律0B 0SSdB四、磁场的通量和散度方程四、磁场的通量和散度方程 030334 04SVVVVVJ xrB dSB dVdV dVrrrJ xJ xdV dVrr SSdB Il dBL00BJ 0B 反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。0SSdB微分形式：五静磁场的基本方程五静磁场的基本方程例题1831年法拉第发现：当磁场变化时，附近的闭合回路中将出现感应电流。由此他总结了这一现象服从的规律：dtdBi)(SdBSB其中为什么要加负号？BSdSL 电磁感应现象 物理机制动生可以认为电荷受到磁场的洛伦兹力，因此产生电动势；感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用。因为无外电动势，该电场不是由静止电荷产生，因此称为感生电场（对电荷有作用力是电场的本质，因此它与静电场在这一点上无本质差别）磁通变化的三种方式：a)回路相对磁场做机械运动，即磁场与时间无关，磁通量随时间变化，一般称为动生电动势；b)回路静止不动，但磁场变化，称为感生电动势；c)上面两种情况同时存在。电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场 感生电场与感生电动势的关系Liil dE感生电场的旋度方程tBEi1）反映感生电场为有旋场（又称漩涡场），与静电场 本质不同。2）反映变化磁场与它激发的变化电场间的关系，是电 磁感应定律的微分形式。SLiSdBdtdldE感生电场的散度方程总电场的旋度与散度方程 假定电荷分布激发的场为 满足：SEt0SE 0StE 0,tBEEtSiEEE总电场为：因此得到总电场满足的方程：变化电场是有旋有源场，它不仅可以由电荷直接激发，也可以由变化磁场激发。0iE由于感生电场不是由电荷直接激发，可以认为 0iSEdS 变化电场激发磁场猜想 变化磁场产生感生电场 变化电场产生磁场？位移电流假设 对于静磁场：与 相一致 0BJ0J对变化场它与电荷守恒发生矛盾0()JJJ tt 麦克斯韦假设存在位移电流DJ0DJJDJJ总电流：0DBJJ位移电流的表达式 000tEEEttt DJt 00DDEEJJtt 0DEJt麦克斯韦在多方面考虑后取它仅在产生磁场上与传导电流相同tJJD000EBJt B（2）若 ，仍为有旋场 0JtB（3）可认为磁场的一部分直接由变化电场激发旋度方程0B=散度方程与变化磁场产生的感生电场比较 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 000010LSLSSSVSBE dldStEB dlJ dSdStE dSdVB dS 00000BEtEJBtBE（1）真空中电磁场的基本方程 揭示了电磁场内部的运动规律，即电荷电流激发电磁场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。（2）线性偏微分方程，满足叠加原理,E B 它们有6个未知变量（）、8个标量方程，因此有两个不独立。一般认为后两个方程为附加条件，它可由前两个方程导出。,xyzxyzE E E B B B00EB 000BJEt 00EEtt具体求解方程还要考虑空间中的介质，导体以及各种边界上的条件。（3）预测空间电磁场以电磁波的形式传播 0000BEtEBtEB 在电荷、电流为零的空间（称为自由空间）2EEE 22002EEEBtt 220020EEt 001C 222210EECt电磁波（4）方程通过电磁感应定律及位移电流假设导出，其正确 性已由实验验证。电场与磁场之间的相互激发可以脱离电荷和电流而存在。电场与磁场相互联系，相互激发，时间上周而复始，空间上交链重复，这一过程预示着波动是电磁场的基本运动形式。Maxwell的这一预言在他去世（1879年）后不到10年的时间内，由德国科学家Hertz通过实验证实。从而证明了Maxwell的假设和推广的正确性。EQFfEJB洛伦兹假设上述公式对变化电磁场仍然成立，近代物理实验证实了该式的正确。BvqEqF对于运动点电荷dVBJFd力密度一、介质的极化和磁化一、介质的极化和磁化 分子分类(2)无极分子：无外场时，正负电荷中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电矩。