高考数学模拟复习试卷试题模拟卷105

x x 3 2 3 高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2.会利用导数解决某些实际问题【重点知识梳理】1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 式 yf(x)；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答2不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问 题3方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解 的个数【高频考点突破】考点一 函数的最值与导数a例 1、已知 aR，函数 f(x) ln x1.(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求 f(x)在区间(0，e上的最小值【拓展提升】1.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值2.求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要与端点值比较，对于含参数的函数最值，要注意分类讨论【变式探究】2已知函数 f(x)ax 3ln x，其中 a 为常数2 2 3 (1)当函数 f(x)的图象在点 ，f 处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在 ，3 上的最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围；2 2 x 3考点二 利用导数证明不等式1例 2、 已知定义在正实数集上的函数 f(x) x22ax，g(x)3a2lnxb，其中 a0.设两曲线 yf(x)，y g(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用 a 表示 b，并求 b 的最大值；(2)求证：f( x)g(x)(x0)【方法技巧】利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数，并求其单调区间；(2)判断区间端点函数值与 0 的关系；(3)判断定义域内函数值与 0 的大小关系，证不等式2【变式探究】 证明：当 x0,1时， xsinxx.考点三、利用导数研究函数零点问题例 3、已知函数 f(x)x2xsinxcosx.(1)若曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb 相切，求 a 与 b 的值；(2)若曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，求 b 的取值范围【方法技巧】函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一 【变式探究】 已知函数 f(x)x33ax1，a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f( x)在 x1 处取得极值，直线 y m 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围 考点四 生活中的优化问题例 4、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/a千克)满足关系式 y 10(x6)2，其中 3x1时，f (x)1 ，当 x (1,x ) 0 0时，恒有f(x)k(x -1)【高考广东，文 21】（本小题满分 14 分）设a为实数，函数f (x)=(x-a)2+x-a-a(a-1)（1）若f (0)1，求a的取值范围；f (x)（2）讨论的单调性； （3）当 a 2 时，讨论 f (x)+4x在区间(0,+)内的零点个数【高考四川，文 21】已知函数 f(x) 2lnxx22axa2，其中 a0.()设 g(x)为 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性；()证明：存在 a(0，1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在区间(1，)内有唯一解.【高考天津，文 20】（本小题满分 14 分）已知函数f ( x)4 x x4, xR ,（I）求 f ( x )的单调区间;（II）设曲线 yf ( x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 yg ( x ),求证:对于任意的正实数 x ,都 有 f ( x)g ( x );（III）若方程f ( x )= a (a为实数)有两个正实数根x ，x ，且 x 1 2 1x2,求证:x -x2 1a3143.16.【高考浙江，文 20】（本题满分 15 分）设函数f ( x ) =x2+ax +b,( a , b R ).（1）当ba 241时，求函数 f ( x)在 1,1上的最 小值 g ( a )的表达式；（2）已知函数 f ( x ) 在 1,1 上存在 零点， 0 b -2 a 1 ，求 b 的取值范围.1（四川卷）已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2 .718 28为自然对数的底数 (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.2（安徽卷）若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：(i)直线 l 在点 P(x0，y0)处与曲线 C 相切；(ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧则称直线 l 在点 P 处“切过 ”曲线 C.x 下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线 l：y0 在点 P(0，0)处“切过”曲线 C：yx3；直线 l：x1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：y(x1)2；直线 l：yx 在点 P(0，0)处“切过”曲线 C：ysin x；直线 l：yx 在点 P(0，0)处“切过”曲线 C：ytan x； 直线 l：yx1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：yln x.3（安徽卷）设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0，1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值4（北京卷）已知函数 f(x)2x33x.