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长沙理工大学二手货Q交易群14 08 417第一章000写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:（1）掷一颗骰子,出现奇数点（2)将一枚均匀的硬币抛出两次，A: 第一次出现正面B：两次出现同一面C:至少有一次出现正面（3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号为1、2、5,从中同时取出只，球的最小号码为1。（4）一个口袋中有2只白球、3只黑球、4只红球，从中任取一球，A： 得白球， : 不得红球0000002在数学系中任选一名学生,令事件A表示该生为男生，事件B表示该生为三年级学生，事件C表示该生为运动员。（） （1)叙述事件的意义（） (2）在什么条件下ABC成立?（） (3）什么时候关系式CB是正确的？（） （4)什么时候成立？*0000#00003长沙理工大学二手货QQ交易群60841一个工人生产了n个零件，事件Ai =”该工人生产得第i个零件是正品 i1、2、n用i表示下列事件：（） （1）没有一个零件是次品;（） （）至少有一个零件是次品；（） （3)仅仅只有一个零件是次品；（） （4)至少有两个零件是次品.00000A、B是两个事件证明下列关系等价，,，*000400005把AA2 A n表示为不相容事件的和.*000#0006长沙理工大学二手货Q交易群1 8847证明：若（-)（BA）C，则A(B-C)（C-B)的充要条件是AC *0006#00007一部五卷文集任意地排列到书架上，文卷号自左向右或自右向左恰好为135的顺序的概率等于多少？*0007#000在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成分数，求所得分数为既约分数得概率00000009有五条线段，长度分别为1、3、5、9.从这五条线段中任取三条，求所取三条线段恰好能构成三角形的概率.000900把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有k面（k=0、）涂有颜色的概率.01#0011一个小孩用个字母A、A、A、E、I、M、M、T、T做组字游戏如随机地排列字母，问他组成MTHEMAICIA”的概率是多少?000110012甲从2、4、6、8、0中任取一数,乙从、3、5、7、9中任取一数，求甲取的数大于乙取的数的概率。0010001在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红车”及一只黑车，求它们正好可以互相吃掉的概率.00130014一批灯泡有40只,其中有3只是坏的,从中任取5只检查.问:（）5只都是好的概率是多少？（2）5只中有2只是坏的概率是多少？0010001一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7位乘客电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的,求没有两位乘客在同一层离开的概率。*0015#00016从一副扑克牌（2)张中任取张，求得三张红色三张黑色牌的概率0000017掷两个骰子,求所得的两个点数一个恰是另一个的两倍的概率*00178掷三颗骰子,求所得的三个点数中最大的一个恰是最小的一个的两倍的概率.*0018#0019一个班上有n个男生及2个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率.000100020某城市共有自行车100，牌照编号从00001到1000问事件偶然遇到一辆牌照编号中有数字8的自行车的概率是多少?*00020#02从个数、3、中随机地取出两个数（不重复)，问其中一个小于k(1k）,另一个大于k的概率是多少？002100022有2n个数字，其中n个是，n个是1。从中任取两数，求所取两数之和为或为偶数的概率*000220003在十个数字0、1、2、9中任取四个数（不重复），能排成一个四位偶数的概率是多少？000200024四颗骰子掷一次至少得一个一点与两个骰子掷2次至少有一次得两个一点，哪一个概率大？*0004#00025从一副扑克牌（5张）中任意抽出10张,问（） （1）至少有一张A的概率是多少?（） （2)至少有两张”A的概率是多少？*005#006一个中学有十五个班级,每班选出三个代表出席学生代表会议，从45名代表中选出1名组成工作委员会。