12-5直接证明与间接证明

一、选择题1设a0，b0，且ab4，则有()A.B.2C.1 D.答案C解析4ab2，2，.21.也可取特殊值检验2命题“如果数列an的前n项和Sn2n23n，那么数列an一定是等差数列”是否成立()A不成立 B成立C不能断定 D能断定答案B解析Sn2n23n，Sn12(n1)23(n1)(n2)，anSnSn14n5.当n1时，a1S11符合上式an1an4(n1)为常数，an是等差数列3用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60答案B解析至少有一个不大于60的反面是都大于60.4设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A|ab|ac|bc|Ba2aC|ab|2D.答案C解析A：|ab|(ac)(cb)|ac|cb|一定成立B：a222，a2a22220a2或a1.而当a0时a2或当ab0，则下列不等式中总成立的是()Aab B.Cab D.答案A解析ab0，又ab，ab.(理)设a，b是两个实数，给出下列条件：(1)ab1；(2)ab2；(3)ab2；(4)a2b22；(5)ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A(2)(3) B(1)(2)(3)C(3) D(3)(4)(5)答案C解析本题可用特值法，令ab知(1)不行，令ab1知(2)不行，令ab2知(4)(5)都不成立6(文)已知函数f(x)lg，若f(a)b，则f(a)等于()Aa BbC. D答案B解析易证f(x)lg是奇函数，f(a)f(a)b.(理)已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x1对称，并且当x(0,1时，f(x)x21，则f(2012)的值为()A2 B0C1 D1答案B解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)图像关于直线x1对称，f(2x)f(x)，f(2x)f(x)f(x)，f(4x)f(2(2x)f(2x)f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，f(2012)f(0)，又f(x)是R上的奇函数，f(0)0，f(2012)0.二、填空题7已知函数f(x)ax2a1，当x1,1时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为_答案1a解析由题意得f(x)ax2a1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)f(1)0即可(a2a1)(2aa1)0.1a.8如果abab，则a，b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析首先a0，b0且a与b不同为0，要使abab，只需(ab)2(ab)2，即a3b3a2bab2，只需(ab)(a2abb2)ab(ab)只需a2abb2ab，即(ab)20，只需ab，故a，b应满足a0，b0且ab.三、解答题9(创新题)已知函数f(x)ax(a1)(1)求证：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)求证：方程f(x)0没有负根证明(1)方法一：任取x1，x2(1，)，不妨设x10，ax2x11且a x10，a x2a x1a x1 (a x2x11)0.又x110，x210，0，于是f(x2)f(x1)a x2a x10，故函数f(x)在(1，)上为增函数方法二：f(x)ax1(a1)，求导数得f(x)axlna，a1，当x1时，axlna0，0，f(x)0在(1，)上恒成立，f(x)在(1，)上为增函数(2)方法一：设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0，且0ax01，01，即x02，与假设x00矛盾，故方程f(x)0没有负根方法二：设存在x00(x01)满足f(x0)0，若1x00，则2，ax01，f(x0)1与f(x0)0矛盾若x01，ax00，f(x0)1与f(x0)0矛盾故方程f(x)0没有负根.一、选择题1设a，b，c均为正实数，则三个数a、b、c()A都大于2 B都小于2C至少有一个大于2 D至少有一个不小于2答案D解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.2给出如下三个命题：四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是adbc；设a，bR，且ab0，若1；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中不正确命题的序号是()A BC D答案A解析中，a，b，c，d成等比数列adbc，但adbcd:cc:bb:a.中，若0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案1解析本题考查双曲线、椭圆的基本概念椭圆焦点为(，0)，所以a2b27，椭圆离心率为e，2，a2，b，双曲线方程为1.4(文)(改编题)若x1，则x与lnx的大小关系为_答案xlnx解析设f(x)xlnx(x1)，则f(x)1，当x1时，f(x)0恒成立，f(x)xlnx在1，)上是增函数又f(1)1ln110，xlnx.(理)设f(x)(xa)(xb)(xc)(a，b，c是两两不等的常数)，则的值是_答案0解析f(x)(xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(ba)(bc)，f(c)(ca)(cb)，0.三、解答题5(2011安徽文，17)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上解析(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，则k1k2k1k220，k1k120，即k2不可能，故假设错误，l1与l2相交(2)联立消y得(k2k1)x2，k1k2，x，yl1与l2交点P(，)，将点P代入2x2y2得2x2y22()2()21.故点P在椭圆上，即l1与l2的交点在椭圆2x2y21上6在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形分析要证明三角形ABC为正三角形，可证三条边相等或三个角相等证明由A、B、C成等差数列，有2BAC. 因为A、B、C为ABC的内角，所以ABC. 由得，B. 由a、b、c成等比数列，有b2ac. 由余弦定理及可得，b2a2c22accosBa2c2ac.再由得，a2c2acac.即(ac)20，因此ac.从而有AC. 由得，ABC.所以ABC为等边三角形7(2010湖北理)已知数列an满足：a1，anan10，anan10，故an(1)n1.bnaan1.(2)用反证法证明假设数列bn存在三项br、bs、bt(rst)按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为，公比为的等比数列，于是有btbsbr，则只可能有2bsbrbt成立2s1r1t1.两边同乘3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts，由于rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾假设不成立故数列bn中任意三项不可能成等差数列