反常积分的几种计算方法

反常积分的几种计算方法(总9 页-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company Onel-CAL -本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录摘 要 1 关键词 1Abstract 1Keywords 10 前 言11 反常积分的定义 11.1 无穷积分的定义 11.2 瑕积分的定义 .22 反常积分的计算方法 32.1 利用 NewtonLeibniz 公式计算反常积分32.2 利用变量替换法计算反常积分 32.3利用分部积分法计算反常积分 52.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 72.5利用方程法计算反常积分 72.6利用级数法计算反常积分 92.7利用待定系数法计算反常积分10结束 语11参考文献.11反常积分的几种计算方法摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用.关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法Several calculation methods of abnormal integralAbstract: This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. Thispaper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation.Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral; Series method;the method of undetermined coefficient0 前言反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的 重难点。本文不仅介绍了常见的三大基本方法：NewtonLeibniz公式、利用变量替 换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数 法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有 更加深刻的认识。但是在解决具体问题时要求我们注意各种方法的灵活性与相互渗 透，这样可以简便计算。1反常积分的定义1.1无穷积分的定义定义1设函数f定义在无穷区间上，且在任何有限区间la,u上可积，如果存 在极限lim Ju f (x) dx = J ,(1)u -+o a则称此极限J为函数f在上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J 二 Jf (x)dx,(1)a并称Jf (x)dx收敛如果极限不存在，为方便起见，亦称Jf (x)dx发散.aa类似地，可定义f在(-s,b上的无穷积分：Jb f (x)dx 二 lim Jbf (x)dx (2)gUT8 U对于f在(-+上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：J+8 f( x)dx = Ja f (x)dx + +f (x)dx.(3)gga1.2瑕积分的定义定义2设函数f定义在区间(a,b上,在点a的任一右领域上无界，但在任何内闭区 间lu,bu (a,b上有界且可积如果存在极限lim Jb f (x)dx = J ,(4)uTa+ u则称此极限为无界函数f在(a, b上的反常积分，记作J =J bf (x )dx,(4)a并称反常积分Jb f (x )dx收敛如果极限不存在，这时也说反常积分Jb f (x )dx发散.aa在定义中，被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而无界函数反 常积分Jb f (x )dx又称为瑕积分.a类似地，可定义瑕点为b时的瑕积分：Jbf(x)dx=limJuf(x)dx.(5)auTb a其中f在L,b)有定义，在点b的任一左领域上无界，但在任何la,uu la,b)上可积.若f的瑕点c u (a, b)，则定义瑕积分=limJu f(x)dx+limJb f(x)dx.(6)uTc avTc+ v其中f在L,c)u (c,b上有定义，在点c的任一领域上无界，但在任何L, uu ta, c)和 |v,bu (c,b上都可积当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.