求下列事件的概率（） （1）一年级（一)在委员会中有代表；（） （）每个班级在委员会中均有代表.0026#0027设甲袋中有a只白球b只黑球,乙袋中有只白球d只黑球今从两袋中各取一球，求所得两球颜色不同的概率*0007#0028一口袋中有a只白球只黑球，从中连续取球三次（不返回)，求三只球依次为黑白黑的概率*08#00029从数1、2、3、n中随机地取出两个数,求所取两数之和为偶数的概率00090003任取两个正整数，求它们之和为偶数的概率。*30031任取一个正整数，求下列事件的概率：（） (）该数的平方的末尾数字是1；（） (2)该数的四次方的末尾数字是1；（） （3）该数的立方的最后两位数字是1。*0031032设每个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不是都在同一天的概率。*000300033一个小组有8个学生，问这个学生的生日都不相同的概率是多少?（一年有365天）00033034n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率:（） (1)甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边；（） (2）甲、乙、丙三人坐在一起;（） （3）若n个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率0004#0003把n个0与n个1随机地排列，求没有两个1”连续在一起的概率*035#00从一个装有白球、黑球与红球各n个的口袋中任取m个球,求其中有m1个白球、个黑球、3个红球的概率（m1+ m2m=)0036007从一个装有n个白球、n个黑球的口袋中逐一取球（不返回,直至取完为止），求黑白球恰好相间取出的概率。*037#0003从一个装有a个白球、个黑球的口袋中逐一取球(不返回）,直至留在袋中的球都是同一中颜色为止。求最后是白球留在袋中的概率0080039有n个球，其中一个是黑球，一个是白球,其余的都是红球。把这m个球放在m个袋中，每袋放个球。求黑球与白球恰好在一袋中的概率。*0003040从n双尺码不同的鞋子中任取2r只(2rn）求下列事件的概率:（） （1)所取的2r只中没有两只成对;（） (）所取的2r只中只有两只成对;（） （3）所取的2只中只有恰成r对。*04000041在一口袋中装有n种颜色的球，每种颜色的球只有k只.从中任取只(rn）,求所取只球颜色全部都不相同的概率*004#42把n根同样长的棒都分成长度为与2之比的两根小棒，然后把2n根小棒任意地分成n对，每对又接成一根”新棒.求下列事件的概率：（） （）全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的,（） （2）全部新棒的长度都与原来的一样0042#0043一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一人把六个头两两相连接，六个尾两两相连接求放开手后六根草恰好连成一个环的概率。 试把该结果推广到2n根草的情形.00043#004把个不同的球随机地放入n个匣子中去，求恰有一个空匣的概率。*004400045一个教室共有n+k个座位，随机地坐上n个人。求其中指定的s个座位（sn）都坐上了人的概率000450046设有个人，每个人都等可能地被分配到个房间中的任意一间去住(N）。求下列事件的概率：（） (）指定的n个房间里各有一人住的概率，（） （)恰有各房间,其中各住一人.*0004600047甲掷均匀硬币+1次，乙掷n 次求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数的概率.*0007#00048从数1、3、N中不重复地任取n个数(nN）按大小排成一列：x1xxm),求至少连续出现m次正面的概率0069#007掷均匀硬币直至第一次出现连接两个正面为止，求这时共掷了n次的概率*0007001在线段（0,1)中任取十个点，求其中三点在区间（，1/）中，四点在区间（/4，2/），三点在区间（2/3,1）中的概率.00071#02有两只口袋，甲袋中只白球2只黑球，乙袋中装有只白球只黑球任选一袋，并从中任取一球，问此球是白球的概率是多少？