44 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理

第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理罗曼罗曼罗兰罗兰第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理1 质点的角动量质点的角动量vmrprLJmrL2sinvrmL 大小大小 的的方向方向符合右手法则符合右手法则.LLM,0 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩tMttd21 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O，质点所受，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量的冲量矩等于质点角动量的增量.12d21LLtMtt3 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律tLMdd2 质点的角动量定理质点的角动量定理只适用圆周运动只适用圆周运动第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理二二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量iiiiiiirmrmL)(2v2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理2121dttM tLLOirimivtJtLMd)(dddJL z3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律0M常量JL，则，则若若第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功一一 力矩作功力矩作功 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.MtMtWPdddd二二 力矩的功率力矩的功率orvFxvFoxrtFrdd第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理21222121d21JJMW三三 转动动能转动动能221iiikmEv四四 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理21dMW 合外力矩合外力矩对绕定轴转动的刚体所对绕定轴转动的刚体所作的功作的功等于刚体等于刚体转动动能转动动能的增量的增量.22221)(21Jrmiii2111ddddJtJ第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照质点运动质点运动刚体定轴刚体定轴转动转动速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddt dd质量质量 m转动惯量转动惯量动量动量角动量角动量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理 例例1 有一吊扇第一档转速为有一吊扇第一档转速为 n1=7rad/s,第二档转第二档转速为速为 n2=10rad/s.吊扇转动时要受到阻力矩吊扇转动时要受到阻力矩 Mf 的作用的作用,一般来说一般来说,阻力矩与转速之间的关系要由实验测定阻力矩与转速之间的关系要由实验测定,但但作为近似计算作为近似计算,我们取阻力矩与角速度之间的关系为我们取阻力矩与角速度之间的关系为 Mf =k 2,其中系数其中系数 k=2.7410-4 Nmrad-2s2.试求试求（1）吊扇的电机在这两种转速下所消耗的功率）吊扇的电机在这两种转速下所消耗的功率;（2）吊扇由静止匀加速地达到第二档转速经历的时间）吊扇由静止匀加速地达到第二档转速经历的时间为为 5s.在此时间内阻力矩做了多少功在此时间内阻力矩做了多少功?解解（1）WnkkMP 3.23)2(313111f1WnkkMP 0.68)2(323222f2第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理解解:吊扇由静止作匀角加速度运动吊扇由静止作匀角加速度运动522nttkMWdd32f阻力矩做功阻力矩做功4303341dtkttkWt在在 t 5s 时间内时间内JW 8.84 已知已知:n1=7rad/s,n2=10rad/s;Mf=k 2,k=2.7410-4 Nmrad-2s2.求求（2）吊扇由静止匀加）吊扇由静止匀加速的达到第二档转速经历的时间为速的达到第二档转速经历的时间为 5s.在此时间内阻力在此时间内阻力矩做了多少功矩做了多少功?t第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理oRhmmm2022121JJ 和和 、分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度坐标和角速度.0,0dd00TTFRRF 例例 一质量为一质量为 、半径为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动直通过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m 的物体的物体.问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时，时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计.m 解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为TFTFoTFNFPTFPm第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理202TT2121dd00JJFRRF物体由静止开始下落物体由静止开始下落0,000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2v并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量221RmJ202T2121d0vvmmFRmgh由质点动能定理由质点动能定理TTFFoTFNFPTFPmRv第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理 例例2 一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转自由转动动.一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支点为的子弹射入竿内距支点为 a 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为多少问子弹的初速率为多少?vmm 解解:把子弹和竿看作一个系把子弹和竿看作一个系统统 .