第一单元集合与常用逻辑用语

第一单元第一单元 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语知识体系知识体系 1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题.其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起.2.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点.通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策：1.在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用.2.涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的准备.3.重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用.第一节第一节 集合集合1.集合的含义与表示（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算.1.元素与集合（1）集合中元素的三个特征:确定性 、互异性、无序性.（2）集合中元素与集合的关系文字语言符号语言属于 不属于(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号 N N*或N+Z Q R C(3)常见集合的符号表示2.集合间的基本关系表示 表示关系 文字语言 符号语言子集A中任意一个元素均为B中的元素相等A是B的子集且B是A的子集真子集A中任意一个元素均为B中的元素，B中至少有一个元素不是A中的元素 A B 或 B A空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集BAABBA 且,AB B ABBA或集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为CUA图形表示意义x|xA,或xB x|xA,且xB AxU,x|xACU且3.集合的基本算法1.(教材改编题)用适当符号填空.0 0，1；a,b b,a;0 ;答案答案：.36x|x 174,2.（2009福州市高中毕业班单科质量检查）集合A=x|x(x-1)0,B=y|y=,xR，则AB是（）A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(-,0)解析解析:由已知得A=x|0 x1，B=y|y0.AB=(0,1)答案：答案：C3.（2009福州市高三第二次质检）设集合A=x|1x2,B=x|xa.若AB,则a的范围是（）A.a1 B.a1 C.a2 D.a22x4.（2009全国)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集U=AB,则集合 （AB）中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个UC解析解析:U=AB=3,4,5,7,8,9,又AB=4,7,9,(AB)=3,5,8.答案答案:A解析解析:集合A、B如图所示：，AB,a1.答案：答案：BUC1.集合中元素的三个基本性质的应用(1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可.如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.5.设全集U=1,3,5,7,集合M=1，|a-5|,MU,=5,7,则a的值为（）A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或8UC M解析解析:M=5,7,M=1,3,|a-5|=3,a=8或a=2.答案答案:DUC2.集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键即文字语言、符号语言、图象语言的互化.4.进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算，运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具.3.利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.（3）无序性.（2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验.5.注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中的应用.题型一题型一 集合的基本概念集合的基本概念【例例1 1】已知集合A=m,m+d,m+2d,B=m,mq,mq2,其中m0,且A=B,求q的值.解解 由A=B可知，解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以分析分析 由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论.学后反思学后反思 本题考查集合元素的基本特征确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.22mdmq,mdmq,1.2.m2dmqm2dmq.（）（）21-q21-q1.设A=-4,2a-1,B=9,a-5,1-a,已知AB=9，求实数a的值.解析解析:AB=9,9A.(1)若2a-1=9,则a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-4,AB=9,-4,与已知矛盾，舍去.（2）若a2=9,则a=3.当a=3时，A=-4,5,9,B=-2,-2,9,B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当a=-3时，A=-4,-7,9,B=9,-8,4，符合题意.综上所述，a=-3.举一反三举一反三2a 解解 先化简集合A=-4,0.由AB=B，则B A，可知集合B可为，或0，或-4，或-4,0.(1)若B=，则=4(a+1)2-4(a2-1)0，解得a-1；(2)若0B，代入得a2-1=0 a=1或a=-1，当a=1时，B=A，符合题意；当a=-1时，B=0A，也符合题意.(3)若-4B，代入得a2-8a+7=0 a=7或a=1，当a=1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B=-12，-4，不符合题意.综上可得，a=1或a-1.题型二题型二 集合之间的关系集合之间的关系【例2】设集合A=x|+4x=0，B=x|+2(a+1)x+a2-1=0，aR R，若AB=B，求实数a的取值范围.分析分析 根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证.2x2x学后反思学后反思 解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求解，最后综合后得出答案.2.