(1)求 f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切，求 t 的取值范围；(3)问过点 A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线 yf(x)相切？(只需写出结论)5（福建卷）已知函数 f(x)exax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A，曲线 yf(x)在点 A 处的 切线斜率为1.(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；(2)证明：当 x0 时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x(x0，)时，恒有 xcex.6（湖北卷） 为圆周率，e2.718 28为自然对数的底数ln x(1)求函数 f (x) 的单调区间；(2)求 e3，3e，e，e，3，3 这 6 个数中的最大数与最小数7（湖南卷）若 0x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex2x21 x22 x2n 3 8 2 8（湖南卷）已知函数 f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求 f(x)的单调区间；1 1 1 2(2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(iN*)个零点，证明：对一切 nN*，有 .9（江西卷）若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_10（江西卷）将连续正整数 1，2，n(nN*)从小到大排列构成一个数 123n，F(n)为这个数的位数(如 n12 时，此数为 123456789101112，共有 15 个数字，F(12)15)，现从这个数中随机取一个数 字，p(n)为恰好取到 0 的概率(1)求 p(100)；(2)当 n时，求 F(n)的表达式；(3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数，f(n)为这个数中数字 9 的个数，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1， n100，nN*，求当 nS 时 p(n)的最大值11（辽宁卷）当 x2，1 时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A5，3 B.96，C6，2 D4，312（新课标全 国卷 若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)13（新课标全国卷 已知函数 f(x)x33x2ax2，曲线 yf(x)在点(0，2)处的切线与 x 轴交点 的横坐标为2.(1)求 a；(2)证明：当 k1 时，曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点14（全国新课标卷）已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的 取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)1a15（全国新课标卷）设函数 f(x)aln x x2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；a 1x 1x 3 b a3 4 x 22 (2)若存在 x01，使得 f(x0)a，求 a 的取值范围x116（山东卷）设函数 f(x)aln x ，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性m17（陕西卷）设函数 f(x)ln x ，mR.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；x(2)讨论函数 g(x)f(x) 零点的个数；f（b）f（a）(3)若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m 的取值范围218（天津卷）已知函数 f(x)x2 ax3(a0)，xR.(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的 x1(2，)，都存在 x2(1，)，使得 f(x1)f(x2)1，求 a 的取值范围19（浙江卷）已知函数 f(x)x33|xa|(a0)若 f(x)在1，1上的最小值记为 g(a) (1)求 g(a)；(2)证明：当 x1，1时，恒有 f(x)g(a)4.x a 319（重庆卷）已知函数 f(x) ln x ，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线1垂直于直线 y x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值【押题专练】1已知函数 f(x)ax2c，且 f(1)2，则 a 的值为()A. 2 B1C1 D02曲线 yx32x1 在点(1，0)处的切线方程为()Ayx1 Byx1x 1 2 Cy2x2 Dy2x23若 函数 f(x)的定义域为a，b，且 ba0，则函数 g(x)f(x)f(x)的定义域为()Aa，b Bb，aCb，b Da，ax14过点(0，1)且与曲 线 y 在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( )A2xy10B2xy10Cx2y20Dx2y201，x0，5设函数 f(x)0，x0， g(x)x2f(x1)，则函数 g(x)的递减区间是( )1，x ，则满足 2f(x)x1 的 x 的集合为( ) Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x17设 f(x)x(ax2bxc)(a0)在 x1 和 x1 处有极值，则下列点中一定在 x 轴上的是( )A(a，b) B(a，c)C( b，c) D(ab，c)8设曲线 yxn1(nN*)在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点横坐标为 xn，则 log2 012x1log2 012x2 log2 012x 的值为( )Alog2 0122 011 B1C1log2 0122 011 D 19函数 f(x)x3 ax(xR)在 x1 处有极值，则曲线 yf(x)在原点处的切线方程是_10曲线 yx(3lnx1)在点(1，1)处的切线方程为_11设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0 且 g(3)0， 则不等式 f(x)g(x)0，讨论 f(x)的单调性；(2)设 a1，证明：对任意 x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|1 时，判断方程 f(x)0 实根的个数高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第 02 节 古典概型一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求 的。）