《离散型随机变量分布列》训练题

离散型随机变量分布列训练题1. 为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.(I)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(II)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.【解析】(I)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,则P(A)=2|3!二.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为lo.(II)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X二0)=2x4!5!2,p(x二i)=P(X二2)=2x2!x3x2!5!5,P(X=3)=2x3!_15!-10随机变量X的分布列为:X0123P23115105102311因为EX=0x+1x10+2x+3xjo=1，所以随机变量X的数学期望为1.32. 某旅行社组织了一个有36名游客的旅游团到安徽风景名胜地旅游，其中是省外游客,其余是省内游客，在省外游客中有3玩过黄山，在省内游客中有3玩过黄山。(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1名省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人的概率；(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中省内游客玩过黄山的人数为随机变量e，求e的分布列及数学期望空-【解析】(I)由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山.设事件B为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”.事件A1为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件A2为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”则P(B)=P(A1)+P(A?)C1C2C1C1C1=921+9621C3C33636=34+170=8所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客3417085玩过黄山少于2人”的概率是I.856分(IDf的可能取值为山1,2,3.巩=9二=一陀=1)=务一C；84cl14=2)=,P(=3)=ID分Cl28诱21所以芒的分布列为0123P1315584142821所从込。咕+】十遡+站八g3. 佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命E（单位:月）服从正态分布N（卩,c2），且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.（1）求这种灯管的平均使用寿命卩；（2）假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.【解析】（1）适N（卩,c2）,P12）二0.8,P24）二0.2P（g12）二0.2,显然PG24）3分由正态分布密度函数的对称性可知,12+242二18即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月；5分6分2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1-0.8=0.2假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，贝曲B（4,02）,10分故至少两支灯管需要更换的概率113P二1-P二0）-P二1）二1-C00.84C10.83x0.21二（写成0.18也可44625以）13分4. 张师傅驾车从公司开往火车站,途径4个交通岗,这4个交通岗将公司到火车站分成5个时段,每个时段的驾车时间都是3分钟,如果遇到红灯要停留1分钟。假设他在各1交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是亍（1）求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率；（2）记张师傅此行程所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值。【解析】（I）如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟.165张师傅此行程时间不小于16分钟的概率P=l(13)4=81-4分112(II)设此行程遇到红灯的次数为X,则XB(4,丁)，P(X=k)=Ck(V)k(T)4-k，k=0,1，2，3，4依题意，Y=15+X,则Y的分布列为Y1516171819P1632_8_8_丄8181278181149Y的均值E(Y)=E(X+15)=E(X)+15=4X丁+15=.12分5. 在2012年伦敦奥运会某项目的选拔比赛中，A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A、A、A,B队队员是B、B、B,按以往多次比赛的统计,123123对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为g、耳,且+耳=3.(I) 求A队得分为1分的概率；(II) 求g的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.对阵队员A队队员胜A队队员负A对B211133A对B232255A对B343377【解析】(I)设A队得分为1分的事件为A,4分023412413341.P(A)=XX+XX+XX=0357357357105(II)g的可能取值为3,2,1,0;P(g=3)=P(A)=2x2X-=-120357105P(gP(g2 2412323340=2)=xx|xX+xX=3 5735735710541,105234124133=1)=XX+XX+XX35735735712,P(g=0)=1X-X-=357g的分布列为:g012312414012P10510510510510分于是Eg=0x-12+141+2x-40+3x10510510512105157，Eq=-Eg+3=158-105由于EqEg，故B队比A队实力较强.11分12分13分6. 某养鸡场流行一种传染病,鸡的感染率为10%.现对50只鸡进行抽血化验,以期查出所有病鸡设计了如下方案:按n(1WnW50,且n是50的约数)只鸡一组平均分组，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题，即对该组的n只鸡逐只化验记X为某一组中病鸡的只数.(1)若n=5，求随机变量X的概率分布和数学期望;为了减少化验次数的期望值试确定n的大小.解:(1)当n=5时,XB(5,0.1),则P(X=r)=Cr0.1r0.95-r,r=0,1,2,3,45,5故X的概率分布表为:X012345P0.590.330.0730.00810.000450.00001所以E(X)=5x0.1=0.5;(2)由题意得n的所有可能取值为1,2,5,10,25,50,当ne1时,需化验50次；当ne2,5,10,25,5。时,XB(n,0.1),对于某一组的n只鸡，化验次数Y的所有可能值为1,n+1，且P(Y=1)=0.9,P(Y=n+1)=1-0.9”,所以E(Y)=1x0.9n+(n+1)x(10.9”)=n+1-n0.9”,故50只鸡的化验总次数的期望f(n)=50(n+1-n0.9n)=50(+丄-0.9n)nn算得f(2)=34.5,f(5)=30.5,f(10)=37.5,f(25)=48.5,f(50)=51,所以按5只鸡一组化验可使化验次数的期望值最小.