51.期末复习综合练习

期 末 复 习一、利用一次方程组解题：1、利用某些数学概念例1：若是同类，则将它们合并的结果是什么？解：由同类项定义，得解得即这两项分别是与，故将它们合并的结果是3。例2：若是关于的二元一次不等式试求m、n的值。解：由二元一次不等式的定义，得解得2、利用非负数的性质构造方程组例3：若，求的系数。解：和都是非负数，又因它们的和为零，故m、n必须满足 解之得，它的系数是4。二、解一元一次不等式的一些技巧：怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式呢？现总结出一些解题技巧，供复习时参考。1、利用某些数的乘积为1或10或一些特殊值：解不等式分析：，不等式两边同乘以8要比两边同除以0.125来得简便。解：两边同乘以8，得。2、将不等式两边相同的项互相抵消解不等式分解：，所以两边对消这一项可获得更简单的式子。解：原不等式化为即，故3、利用分数加减法法则例：解不等式分析：注意到可巧解本题。解：移项4、对分数加减法法则的逆运用例：解不等式解：原不等式化为故5、充分使用分数基本性质（1）解不等式分析：直接去分母较繁，观察发现本题有两个特点：的分子、分母约去公因数之后，两边的分母相同；两个常数项合并得整数。解：原不等式为去分母，得即，故（2）解不等式略解：两端同时乘以6，得到 首先化不等式为，两端同时乘以60，得由此可见，用分数的基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算。6、审时度势去括号去括号一般是由内到外，即按大、中、小括号的顺序进行，但有时可反用之，即由外到内去括号也可获简捷之方法。例：解不等式分析：注意到先去中括号，可明显地简化求解过程。解：去括号，原不等式化为7、乘法分配律的逆运用（提取公因式法因式分解）解不等式：分析：直接去括号较繁，注意到左边各项均含有公因式可采用提公式因法。还没学过因式分解的同学可对乘法分配律采取逆运用，本题可获简捷之方法。解：原不等式化为两边都除以得到，故8、利用整体思想解不等式分析：可以把看做一个整体，去大、中括号。解：原不等式化为也可以：三、应用题举例：例1：A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台，已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元，从B市调运一台机器到C市和D市的运费为300元和500元，若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？其中最低费用是多少？分析：本题所要求的调运方案，其实就是指分别从A市和B市调运几台机器到C市和D市，而且要保证总运费不超过9000元，而总运费的多少又和调运方案相关。我们把从A市（或B市）调运机器的数量设为x，把总运费设为y，建立不等式关系。为理清关系，用如下示意图表示：解：设从B市调运x台到C市则从B市调入6x台机器到D市（注意B市只有6台可调动的机器）此时从A市调到C市的机器只能是10x台（注意到C只须要10台，从B已运来x台，所以从A市只能再要10x台）此时从A市调到D市的机器只能台再设这次调运中总运费为y元，则，此时有三种调运方案当时，y有最小值为8600答：调运方案为从B市调C市0台（不调），调D市6台，从A市调C市10台，调D市2台，共计运费8600元。例2：某水果公司有汽车20辆，计划从甲、乙、丙三种不同水果中运90吨去外地销售，每辆汽车可载甲种水果5吨或乙种水果3吨或丙种水果4吨，已知装甲种水果每吨可获利700元，乙种水果每吨可获得利1100元，丙种水果每吨可获利800元，如何安排货运，可使该公司获利最大？最大利润是多少元？解：设安排x辆汽车装运甲种水果，y辆汽车装运乙种水果，z辆汽车装运丙种水果，公司可获利W元。则、可得把代入得W=400x+63000而因此 由于四个未知是只有三个关系式，此时我们采用归一法，用x分别来表示y、z。当时，W有最大值为69000元。答：安排15辆车装运甲种水果，5辆车装运乙种水果，不运丙种水果，可使公司获利最大，最大利润为69000元。例3：某电厂规定，本厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只要交10元用电费即可。