*0072007袋中装有m（)个白球和n个黑球的罐子中失去一个球，但不知是什么颜色,为了猜测它是什么颜色,随机地从罐子中取两个球，结果均为白球，问失去的是白球的概率是多少?073007袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取5个球放入空袋中，再从此5个球中任取个球放入另一个空袋中，最后从第三个袋子中任取一球为白球，问第一次取出的球均为白球的概率？00074#00075一个质点从平面上某一点开始等可能地向上、下、左、右四个方向游动,每次游动的距离为1求经过次游动后回到出发点的概率*0075006写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点.（1） （1） 掷一颗骰子,出现奇数点。（2） (2) 将一枚均匀硬币抛二次,A：第一次出现正面,B：两次出现同一面，C:至少有一次出现正面，（3） () 一个口袋中有五只外形完全相同的球，编号分别为、2、5,从中同时取3只球，球的最小号码为1。*0006解：（）设S 为样本空间,A为所求事件，则S=1,2,3，4,A1，5。（）设S 为样本空间，则=OO，O,O,， 正面, 反面。A=O，=O，C=，O，。(3）设 为样本空间，为所求事件，则S=123，124，125,134，135,145,3，25，4,45，A=123,2，12，134，135,1。#007靶子由10个同心圆组成，半径分别为r1、r2、r1,且r r2、 r10,以事件k表示命中半径为r的圆内,叙述下列事件的意义.（1） (2） （3）*007解：(1)命中半径为r6的圆内,（2）命中半径为r1的圆内，(3）命中点在半径为r1的圆外,半径为r2的圆内。#0078将下列事件用A、C表示出来（1） (1） 发生,（2） （) A与B都发生而不发生,（3） （3) 三个事件都发生，（4） (）三个事件中至少有一个发生,（5） （5) 三个事件中恰好有一个发生,（6） （6)三个事件中至少有两个发生，（7） (7) 三个事件中恰好有两个发生，*0078解:（1） （5） （） （6) (3) (3) AB （） (4) （4) AB#0009把12An表示为互不相容事件的和.*009解：A1A An=A1（ A1） （ A 12） （A- AA2 1)。00080设A、B为两个事件且P(A)6,（B）=7.问(1）在什么条件下P(A）取最大值,最大值是多少?（）在什么条件下P（AB)取最小值，最小值是多少?*00080解： P（B)= P(A)P（)(B)（1） （） 显而易见,当B时P（B） 最小,则P(B)最大,其最大值为P（A）+(B）-（B)= P（A)=0.（2） （2) 当P（AB）=1时，P（AB) 最小，其最小值为0。3.00081设1、2为两个事件，证明（）P（A1A2）= 1(）-()+P()(2）1P(）-P（） P(A1A2) P(A1A2） P(A1） +(A2)*008证明：（1)(12）=1-()=P（）=1-P()-P（）P(). （2）显然，P（1A2) （）P（)+P（)(）-P(） 由于 12A12,所以P（A1） （A1A2）, 而 P（1A2）= P（A1)P（2）-P( A1A2） （A1） P(A2）， 从而有 1P（)P(） （1A） P（AA2) P（A1） +P(A）002A、B为两个事件且P（)=1/，P（B）1/，证明P(AB）=(）。*00证明：(AB）P（A）P(B）P(AB）=1P(AB）= P（)03A、B、C为三个事件且（A）=P(B)P（C）14，P(AB)P（BC）=0,P（C）=1,求A、C中至少有一个发生的概率。003解:P(ABC）既为所求.由于ABC AB, 从而(B） P(A），故P（ABC）0。(ABC）= （A）+(B）+P（C) （AB）- P（BC）- P（AC)+ (AC）=1/4+1+1/-0-1/+05800084一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、10的球。今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率，(）最大号码为5的概率，（）一个号码为5，另外两个号码一个大于,一个小于的概率。0004解：以三个球相应号码的组合为样本点构成样本空间，则样本空间S中的样本点个数mS=12。 设 事件 A=“最小号码为， “最大号码为5”, C=“一个号码为5,另外两个号码一个大于，一个小于5.A中的样本点个数A= =10， P(A)= A mS=112,B中的样本点个数= =6， P（B)= B/ mS=10，中的样本点个数m=2， P（)= mC mS=1/6，0008在150个产品中有400个次品，1100个正品。