又若a,b两点都是f的瑕点，而f在任何L, vu (a,b)上可积，这时定义瑕积分 =lim Jc f(x)dx + lim Jv f(x)dx ,(7)uTa+uvTb c其中c为(a,b)上任一实数同样地，当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.2反常积分的计算方法在计算反常积分时有三大基本方法：NewtonLeibniz公式、利用变量替换、利 用分部积分法.设Af (x)dx是反常积分，b为唯一的奇点(b为有限数，或+8)，计算Jbf (x)dx :aa2.1利用NewtonLeibniz公式计算反常积分若f (x)在a,b)连续，且F(x)为f (x)的原函数，则(8)Jb f (x)dx 二 F(x) Ib-o 二 F(b - 0) - F(a). aadx例1计峯:E的值.解：f (x) =1在(a，b上连续，从而在任何lu，bu(a，b上可积，x二a为其瑕(x - a) p点，故2.2利用变量替换法计算反常积分若申(t)在la，卩)上单调，有连续的导数申(t)，申(a) = a，申(卩-0) = b (0为有限数或 无穷大)，则J bf (x )dx =aa2dx例2计算j b2dx的值.a *(x a)(b x)解：令 x = a cos2 0 + b sin2 0 贝g dx 二2a cos0 sin0 + 2b sin0 cos0，x a = a cos2 0 + b sin2 0 a = a(cos2 0 1) + b sin2 0 = a sin2 0 + b sin2 0 = (b a) sin2 0bx=bacos20bsin20 = b(1 sin2 0 ) a cos2 0 =bcos20acos20 =(ba)cos20Jb.2dx= 2J:2(ba)sin0 cos0d0 = J：4d0=2兀.a、. (x 一 a)(b 一 x)0(b 一 a)sm0 cos00例3证明等式卜f (ax + -)dx =-卜f (Yt2 + 4ab)dt，其中a，b 0 (假设二积分有意义).0xa 0分析:比较该等式的两边,我们必须使得bax +=xv t2 + 4ab因a,b,x 0,此即要求b ax + _x丿=t2 + 4ab，亦即b ax x丿= t2 .因此我们选取的变换如下：b证明：令ax = t,xb ,此时ax + -=弋t2 + 4ab成立，因此可得x1x =(t + Jt2 + 4ab)，2a,t + Q12 + 4ab ,dx =dt.2a y 12 + 4ab于是卜 f (ax + -)dx = fl0+J+丿f Gt2 + 4ab)工 12 + 4ab dt,0x2a V 0在上式的右边的第一个积分里，令t = u,II1 L 一 i2 + 4ab u f+ 一 ：TT、t + Ju2 + 4ab J+ f Qu 2 + 4ab)；du + J+ f (Qt2 + 4ab)0Vu2 + 4ab0dt再将u改写成t，二积分合并，得J* f (ax + )dx = J* f (t2 + 4ab)dt. 0 x a 0t2 + 4ab因此该式得证 .2.3利用分部积分法计算反常积分设u = u(x), v = v(x)在a,b)上有连续的导数，则Jbu(x)vr(x)dx = Jbudv = u(x)v(x)|b-0 Jbv(x)u(x)dx . aaa a例 4 计算 J1x ln xdx 的值 .0解： J x In xdx = J1 ln xdx 20 2 0例 5 计算积分 J 2 cos 2nx ln cos xdx.0解：(困难在于被积函数中有对数符号ln,用分部积分法消去ln)(10)、1 f H原式=J 2 ln cos xd sin 2nx2n 0(我们看到，这里如果被积函数没有分母的COS x,用积化和差公式,立即可以算出积分值.因此,我们希望设法应用公式将被积函数拆开).因为sin 2nx - sin x = cos 2nx cos x - cos(2n +1) x,1 卜 sin 2nx sin x ,2dx =2n 0 cos x1住2n 02cos 2nxdx -也 cos(2n +1)x ,2dx,0 cos x血第一个积分为o,第二个积分令x = - -1,兀=(-1) n-1-4n例6计算卜8dx(x2 + 2 x + 2)n解：卜-8dx(x2 + 2 x + 2)n卜-8dx+1+1t =+1 j +8 ( dt-8 t 2 + 1j+8odt2 + 1分部积分可建立I的递推公式：I =J+8f刍 =AA-J+8 2ntfn n 0、2 + 1% 2 + 1%0、2 + 1%+10- 2 nI n+1即In +12n -112nn+80dt12 +1=2n - 3 2n - 5 n 2n - 2 2n - 41 (2n-3)!