1. 【陕西高考第 6 题】从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该 正方形边长的概率为（ ）1 2 3 4A. B. C. D.5 5 5 5【答案】C2. 有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这 两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （ ）（A）1 1 2 3 （B） （C） （D）3 2 3 4【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3 3 =9种结果，满足条件得事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到3 1P = =9 3，故选 A.3. 先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是()A.1 3 5 7B. C. D.8 8 8 8【答案】D4. 【原创题】口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为 1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个 球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为（ ）A15B.2 1 1C. D.5 3 6【答案】C5. 抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过 4，则出现的点数是奇数的概率为（ ） 1 1 1 1A B C D3 4 6 2【答案】D【解析】抛掷一枚骰子，共会出现1,2,3,4,5,6共有 6 中情况，点数不超过 4 有1,2,3共 3 种情况，因此P =3 1=6 2.6.【改编题】先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果记为(a,b)，其中a表示第一次抛掷的结果，b表示第二次抛掷的结果，则函数f ( x) =x3 +ax 2+bx +c是单调函数的概率为（ ）A3 7 4 5 B C D4 8 9 9【答案】C【解析】先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果有 36 种，f ( x) =3 x 2 +2 ax +b，函数f ( x)是单调函数，等价于4 a2 -12b 0 ，即 a 23b，当a =1时，有 6 种；当a =2时，有 5 种；当a =3时，有 4种；当 a =4 时，有 1 种，故函数f ( x) =x3 +ax 2+bx +c是单调函数的概率为16 4=36 97.【原创题】某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车位连 在一起，则不同的停放方法的种数为( )A16 B18n C24 答案 CD328. 在分别标有号码 2，3，4，10 的 9 张卡片中，随机取出两张卡片，记下它们的标号，则较大标号被 较小标号整除的概率是（ ）A736B5 2 1C D18 9 4【答案】9. 【 安庆二模】在平面直角坐标系中，从下列五个点： 三个，这三点能构成三角形的概率是（ ）A (0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取A2 3 4B C D 15 5 5【答案】C【解析】从 5 个点中取 3 个点，列举得 ABC ,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 共有 10 个基本事件，而其中 ACE, BCD 两种情况三点共线，其余 8 个 均符合题意，故能构成三角形的概率为8 4=10 5.选 C.10.【改编题】 如图 3 是一个从 A B 的“闯关游戏”，规则规定：每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有 1，2，3，4 的均匀的正四面体在过第 n 关时，需要抛掷 n 次正四面体，如果这 n 次面朝下的数字之和大于 2 ，则闯关成功，否则称闯关失败 A B,某人 按规则进行闯关游戏，下列说法：（1）他闯第一关成功的概率为123；（2）他仅过第一 关的概率为 ； （3）他在这项游戏中16最多能过三关；（4）他连过前两关，第三关失败的概率是 其中，正确的说法的个数为( )A1 B2 C3 D455256123412345234563456745678【答案】D11.(云南统一检测)在一次学习方法成果交流会上，需要交流示范学校的 5 篇论文和非示范学校的 3 篇论 文，交流顺序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同一类学校的概率是( )A152813B2815C5613D56答案 A解析 最先和最后交流的论文为示范学校论文的情况有 A25A6种，最先和最后交流的论文为非示范学A25A6A23A6 15校论文的情况有 A23A6种，故所求概率 P1 .A8 2812.(安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60的共有( )A24 对C48 对 答案 CB30 对D60 对解法 2：间接法正方体的面对角线共有 12 条，从中任取 2 条有 C212种取法，其中相互平行的有 6 对，相互垂直的有 12 对， 共有 C21261248 对二、填空题13. 某广场中心建造一个花圃，花圃分成 5 个部分(如图)现有 4 种不同颜色的花可以栽种，若要求每部 分必须栽种 1 种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有_种答案 72解析 依题意，按花圃的 5 个部分实际栽种花的颜色种数进行分类计数：第一类，花圃的 5 个部分实际 栽种花的颜色种数是 3 时，满足题意的方法数共有 A342 4 种；第二类，花圃的 5 个部分实际栽种花的颜 色种数是 4 时，满足题意的方法数共有 A4248 种因此，满足题意的方法数共有 2 44872 种14.