任取20个，求（)恰好有90个次品的概率;（2)至少有两个次品的概率.*05解:设 事件 =“恰好有9个次品”, “至少有两个次品”.样本空间S中的样本点个数mS=,A中的样本点个数A= ,P（A） A/m=8。234010-1P（B）=1(+）/1#0006从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。*0008解： 以抽出任意只鞋子的排列为样本点构成样本空间S，则样本空间S中的样本点个数mS=109875040.设事件A=“4只鞋子中至少有两只能配成一双”,则中的样本点个数m=1064。从而， ()=1 P()=10864/（10987)=13/21。00087甲袋中个球的编号分别为1、2、，乙袋中3个球的编号分别为4、5、6.今从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球，问该球为偶数号球的概率是多少?*00087解：以(a，b)表示样本点，其中是从甲袋中取出的球的球号,b是从乙袋中取出的球的球号,则样本空间S如下 =(，1）， （1，）, （1，5)， (1，6）， （,2）， （，）,(2,5），(2，6）， （3,3),（3，4)， (3，）, （3，)。设A=“从乙袋中取出偶数号球”。则（1,4）， （，6）, （2，2），（2,4）， （2,)，（，)，(，6)。mS=12，mA=7,则（A）=7/2.#00085只铆钉随机地取来用于10个部件上，其中有3个铆钉为次品。若每个部件用3只铆钉，问3个次品铆钉恰好用于同一部件的概率是多少？*00088解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S中的样本电数mS.设Ai=“3个次品铆钉恰好用于地i部件 i=、2、0A=“3个次品铆钉恰好用于同一部件Ai中的样本点个数mAi，P（ i)= mAi/ mS1/1600.A= ，则P(）=1/160089已知P(）=3,P（）=。4，P（)=0.5，求(B |)。*00089解:P（B |）=1/4000已知P（）=1/4，P（ |A）1/3，P（| ）/2,求P（A）。000解:P(A）=P（A）+P(）（）（） P(B A） P(）=1/12，P（B）= P（)/P（A | B）=1/6,从而（AB)=1/。#01掷两颗骰子，已知掷两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法)。*01解：设事件A=“两颗骰子点数之和为7,B=“其中有一颗为1点.所求概率为（B A）（1） （1)以（a，）记样本点,其中a,b分别为第一、二骰子的点数.事实上 A=(，6）,（2，5)， （3，）, (4，3)， （,2), （6,1），由题义得P(B A)1/3。（2） (2）AB（1，6）,（6，1）,P（A）=6/3=6,P(AB)=2/361/18, P（B | ）=（11)(/6)1/3#0002以往的资料表明，某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律.P（孩子得病）=.6，（母亲得病|孩子得病)=0。5，P(父亲得病|母亲及孩子得病)=.4。求母亲及孩子得病但是父亲未得病的概率。*092解：设事件A=“孩子得病”，事件=“母亲得病”，事件=“父亲得病”。则P（）0.，P(B | ）=0.5,P（|BA)0.4,母亲及孩子得病但是父亲未得病的概率即为P(B)=P（B) (CB)= （A） （B ）- P（A） P( | ） （C|B）=193事件A、B相互独立且（A)p，P（B)=q.求P（AB)、P(B）、P（)、P（A)、（） 、P(）。0093解：P(AB） P（A） P(B)= q。（B)= P(）(B）=（1p） q。P（）=P（)P（）=（1 p）(1- q）。P（A）= P(A）+P(B）-P(B）= p+pqP()=（）+P（B）-P(B）= （p)+q-（p) q=1p q。P（）1P（AB）=1p#0094一个大学生想借一本专业书,决定到三家图书馆去借。每家图书馆有这本书的概率为1/2，若有,该书被借出的概率也为12。假设三家图书馆采购、出借图书是相互独立的,问该学生能够借到书的概率是多少？094解： 设事件A “第i家图书馆有这本书”， i=1、事件 i “从第i家图书馆借到这本书”， i、2、3事件C=“该学生能够借到书”。