高等数学-上期末复习

高等数学练习题,解,解,利用“先二后一”计算.,3. 试计算椭球体,的体积 V.,解法1,解法2,利用三重积分换元法. 令,则,4 .求三重积分,解,5.计算,其中L为圆周,解 参数方程计算,则,第二型曲线积分的计算,1. 直接计算法,2. 利用格林公式化为二重积分计算,格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则,3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径,D：单连域， P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且,6. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),则,添加辅助线段,计算,其中L为上半圆周,沿逆时针方向.,7.,第二型曲面积分的计算,曲面,上侧,下侧,（上侧正下侧负）,曲面,前侧,后侧,(前侧正后侧负),右侧,左侧,曲面,光滑曲面,（上侧正下侧负）,(前侧正后侧负),光滑曲面,前侧 后侧,（单值）,（单值）,小结:,光滑曲面,右侧 左侧,(右侧正左侧负),解,这里P=0，Q=yz，R=zx,于是,注意：,解,x,y,z,该曲线的方程 .,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得,代入初始条件f(1)=1,得,曲线，f(x)在,解 由题设沿闭回路的第二型曲线积分等于零和与路线无关的 定理，知被积函数必满足恰当条件，这里,这是不显含f(x)的二阶方程，,再积分，得,代入f(0)=1,得C2=1,所求函数,13.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,14.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,该曲线的方程 .,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,由 得,由 得 C = 2,因此所求曲线方程为,解,再求导，得,初始条件为,特征方程与特征根为:,对积分方程两边求导，得,17: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,