(3)分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微 观电流。无外场时，分子电流取向无规，不出现宏观电流分布。(1)有极分子：无外场时，正负电荷中心不重合，有分子电偶极矩。但固有取向无规，不表现宏观电矩。极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。介质的极化：介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列。介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形成分子介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩。作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩。传导电流：介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作传导电流：介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用下，导致带电粒子的定向运动，形成电流。用下，导致带电粒子的定向运动，形成电流。1 1、极化强度、极化强度 VpPiVlim02 2、极化电荷密度、极化电荷密度 PPSVPSdPdV介质介质1pi=pP=n p由于极化，分子或原子的正负电荷发由于极化，分子或原子的正负电荷发生位移，体积元内一部分电荷因极化生位移，体积元内一部分电荷因极化而迁移到的外部，同时外部也有电荷而迁移到的外部，同时外部也有电荷迁移到体积元内部。因此体积元内部迁移到体积元内部。因此体积元内部有可能出现净余的电荷（又称为束缚有可能出现净余的电荷（又称为束缚电荷）。电荷）。SSdPSdpnSdlnq（3）在两种不同均匀介质交界面上的一个很薄的层内，由于两种介质的极化强度不同，存在极化面电荷分布。3 3、电位移矢量的引入、电位移矢量的引入 存在束缚电荷的情况下，总电场包含了束缚电荷产生的存在束缚电荷的情况下，总电场包含了束缚电荷产生的场场，一般情况自由电荷密度可知，但束缚电荷难以得到一般情况自由电荷密度可知，但束缚电荷难以得到(即使即使实验得到极化强度实验得到极化强度,他的他的散度也不易求得散度也不易求得)为计算方为计算方便，要想办法在场方程中消掉束缚电荷密度分布。便，要想办法在场方程中消掉束缚电荷密度分布。它仅起辅助作用并不代表场量。它在具体应用中与电场强度它仅起辅助作用并不代表场量。它在具体应用中与电场强度的关系可由实验或计算来确定。的关系可由实验或计算来确定。4 4、电场的散度、旋度方程、电场的散度、旋度方程0DEPDBEt 引入电位移矢量0fPEPP0()fEP 1 1、磁化强度、磁化强度 l dMl daniSdJILLSmm2 2、磁化电流密度（矢量）、磁化电流密度（矢量）mi=mM=n m当介质被磁化后，由于分子电流当介质被磁化后，由于分子电流定向排列，介質内或表面会出现定向排列，介質内或表面会出现宏观电流，称为磁化电流。宏观电流，称为磁化电流。0limiVmMV mJM 3 3、极化电流密度、极化电流密度 4 4、诱导电流、诱导电流 5 5、磁场强度、磁场强度 PPJtPMJJ()0mJM 0pPJt fPMDJJJJ0fPMDJJJJ 磁场强度磁场强度6 6、关于磁场的散度、旋度方程、关于磁场的散度、旋度方程001fEPBMJtt00000fPEBJMtt 0fBDMJt0BHM0BfDHJt 0DtDJt0LSLSSSBE dldStDH dlIdStD dSQB dS 00()DEPBHM1 1、介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，、介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当当 ，回到真空情况。，回到真空情况。0MP2、12个未知量，个未知量，6个独立方程，求解必须给出个独立方程，求解必须给出 与与 ，与与 的关系。的关系。