由题义知P(A i）=1/，（B i A )/，从而(Bi A i)=/4,事实上B iA i ,则(B i)=14,i=1、3.进一步B 1 ,B 2，B 3相互独立，则(C)=1-=11（-1/4）（1-1/4）（1-1/4）=3764009如图,1、2、3、4、5表示继电器触点。假设每个触点闭合的概率为p，且各继电器接点闭合与否相互独立，求至R是通路的概率。1-20题图*009解：设事件 =“第i个继电器触点闭合”， i=1、2、4、5事件 =“L是通路。事实上 = A 4A 1 A 5 2 5 3A 4= A 1( 4 A 3 A 5） A 2 (A 3 4）P（C)=（ 1 （A 4 A 5）)+（A (A 5 3 4)(A 1 A2 （ 43 A 5） (A 5 3 A 4）=2 （A 1 （A A 3A 5）P（ 1 A 2）（A A 5A 3A4A 3 A 3 A4A 5）= P(A1）( 4 A 3 5)- P(A 1 ）P( A 5 A A A 3 A5）2 (p+p p3） 2（p2-3 p3+p）=2（p2+ p3- p4） （3p42 p5）=2p+p-5 p42 p50006袋中有1个球,其中个白球，1个红球。10个人依次从袋中各取一个球.每个人取一球后不再放回。问第一人、第二人、最后一人取得红球的概率是多少？00096解:设事件Ai“第i人取得红球, i 1、2、1。显然A i,， i 1、2、1互不相容，所以有A ，(i j）。进一步有Ak=， k 2、3、10显然（A1)110，P()=9/1。 从而(）=1/9，P(）8/P（A 2)P（）P(）P（）（/9）(910)1/1,从而P(）=1/8P(A )P（）=P（)P（）P（)=(1/）( 8/9）（/10）=1/10。同理有 （A i）=1, i =1、10#0009设有甲乙两袋，甲袋中装有只白球、n只红球,乙袋中装有M只白球、只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？0097解：设事件=“从甲袋中取出一白球”， 事件=“从乙袋中取出一白球”。P（B）=P（）(）+P()=098设一人群中A、AB、O型血的人所占比例分别为375、20。9%、7.9、.。已知能允许输血的血型配对如下表。现在该人群中任选一人为输血者,再任选一人为需要输血者，问输血成功的概率为多少？ 输血者受血者A型B型AB型O型A型B型B型O型：允许输血 ：不允许输血.0098解：设事件1=“输血者的血型为A型”,事件A=“输血者的血型为型事件A=“输血者的血型为AB型”事件A4=“输血者的血型为型事件C=“输血成功”。P(C)=P( |A1)P(A1)+ P( A2)P(2)+ P（C |A3）()+ P( 4）P（A4)由题义及输血表知：P(A1）=0.5， P(C )= 0.37+。0944,（A2）=0。209， P（ | 2）= 。20.07=。288，P（A3）=0.79， （C A3）= 03+0。07+.9=0.663P(A4)=0.337，P（ A4）=P(C)= 0.45435+0.2880209+0。6630。0791.330。1800099袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币(次品硬币两面均印有国徽）。从袋中任取一枚硬币，将它投掷r次，已知每次均出现国徽,问这枚硬币是正品硬币的概率是多少?00099解：设事件=“所取硬币为正品”,事件B =“所取硬币掷次均出现国徽”。所求概率为P（ B) P( )=（A) /（+n）,(B| A) （1/2)，P（) = n/(m+）,P（)=1。所以 (A|B)=。00100将、B、三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a，而输出为其它字母的概率为（1-a)/2。今将字母AAA、BB、CCC之一输入信道，输入AA、BB、CC的概率分别为p、p、p（p+p+p=1），已知输出为AB，问输入是AAAA的概率是多少?（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）*0100解：设事件=“输入是AAAA，事件=“输入是BB”，事件=“输入是CCC，事件J“输出是CA”,所求概率为P(F J）.P(F J） =0000文中如有不足，请您指教！14 / 14
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