如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应交电费元（用A表示）。（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（度）交电费总数（元）3480452510根据上表的数据，求电厂规定的A度是多少。（本题是1998年苏州市中考题，对初一学生来说在解法上和题型上有困难，我们的目的是想让同学们早一点接触数学阅读题，以适应新形势的需要。）分析：在阅读本题时必须获取如下信息：1）应交电费分两部分：基本电费为10元；超过用电部分这个量是变化的量。2）从所给表中知道规定的A的取值范围是：451080由此可知第（1）小题应填（超1度交，此时超了（90A）度。）第（2）小题解法：令得由A的取值范围可知该电厂规定的A为50度。说明：这里同学们还没学一元二次方程解法，我们借用因式分解的十字相乘法 来分解，然后分别令每一个因式为零可求A值。四、作图题常用作法范句：（一）关于基本作图范句，如：1、作线段=；2、作；3、作平分；4、过点作，垂足为；5、过点作；6、过点作，和相交于点；7、作线段的垂直平分线，与相交于。（二）在使用圆规作图方面的范句，如：1、在上，截取=；2、以为圆心，为半径画弧；3、以为圆心，为半径画弧交于点；4、以为圆心，为半径画弧交前弧 于点；5、分别以、点为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点。（三）在使用直尺作图方面的范句，如：1、过与作直线；2、边结、两点；3、延长到 并使=。五、幂的运算性质逆向使用举例我们在整式的乘除一章中已学了幂的四条运算性质: (1)(2)(3)(4)(字母的取值条件同于课本), 对上述性质的正确运用及注意事项在前面已详细讲述, 这里想通过例题说明若能巧妙的逆向运用幂的运算性质, 将使某些题目化难为易, 同时也锻炼和提高了自己的思维能力。例1、分析: 逆向运用性质(2)、(3)得解: 例2、若2x + 5y3 = 0则= 分析: 由已知得2x + 5y = 3逆向运用性质(2)、(1)解: 例3、已知a = 355b = 444c = 533则有Aa b cBc b aCa c bDc a a c故选D例4、已知则x = 分析: 直接解方程, 将无从下手, 若考虑到幂的性质(4), 对本题采用性质(4)的逆使用, 有解: 例5、2199031991的个位数字是多少分析: 逆运用性质(1)(3)有解: 由于的个位数字为6, 知所求的数字的个位数为8。例6、计算下列各题(1)(2)(3)(4)分析因为根据乘法公式及因式分解的互逆性, 可计算出结果(1)原式(2)原式(3)原式(4)原式六、学习乘法公式要具备的能力1、要会准确的直接使用公式要认准公式中的a、b究竟表示的是什么样的数, 单项式或多项式, 然后对准公式对号入座直接应用例1、计算(2x5)(2x5)分析: 两因式中的5相同, 而2x与2x是互为相反数, 因而可运用平方差公式计算。5是公式中的a而2x是公式中的b解: 例2、计算分析: 若应用公式, 则把2x看作公式中的a, 把5y看作b; 若把原式变形为则运用公式时可把5y看作公式中的a, 把2x看作b。解: 原式又原式2、要会连续使用公式要审题, 有时会连续数次使用同一公式或连用两个以上的公式解题例3、计算当a6 = 64时, 该式的值。分析: 前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积, 但也可以利用乘法交换律或结合律, 改用立方和与立方差公式再利用平方差公式计算较简便。解: 原式当a6 = 64时, 原式 = 6464 = 03、要会变通造出公式结构而使用公式例4、计算分析: 初看两个因式不符合公式结构特征, 若将“3”拆为“4 + 1”, 将5拆成4 + 1, 则将两因式改造为符合平方差公式的结构特征。解:4、要会逆向使用公式我们以前已经讲过诸如计算先不要顺向运用平方差公式展开再相减, 那样将会繁杂, 应该逆向运用平方差公式也就是利用公式法将其因式分解, 使一些项对消掉, 从而使运算简单。例5、计算分析: 若顺向平方展开再相乘将会繁杂, 若逆向运用性质, 再用平方差公式则较前者胜出。解: 原式5、要会活用公式活用公式解题, 对培养思维能力起着重要的作用。