HBED五、介质中的电磁性质方程五、介质中的电磁性质方程 1 1、电磁场较弱、电磁场较弱 均呈线性关系均呈线性关系 各向同性均匀介质各向同性均匀介质 极化率极化率电容率电容率相对电容率相对电容率磁化率磁化率磁导率磁导率相对磁导率相对磁导率MMx HBH000001eerDEPExExEEE 000000(1)rBHMHx HxHHH PEMHDEBH与，与，与，与0ePxEDE 各向异性介质（如晶体）各向异性介质（如晶体）磁导率张量磁导率张量各 向 异 性 介各 向 异 性 介质 电 性 质 方质 电 性 质 方程矩阵形式程矩阵形式电容率张量电容率张量DEBH11123233iii jk jk k 11111221333221122223313311322333iijjjDEEEDEEEDEDEEE合并成111121312212223233132333DEDEDE2、电磁场较强时、电磁场较强时 3,2,1iEEEEEDlkjjklijklkjjkijkjjiji电位移矢量与电场强度的关系为非线性关系电位移矢量与电场强度的关系为非线性关系对于铁磁物质，一般情况不仅非线性，而且非单值对于铁磁物质，一般情况不仅非线性，而且非单值 在电磁场频率很高时，情况更复杂，介质会出现色散现象。在电磁场频率很高时，情况更复杂，介质会出现色散现象。即使在电磁场较弱的情况即使在电磁场较弱的情况 表现为频率的函数。表现为频率的函数。3 3、导体中的欧姆定律、导体中的欧姆定律 电导率电导率，JE 1、实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。fsQSdD21nfeDDnnfDD120，nnfDD120，21nnfDseDses1、和 的法向分量边值关系的法向分量边值关系：EDfD dSD dSD dSQ上下2D1Dne0/)(PfsQQSdE210fpneEEPSQSdP21()nPePP00pf或 都不连续都不连续E的法向边值关系的法向边值关系P2E1Ene BH对均匀各向同性线性介质 EDnnpEE1201122nnEEnnpPP21210fpneEE21nfeDDfnnEE1122b0f1122,nnHH對于均勻各向同性介質不連續ssdB021120,nnneBBBB21()PnePP 1、H的边值关系的边值关系LsfSdtDIl dH21ttlll elll e ，llHlHf1122fttHH122H1H2l1lnetefttHH1221nfeHH()()fnffnIelel21()fnHlHlel21/()fnHHe21/21()()nneHHeHH()()()nfnnnfnfnfeeeeee分界面上存在传导电分界面上存在传导电流时流时 的切向分量的切向分量不连续。不连续。HB可导出可导出的切向边值关系的切向边值关系：)(0DpLmIIIIl dB2、的切向边值关系的切向边值关系E21210ntteEEEE210nMeBB但但 的切向分量一般的切向分量一般不连续。不连续。DMmLIldMSdtdQSdJ21()neJJt J21()nmeMM212121212121()()0()0()nnnPnnnmeDDeBBePPeEEeHHeMM 212121212121()0()0()00()nnnPnnnmeDDeBBePPeEEeHHeMM 边值关系一般表达式绝缘介质边值关系表达式00nnnPnnnmeDeBePeEeHeM 一侧为导体的边值关系表达式理想导体内;0;0;0;0;0;0MPHBDE导体介质n neEE例题：1、已知均匀各向同性线性介质中放一导体，证明证明与表面垂直，与表面垂直，导体表面静电场强度为导体表面静电场强度为并求分界面上自由电荷、束缚电荷分布。并求分界面上自由电荷、束缚电荷分布。解：在静电平衡时，导体内部解：在静电平衡时，导体内部EEDEP2111,021212 00nnnnfnnnfeEEeEEE eeDDDEE由，即所以（垂直于导体面）由2100000011fpfppfppffnEEEEEE 由，由此得与的关系：2.有一均匀磁化介质球，磁化强度为有一均匀磁化介质球，磁化强度为M（常矢）（常矢）。求磁化电流分布。求磁化电流分布。eMeeMeMMnMMMMMnCMMJRZRmmmsin0.)(01212，由，只有面电流分布MmRee3、无限大平、无限大平行板电行板电容器容器内内有两层介质，有两层介质，板板上面上面f，求，求电电场和束缚电荷分布。