兀 I 2 1(2n-2)! 2在计算I时我们也可以利用变量替换法进行求解，令t tan9 ,nI f+8什 J =J： (cos 91 n-2d9，再直接引用Walls公式-字害-?.n 0 Y2 + 1丄0(2n - 2)! 2利用分部积分法我们常常可以得到递推公式从而简化运算.除了上述的三种基本方法外,根据具体情况,经常用的还有下列几种方法：2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分在这种方法的计算中主要分为两步：第一步：将所需计算的积分区间进行分 段；第二步：进行变量替换,通过变量替换可以将分段后的某些积分区间与其中的某 些区间相抵消或者合并.例7计算卜2dx的值.0 1 + X 2解：卜如dx些X +卜些X0 1 + X20 1 + X21 1 + X2ln x=2( J*1 -Lx + A_dX)0 1 + X 21 1 + 丄X 2=2(1nLdX + 卜一卓(-)0 1 + X211 + 丄 XX 2=2( J1 ndX - J*1 -d (t)01+X201+t2=0通过上述计算我们可以发现这种方法可以省略很多计算,关键在于对积分区间的分段 和变量替换要找到最合适的,否则适得其反.2.5利用方程法计算反常积分使用方程法计算反常积分是分为两步：第一步：通过变量替换,将原积分进行变 形;第二步：将原积分与变形后的积分相加,通过计算相加后的积分从而求出原积分.例 8 计算积分 I =2 J 2 ln sin XdX .解： I0=2 J 2 ln sin XdXX = 4 J 4 ln sin 2tdt00=4 4 ln2sintcostdt0I a九血14 ln 2dt + J 4 ln sin tdt + J 4 ln cos tdt)0 0 0兀兀4 ln sin(-1 )dt)= ln2 兀 + 4( J 4 ln sin tdt +=兀 ln2 + 4J 2 ln sin tdt=n In 2 + 41通过解方程得： In ln232例9计算积分1 = J: 1T-X4dx -2解：I-卜 2 dx - J+coxdx0 1 + x 40 丄 + x 2x-2 + 2 x - dx1 + X 4x-2n2.6利用级数法计算反常积分在运用级数法求反常积分时,关键在于积分区间进行分段,使所求的反常积分可以表示成级数的求和运算,从而简化运算.例10证明J+”右-+ ”!x = lim 1 + +nT 2时，占1 由于卜二= dx积分收敛，故卜右-斗dxlxx (x 1) x1 (x 1) x lxx J收敛.(2)1n1In n丿2.7利用待定系数法计算反常积分在使用待定系数法时通常先将有理分式化为部分分式，再通过待定系数求解，在使 用这种方法时通常结合多种方法求解.例11计算积分I =J+ 1d).n 1 x (x +1)(x + n)解：(拆为部分分式)设=0 +片HH斤 HHl ( A , A，,A 为待定系数).x (x +1)(x + n) x x +1x + kx + n 01 n将x(x +1)(x + n)同乘等式两边然后x二-k，得=(-1)k 7(k = 0,1,2,n),n!其中Cknn!于曰k!( n - k)!疋二丄工 (-1)kCkln(x + k)|+s .n!n1k =0(一 k注意到工(-1)kCk ln(x + k)=工(-1)kCk ln x 1 + -nk=0k=0x丿V( k、=ln x - (1 一 1) n +(当 x T +8 时),乙(-1)kCk ln 1 + n Ix丿k=0因此 I =丄工(-1)k+1 Ck ln(1 + k). n n!nk=0结束语反常积分的计算方法灵活多变,对于任一问题都存在多种计算方法,我们在计算时要提取最简便的方法,除了上述的几种计算方法还有很多的计算方法需要我们去探 究、归纳、总结,更重要的是我们要学会这些方法的灵活使用.参考文献:1 费定辉等，基米多继奇数学分析习题M,山东:山东科技出版社,1990.2 同济大学应用数学系，高等数学M,北京:高等教育出版社，2002. 刘玉莲，傅沛仁数学分析讲义M.第二版北京:高等教育出版社,1996.43-47.4周建莹，李正元高等数学解题指南M.北京:北京大学出版社,2002.212-214. 数学分析第四版上册华东师范大学数学系编M.高等教育出版社,2010. Tom M.Apostol 着.Mathematical AnalysisM.机械工业出版社,2004.