子弹射入竿的过程系统角动子弹射入竿的过程系统角动量守恒量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamv第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1(2lgm)30cos1(mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统，机械能守恒，机械能守恒.2233malmamv第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理 例例3 一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细棒的均匀细棒,棒的一端可绕通过棒的一端可绕通过O点并垂直于纸面的轴转动点并垂直于纸面的轴转动,棒棒的另一端有质量为的另一端有质量为 m 的小球的小球.开开始时始时,棒静止地处于水平位置棒静止地处于水平位置A.当棒转过当棒转过 角到达位置角到达位置 B,棒的棒的角速度为多少角速度为多少?解解:取小球、细棒和地球为系统取小球、细棒和地球为系统,在棒转动过程中在棒转动过程中机械能守恒机械能守恒,设设 A A 位置为重力势能零点位置为重力势能零点.pBkBpAkAEEEEolm,mABgmgmsin21l第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理2kB21JE0PkAAEEpBkBpAkAEEEE2223431mlmlmlJ)sinsin2(pBmgllmgEsin23mgl21)sin(23lgolm,mABgm21JJJgmsin21lsin2343022mglml第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 例例、图示、图示,已知已知 M R m求求:taT mg解解:受力分析受力分析 Raat 221MRJ MmTNMgmgTmaTRJ()2mgMmR22magmM2MmTgmM列方程列方程解方程得解方程得第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理R m1m2例例2.物体物体 m1m2，滑轮（滑轮（R，m）。阻力）。阻力 矩矩Mf，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。绳子质量忽略，不伸长、不打滑。求重物的加速度及绳中张力求重物的加速度及绳中张力m1gT1T2m2ga1a2T2T1Mf1111amTgm2222amgmTJMRTRTf21aaa21Raat2/)(2121mmmRMgmmaf 解解:受力分析受力分析列方程列方程解方程得解方程得第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理2/)2/2(211121mmmRMmgmmmTf 2/)2/2(212212mmmRMmgmmmTf 1.不计轴上摩擦不计轴上摩擦 Mf=02/)2/2(21121mmmgmmmT 2/)2/2(21212mmmgmmmT 2/)(2121mmmgmma 2/)(2121mmmRMgmmaf 解方程得解方程得第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理211121/2mmRMmgmmTf 212212/2mmRMmgmmTf 3.不计轴上摩擦、不计滑轮质量不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf=0,m=0)2.不计滑轮质量不计滑轮质量 m=02121)(mmgmma 2121/)(mmRMgmmaf gmmmmT212122 12TT第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理例例17例例17.如图，一根均匀铁丝，长为如图，一根均匀铁丝，长为 L，质量为，质量为 m，在其，在其中点处弯成中点处弯成 1200 角，放在角，放在 xoy 平面内，分别求出铁丝对平面内，分别求出铁丝对 ox 轴、轴、oy 轴、轴、oz 轴的转动惯量。轴的转动惯量。xyO600600yd rr对ox 轴：解：解：22doxJym/222002cos 60dLmrrL2148mL0cos60yrddmmrL对oy 轴：22doyJxm/222002sin 60dLmrrL2116mL0sin60 xr对oz 轴：22dozJrm/2202dLMrrL2112ML第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理例例19例例18.如图有如图有 T 型尺，由两根长均为型尺，由两根长均为L，质量均为，质量均为m 的均的均质细棒组成，求：质细棒组成，求：T 型尺对过型尺对过o点垂直点垂直T 型尺平面的轴型尺平面的轴的转动惯量的转动惯量.LLo12解：解：将将T 型尺分成两部分型尺分成两部分21121mLJ 2231mLJ 221125mLJJJ第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理20223sin3022mg JmRTm agJmR例例20.如图所示，转动惯量为如图所示，转动惯量为J的定滑轮，半径为的定滑轮，半径为R，通，通过一轻绳在定滑轮两边各系质量都是过一轻绳在定滑轮两边各系质量都是m的物块，绳与滑的物块，绳与滑轮间没有相对滑动，斜面光滑，斜面与水平面的夹角为轮间没有相对滑动，斜面光滑，斜面与水平面的夹角为30，求物块的加速度及绳中的张力。，求物块的加速度及绳中的张力。解：解：1mgTma2sin30Tmgma12T RT RJ1122TTTT，其中：其中：/a R2222mR gaJmR2122522mgJmRTm agJmR第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理例例22例例22.如图所示，一匀质细棒可绕水平轴如图所示，一匀质细棒可绕水平轴 O 转动，已知转动，已知棒长为棒长为 l，质量为，质量为 m，开始时将棒置于水平状态，然后，开始时将棒置于水平状态，然后由静止摆下，求棒摆到竖直的瞬间由静止摆下，求棒摆到竖直的瞬间（1）棒的角速度；）棒的角速度；（2）棒的转动动能；（）棒的转动动能；（3）质心的加速度（不计摩擦阻）质心的加速度（不计摩擦阻力）。力）。cO转动过程细棒的机械能守恒转动过程细棒的机械能守恒解：（解：（1）设细棒在水平位置时的重力势能为零设细棒在水平位置时的重力势能为零10E 22lEmg 212J213Jml221126mglml 12EE2211026mglml3gl（2）转动动能转动动能212kEJ2lmg第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理例例22例例22.如图所示，一匀质细棒可绕水平轴如图所示，一匀质细棒可绕水平轴 O 转动，已知转动，已知棒长为棒长为 l，质量为，质量为 m，开始时将棒置于水平状态，然后，开始时将棒置于水平状态，然后由静止摆下，求棒摆到竖直的瞬间由静止摆下，求棒摆到竖直的瞬间（1）棒的角速度；）棒的角速度；（2）棒的转动动能；（）棒的转动动能；（3）质心的加速度（不计摩擦阻）质心的加速度（不计摩擦阻力）。力）。cO解：（解：（3）213Jml3gl（2）转动动能转动动能212kEJ2lmgmg棒所受合力矩棒所受合力矩0M 由转动定律由转动定律MJ002ctla切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度22cnla32g0质心的总加速度质心的总加速度32cag第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理定理作业作业