例6、计算分析: 这里看起来三个因式相乘无明显的公式结构特征, 这里也不应该用多项式乘多项式的法则去展开, 进一步分析每个因式的结构特征, 我们为了乘, 只有先拆x2y2才能铺好路搭好桥, 这就是灵活运用的特征。解: 原式这是课本B组题关于活用比课本更深一点的应用在下个专题里讲述, 同学可自由选择。七、灵活运用公式的几个话题(一)关注形态多变的“1”“1”是自然数这首, 是最小的正整数, 它有着一些其它数无法替代的性质, 如我们恰当运用, 将使解题简捷明快, 这里先介绍1 = (n + 1)n例1、的值是A42n1BC2n1D22n1解: 由于1 = 21所以原式故应选A(二)非负数“a2”的性质及其应用例2、若, 求a2 + b2的值。解: 已知等式可变形为, a = 3, b = 2利用非负数可得, 则例3、求证: 不讫x、y为何值, 多项式的值永远大于或等于0。证明: 原式不论x、y取何值, 原式值永远大于或等于0。例4、若求: MN的值是A正数B负数C非负数D可正可负解: MN = 它的非负性使本题是解(三)配方法的应用例5、已知a = 2000b = 1997c = 1995那么的值是多少。解: 原式例6、已知由此求的值为？解: 由已知条件可得到又 ab2 = 0ab = 0则ab = 2a = b则原式 = 1ab = 12 = 1例7、实数a、b、c满足a = 6b, c2 = ab9,求证: a = b证明: 从已知两个等式中消去a, (用代入法消)整理c = 0, b3 = 0, 此时c = 0, b = 3, a = 3故a = b八、用公式解题从完全平方公式可以推得这就是说, 两个数和的平方, 减去这两个数差平方, 等于这两个数乘积的4倍例1、化简解: 原式例2、已知x + y = 5, , 求xy之值解: x + y = 5有由上述公式变形, 我们联想到由此可以得到例3、已知a + b + c = 2求的值解: 由得 bc + ac + ab = 0则有九、用公式解题公式变形也有很广泛的应用, 我们由, 可得, 及例1、若a + b = 5, 解: 利用解得ab = 5例2、已知求a、b的值解: 或者 则ab1 = 0, ab = 0例3、已知, 求x、y的值解: 则1612 = 2xy4 = 2xyxy = 2例4、已知的值解: 31 = 4xy4xy = 22xy = 1又 例5、已知的值解: 十、几何概念的准确性1、两点间的距离、点到直线的距离, 平行线之间的距离, 三个概念的关键词语距离是指长度, 不要忽略长度单位。2、何谓直角, 答为直角就是90, 这是错误的。因为“直角”和“90”是两个绝然不同的概念, 直角是一个图形, “90”是一个量。上述回答恰恰混淆了一个图形和这个图形的大小的不同概念。正确答案应是“90的角叫直角”。由此联想诸如“直线是平角、直线是180、两条直线相交所组成的角是对顶角”等等都应紧紧扣住概念。3、(1)互余、互补; 它是指两个角之间度数的和是90、180, 与这两个角的位置没有关系。(2)我们习惯认为 1与2互余, 但是 它们没有公共点它们的边之间只有一个公共点, 此时经过度量之后可以说它们也是互余的角。(3)如图 ADC是直角, 1 = 2。我们可知1与3互余, 2与4互余, 同时还应该有1与4互余, 2与3也互余。(4)如图, DBAC, EB平分ABD, BF平分DBC, 此时图中共有多少对互补的角？首先发现ABE与EBC、ABD与DBC、ABF与FBC, 这是三对互补的角;还有ABD与EBF, DBC与EBF、两对角互补, 又有EBD与EBC、DBF与EBC、FBC与EBC、ABE与ABF、EBD与ABF、DBF与ABF, 六对角互 补, 本图中互补的角共有11对。4、“对顶角相等”这是一个很重要的性质。要注意的是, 不能把对顶角的定义与性质混淆起来, 对顶角的定义是说明两个角的相互位置, 而“对顶角相等”则是说明两个角的数量关系的。当然, 它们之间有联系, 只有当用定义判定出两个角是对顶角时, 才能说这两个角具有“相等”的数量关系。5、线段中间的点, 叫做线段的中点是不准确的,“线段中间”的点不一定就是线段的中点。6、射线是直线的一半, 也是错误的。因为射线和直线都是无限长的, 不能称为一半。7、过三点能确定三条直线也是错误的, 它忽略了三点的位置还有在同一直线上的情况。8、若两角和为平角, 且有一条公共边, 则这两角互为邻补角, 这又是一个假命题。忽略了两角在公共边的同侧这种位置状况。9、在图中找出所有的同位角、内错角、同旁内角。