场和束缚电荷分布。电荷分布为电荷分布为解：解：ne（1）根据对称性，电场沿根据对称性，电场沿方向，且为方向，且为均匀场，极板为导体，在分界面处满足均匀场，极板为导体，在分界面处满足（2）两两介质分界面上电荷分布介质分界面上电荷分布21neDD1212ffnnEeEe12neff210000210212112(3)00pfnfffpnnfpppeEEEE（）（）由，在這里介質整体是電中性的。导体导体f2fnE22nne能量：物质运动强度的量度，表示物体做功的物理量。主要形式：机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。能量守恒与转化：能量在不同形式之间可以相互转化，但总量保持不变。电磁能的特点：电磁场作为一种物质，具有能量和动量，电磁场弥散于全空间，电磁能也应弥散于全空间，但不是固定分布于空间，而是随场的运动在空中传播。认识一种新物质的能量可从能量转化入手 电磁能：从电磁场对带电体系做功来认识电磁能。1 1、电磁场对运动带电体系所作的功、电磁场对运动带电体系所作的功带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度）dVdtJEdVdtvBvvEdVdtvf设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动，电荷密度为，运动速度为,dtrdvvJ在间隔内，力对体元所做元功：d t rddVfdVVJfv电磁场对整个带电体在单位时间内所做功：电磁场对物体所做功转化为物体的机械能或转化为热能（改变速度或焦耳热）VdVJEdtdA 2 2、功与场量的关系、功与场量的关系 利用tHEHHtDEHEJEtDJHBEHHEEHHEHt HEStBHtDEtw,令：VVdVvfdVJEdtdAdSdtdWdSdVtwdtdAV则：dVwWVVVDBE JdVEHdVEHdtt DBf vE JHEHtt 1 1、能量密度、能量密度 2422,1,1,1rdrHErHrE而dtWddtdWdtdA0dHEdSV，当dSdtdWdSdVtwdtdAV带电体能带电体能量的增加量的增加率率电磁场能量电磁场能量减少率减少率tBtDtw因此 w 为单位体积的能量-能量密度。单位体积能量单位体积能量的增加率的增加率HS称为能流密度矢量（玻印亭矢量）它表称为能流密度矢量（玻印亭矢量）它表示单位时间、垂直通过单位面积的能量，示单位时间、垂直通过单位面积的能量，用来描述能量的传播。用来描述能量的传播。均匀各向同性线性介质中的能量密度HBED，BHDtttD21BHDw21dSdtdWdtdA电磁场单位时间对带电粒子做的功等于V 内电磁场能量的减少率与单位时间流入V 内的电磁能量之和。对于全空间电磁场对带电体做功的功率恒等于电磁场能量的减少率。dtdWdtdAvftwS电磁场能量守电磁场能量守恒的微分形式恒的微分形式dtdAdSdtdW电磁场能量守电磁场能量守恒的积分形式恒的积分形式VS电磁场的能量不在导体中传输而是在场中传输。电路中，系统的能量包括导线内电子运动的动能和导线周围空间中的电磁场能量。JESHvneJCecmn19323106.1,/10smv/10652/1mmAJ 即动能很小导线内电流与周围空间的电磁场相互制约，使电磁能量在导线附近的电磁场中沿一定方向传输，并有部分能量进入导线内变为焦耳热损耗例 同轴传输线内导线半径为 ，外导线半径为 ，两导线间为均匀绝缘介质，导线载有电流 ，两导线间的电压为 。(1)忽略导线电阻，计算介质中的能流密度和传输功率；(2)计及内导线的有限电导率，计算通过内导线进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。abIU解 (1)2IHr2rEr224zISEHer 得ln2brabUE dra2/lnbUa212 lnzIUSebra2baPSrdrUI2zzIEea2zJIEea在紧贴内导线表面的介质内，电场除有 外，还有 zErE因此，能流除有 外，还有zSrS2232rzr aISE Ha2222rIlPSa lI Ra 流入长为 的导线内的功率l(2)设内导线电阻率为 ，则导线内有电场