【改编题】投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m, n ,设 a =( m, n) _.,则满足 a 5 的概率为【答案】133615. 由 1、2、3、4、5、6 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是_(以具体数字作 答)答案 72解析 首位数字是奇数时有 A3A3 种排法，首位数字是偶数时也有 A3 A3 种排法，所以一共可以组成2A3A372 个奇偶数字相间且无重复数字的六位数16.( 江苏扬州模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b，c，则方程 x2bxc0 有实根的 概率为_【答案】1936三、解答题17. 【高考福建卷第 20 题】根据世行新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP 为10354085 元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为 408512616 美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表：（1）判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标 准的概率.18( 山西四校联考)某班优 秀生 16 人，中等生 24 人，学困生 8 人，现采用分层抽样的方法从这些学生中 抽取 6 名学生做学习习惯调查(1)求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数；(2)若从抽取的 6 名学生中随机抽取 2 名学生做进一步数据分析；列出所有可能的抽取结果；求抽取的 2 名学生均为中等生的概率【解】 (1)优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数为 2、3、1.(2)在抽取到的 6 名学生中，3 名中等生分别记为 A1，A2，A3,2 名优秀生分别记为 A4，A5,1 名学困生记为 A6，则抽取 2 名学生的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6， A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共 15 种从这 6 名学生中抽取的 2 名学生均为中等生(记为事件 B)的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，3 1A2，A3，共 3 种，所以 P(B) .15 519. 【广州市普通高中毕业班综合测试一】已知某种同型号的6 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期.（1）从 6 瓶饮料中任意抽取1 瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率；（2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率.高考模拟复习试卷试题模拟卷 高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一基础题组1. （重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、 1）若直线 ax +2 y +1 =0 的值等于( )与直线 x +y -2 =0互相垂直，那么 aA1 B -13C -23D -22.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所 得弦 的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为_3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0)为圆心且与直线mx -y -2 m -1 =0( m R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方 程为 .4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数a, b , c成等差数列，点P ( -1,0)在动直线l : ax +by =c =0上的射影为M，点N (0,3)，则线段MN长度的最小值是二能力题组1.( 五校协作体高三上学期期初考试数学、文、 9) 曲线y =x2+1在点 （1 ，2 ）处的切线为 l ，则直线 l 上的任意点 P 与圆x2+y2+4 x +3 =0上的任意点 Q 之间的最近距离是（ ）4 5 2 55 -1-1-1 B.A.C.D.25 52.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为x 2 +(y-1)2=4。若过点 1 P 1, 2 的 直线l与此圆交于A, B两点，圆心为C，则当ACB最小时，直线l的方程为。3. （武汉市部分学校 新高三调研、文、 15）圆O的半径为1, P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点 A 与点 P 重合） 沿圆周逆时针滚动，点 A 第一次回到点 P 的位置，则 点 A 走过的路径的长度为_.三拔高题组1.( 东 北 师 大 附 中 、 吉 林 市 第 一 中 学 校 等 高 三 五 校 联 考 、 文 、 7 ） 过 点A( a, a)可 作 圆x 2 +y 2 -2 ax +a 2 +2 a -3 =0的两条切线，则实数a的取值范围为（ ）Aa 1Ba 32C-3 a 32Da -3或 1 a 0)上一动点，PA, PB 是圆 C : x2+y2-2 y =0的两条切线， A, B 是切点， 若四边形 PACB 面积的最小值是 2，则k =（ ）A.3B.212C.2 2D.24. （云南师范大学附属中学月考、文、12 ）设直线 l 与抛物线 x2=4y 相交于 A, B 两点，与圆 C ：x 2 +( y -5) 2 =r 2(r0)相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线l恰有 4 条，则 r 的取值范围是（ ）A.（1，3) B. (1,4)C. (2, 3) D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设 m R ，过定点 A 的动直线 x +my =0和过定点 B 的动直线mx -y -m +3 =0交于点 P ( x, y )，则 | PA | |PB |的最大值是