解: 2与4是同位角它们是直线AB和AC被直线BD所截而成的同位角。1 与4是内错角它们是直线AB和CD被直线AC所截而成, 2与5是内错角它们是直线AE和直线BC被直线AB所截而成, 4与(1 + 5)也是内错角, 它们是直线CD和直线AE被直线AC所截而成。1与2是同旁内角; 1与3, 3与(1 + 5)均是同旁内角。十一、几何证明题例1、如图, 已知直线AB与CD交于O点且1 = 2求证: 3 = 4 分析: 首先发现3和4不是对顶角, 不能利用对顶角相等。虽然有了1 = 2, 但1和3不是互余也不是互补, 2和4不是互余也不是互补, 不能利用等角的余角相等或者等角的补角相等这样的定理题目中给出AB是直线则3与EOB互补, 又给出CD是直线4与FOD互补, 欲想证3 = 4, 就须要证出EOB = FOD观察图形EOB是1与DOB之和, FOD是2与DOB之和, 此时EOB = FOD显然成立证明: 直线AB与CD交于O点 (已知)DOB = DOB, 1 = 2(已知)1 + DOB = 2 + DOBEOB = DOF(等量加等量和相等)AB是一条直线(已知)3 + EOB = 180(平角定义)CD是一条直线(已知)4 + FOD = 180(平角定义)则3 = 4(等角的补角相等)或(等量减等量差相等)例2、已知ABCD, B = D, AE、CF分别是A和C的平分线。求证: AECF分析由已知条件ABCD出发, 由性质定理可得到角的关系, 又知D = B, 可以推出A = C, 由于有了角平分线可以得到1 = 2 = 3 = 4, 到目前为止, 它们对于求证的AECF, 起不到什么作用, 因为它不是三线八角所提供的那三种角, 此时须要找到第三个角来过渡来起到桥梁作用以便沟通, 再回到已知条件去找等角, 你可发现3 = 5, 则有2 = 5, AECF, 可解证明一、ABCDA + D = 180 (两直线平行同旁内角互补)B + C = 180(两直线平行同旁内角互补)B = D (已知)A = C (等角的补角相等)AE平分A(已知)2 = (角平分线定义)FC平分C (已知)3 = (角平分线定义) 则2 = 3 (等量的一半相等)又ABCD (已知)3 = 5(两直线平行内错角相等)则2 = 5 (等量替换)AECF(同位角相等两直线平行)证明: 与证法一前边步骤相同证到2 = 3ABCD (已知)3 + 6 = 180 (两直线平行同旁内角互补)则2 + 6 = 180 (等量替换)AECF (同旁内角互补两直线平行)例3、如图已知ABCD, B = 100, EF平分BEC, GEEF, 垂足为E。求证: BEG = DEG分析由已知条件 由已知条件FE平分BECBEF = FEC = 40由已知条件FEEGFEG = 90又知BEF = 40则BEG = 50 证明: ABCD (已知)B + BEC = 180 (两直线平行同旁内角互补) B = 100 (已知)BEC = 80EF平分BEC (已知)(角平分线定义)EFGE (已知)FEG = 90 (垂直的定义)则BEG = 50 (1)又CDE是一条直线 (已知)BEC + BED = 180 (平角定义)则BED = 100有GED = 10050 = 50 (2)据(1) (2)得BEG = GED十二、因式分解常见错误举例1、概念不准确例1、分解 错解: 原式=错因: 对整式乘法与因式分解两种不同方向的恒等变形弄错了。因式分解是“和化为积”。例2、分解因式错解: 原式错因: 对因式分解意义不清, 要分到不能再分解为止, 对于还可以再分解。2、系数处理失误例3、分解因式误解: 原式错因: 系数也是因式, 分解时要提取各项系数的最大公因数。例4、分解因式错解: 原式错因: 把中的3提出去要平方为9才对, 在做本题时首先要处理系数。3、符号处理失误例5、分解因式错解: 原式= (2a3b)(4y)错因: 变号时, 为了用公式, 将(3b2a)变为(2a3b)改变一个符号就行了, 此时改了两个因式的符号例6、分解因式错解: 错因: 提取公因式b带有“”号, 要注意另一个因式中各项的符号与原多项式对应项相反。4、分组错误例7、分解因式错解: 原式错因: 因为分组不当, 没有考虑到分组的目的至使因式分解半途停止。5、变形错误例8、分解因式错解: 原式错因: 分母真的被去掉了, 这里不是等式, 不能去分母。