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1981 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一（本题满分 6 分）设 A 表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设 A=有理数，B=无 理数，试写出：1.AB, 2.AB.解：1.AB=实数,2.AB=二（本题满分 6 分）在 A、B、C、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共 有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数 P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数 C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD三（本题满分 8 分）下表所列各小题中，指出 A 是 B 的充分条件，还是必要条件，还 是充要条件，或者都不是A 是 B 的什么条A B件四边形 ABCD 为 四边形 ABCD 为1必要条件平行四边形矩形1 / 723a=3=1500|a|=3sin=充分条件充分条件点（a,b)在圆4a2+b2=R2充要条件x2+y2=R2 上解：见上表四（本题满分 8 分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明证二：解析法：以 A 为原点，射线 AB 为 x 轴正向，建立直角坐标系， 则得 A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点距离公式得：Ya2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b2+c2-2bccosA.Cb aA O c B X五（本题满分 10 分）解不等式（x 为未知数）：解：右式=x2(x-a-b-c)0原不等式解是 x0,xa+b+c六（本题满分 10 分）用数学归纳法证明等式2 / 7对一切自然数 n 都成立证：略七（本题满分 15 分）设 1980 年底我国人口以 10 亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增 2%，那么到 2000 年底将达 到多少？（2）要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿，那么每年比上年平均递 增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060解：1.所求人口数 x（亿）是等比数列10,101.02,10（1.02）2，的第 21 项，即x=10（1.02）20,两边取对数，得 lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859（亿)2设人口每年比上年平均递增率最高是 y%，按题意得10（1+y%)2012，（1+y%)201.2.3 / 7根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得 20lg(1+y%)lg1.2.即 lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答：略八（本题满分 17 分）在 1200的二面角 P-a-Q 的两个面 P 和 Q 内，分别有点 A 和点 B 已知点A 和点 B 到棱 a 的距离分别为 2 和 4，且线段 AB=10， 1求直线 AB 和棱 a 所成的角;2求直线 AB 和平面 Q 所成的角解：1.在平面 P 内作直线 ADa于点 D;在平面 Q 内，作直线 BEa 于点 E，P 1200QE BAF D C从点 D 作 a 的垂线与从点 B 作 a 的平行线相交于点 C ABC 等于 AB 和 a 所成的角ADC 为两面角 P-a-Q 的平面角，ADC=1200又 AD=2，BCDE 为矩形，CD=BE=4连接 AC，由余弦定理得又因 ADa,CDa,所以 a 垂直于ACD 所在的平面 再由 BCa 得知 BC 垂直于ACD 所在的平面，BCAC在直角ABC 中，4 / 72在ACD 所在的平面内，作 AFCD 交 CD 的延长线于点 F 因为ACD 所在的平面平面 Q，AF平面 Q在ADF 中，ADF=600，AD=2，AF=连结 BF，于是ABF 是 AB 和平面 Q 所成的角，而ABF 为直角三角 形，所以九（本题满分 17 分）给定双曲线1过点 A（2，1）的直线 L 与所给的双曲线交于两点 P 及 P ，求线1 2段 P P 的中点 P 的轨迹方程1 22过点 B（1，1）能否作直线 m，使 m 与所给双曲线交于两点 Q 及1Q ，且点 B 是线段 Q Q 的中点？这样的直线 m 如果存在，求出它的方 2 1 2程;如果不存在，说明理由解：设直线 L 的方程为y=k(x-2)+1, (1)将（1）式代入双曲线方程，得：又设 P （x y ),P (x ,y ), 1 1, 1 2 2 2以有则 x ,x 必须是（2）的两个实根，所 1 25 / 7按题意，因为在直线（1）上，所以再由的表达式相除后消去 k 而得所求轨迹的普通方程为这就是所求的轨迹方程2设所求直线方程为 y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得设必须是（3）的两个实根，即如果 B 是 Q Q 的中点，就有1 2，即 ，所以有综合起来，k 应满足由第二式解出 k=2，但 k=2 不满足第一式，所以（I)无解故满足题设中条件的直线不存在十（附加题，本题满分 20 分，计入总分）已知以 AB 为直径的半圆有一个内接正方形 CDEF，其边长为 1（ 如 图 ） 设 AC=a ， BC=b ， 作 数 列 u =a-b ， u =a1 22-ab+b2,u =a33-a2b+ab2-b3,，u =akk-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;求证：u =u +u (n3)n n-1 n-2证：通项公式可写成6 / 7u =ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk= k因 a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=ACBC=CD2=1E DA BF O C7 / 7
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