设集合A=x|x-a|2，集合B=x|4x+1|9,且 求a的取值范围.解析：解析：A=x|a-2xa+2,B=x|x2或x ,AB=A,如图所示.a+2 或a-22,a 或a4.BABA25-29-25-举一反三举一反三题型三题型三 集合的运算集合的运算【例例3 3】已知全集I=R,A=x|x24,求(CRA)(CRB).1x2x1x3x|xB分析分析 解决本题的关键：(1)集合B的化简；(2)(CRA)(CRB)=CR(AB)(等价转化).解解 A=x|x2或x-2,AB=x|x-2或x-1.(CRA)(CRB)=CR(AB)=x|-2 x-13x-1|x01x3x|xB学后反思学后反思 本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算.3.设集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y=-x2,-1x2,则CR(AB)等于()A.R B.x|xR,x0C.0 D.解析：解析：由已知，A=0,4,B=-4,0,AB=0,CR(AB)=x|xR,x0.答案：答案：B举一反三举一反三题型四题型四 利用利用VennVenn图解决集合问题图解决集合问题【例例4 4】设全集U是实数集R,M=x|4,N=x|1x3,则图中阴影部分所表示的集合是()A.x|-2x1B.x|-2x2C.x|1x2D.x|x22x分析分析 首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简.解解 依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是N(M),而M=x|4=x|x2或x-2,于是 M=x|-2x2,因此N(M)=x|1x2.2xRC学后反思学后反思 新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运算”，将对Venn图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、并集、补集等的定义进行理解.RCRC举一反三举一反三4.（2009江西）已知全集U=AB中有m个元素，（A)(B)中有n个元素.若AB非空，则AB的元素个数为()A.mnB.m+nC.n-mD.m-nUC解析解析:如图，(A)(B)=(AB).而阴影部分就表示集合 (AB),阴影部分有n个元素，而U=AB中有m个元素，AB中有m-n个元素.答案答案:DUCUCUCUCUC题型五题型五 新型集合的概念与运算新型集合的概念与运算【例例5 5】(12分)对于集合M,N，定义M-N=x|xM且xN,MN=(M-N)(N-M),设A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=-,xR,求AB.分析分析 充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简，再代入进行计算.解解 由y=x2-3x(xR),即 得3.,.49-49-23-xy24.49-y|yA2xy=-2x(xR),2x0,-2x0,y0,B=y|y0,.69A-By|y0,B-Ay|y-.1049AB(A-B)(B-A)(-,-)0,)4.12 U学后反思学后反思 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.举一反三举一反三5.（2008江西）定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB.设A=1，2，B=0，2，则集合AB的所有元素之和为()A.0B.2C.3D.6解析解析:依题意，A*B=0,2,4,它的所有元素之和为6.答案答案:D【例例】已知集合A=x|x2-3x-100,B=x|m+1x2m-1,若AB=A,求实数m的取值范围.错解错解 由x2-3x-100得-2x5.欲使B A,只需 ,解得-3m3.m的取值范围是-3m3.错解分析错解分析 因为AB=A,即BA,又A=x|x2-3x-100=x|-2x5,考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需对B=与B两种情况分别讨论，进而确定m的取值范围.51-2m1m2-正解正解 AB=A,B A.又A=x|x2-3x-100=x|-2x5,(1)若B=，则m+12m-1,即m2,此时，总有AB=A,故m2.(2)若B，则m+12m-1,即m2,由B A得 ,解得-3m3,2m3.综合(1)、(2)可知,m的取值范围是（-,3.51-2m1m2-1.（2009福建）已知全集U=R，集合A=x|-2x0，则 A等于（）A.x|0 x2 B.x|0 x2 C.x|x0或x2 D.x|x0或x22xUC解析：解析：计算可得A=x|x0或x2，CuA=x|0 x2.答案：答案：A2.（2009泉州市一级达标中学高三期末联考）已知aR，设集合A=x|x-1|2a-2，则A的子集个数共有（）A.0个 B.1个C.2个 D.无数个2a解析：解析：设u=-+2a-2,=4-8=-40，u0,aR，A=x|x-1|0，A=.其子集只有.答案：答案：B3.(2009广东)已知全集U=R，集合M=x|-2x-12和N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的韦恩（Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个B.2个C.1个D.无穷多解析解析:M=x|-1x3，集合N是正奇数集，MN=1,3.答案答案:B4.已知集合A=x|y=,B=y|y=,x0,R是实数集，则(B)A=（）A.0,1 B.0,1)C.(-,0 D.以上都不对22xx2xRC2a解析解析:集合A=x|y=表示的是函数的定义域，可得A=0,2;而集合B=y|y=,x0表示的是函数的值域，显然函数y=,x0的值域为（1,+）,所以(B)A=(-,10,2=0,1.答案答案:ARC22xx2x2x5.集合P=(x,y)|y=k,xR,Q=(x,y)|y=+1,xR,a0且a1,已知PQ=，那么实数k的取值范围是（）A.(-,1)B.(-,1C.(1,+)D.(-,+)xa解析解析:P,Q两个集合都表示点集，画出函数y=k与y=+1的图象，由PQ=知，两函数图象无交点，观察图象可得k1.答案答案:Bxa6.设A,B为两个非空集合，定义:A+B=a+b|aA,bB，若A=0,2,5,B=1,2,6,则A+B的子集的个数是（）A.B.C.D.92827262解析解析:由题意A+B=1,2,3,4,6,7,8,11,有8个元素,故A+B的子集的个数是 .答案答案:B827.已知M=x|x=+2a+4,aR,N=y|y=-4b+7,bR,则M,N之间的关系为 .2a2b解析解析:+2a+4=(a+1)2+33,M=x|x3.又 -4b+7=(b-2)2+33,N=y|y3.M=N.答案答案:M=N2a2b8.已知A=x|-2x-30,B=x|x|a,若BA,则实数a的取值范围是 .2x 解析解析:B,B为非空集合，即a0,由 -2x-30得-1x3,A=(-1,3).由|x|a得-axa.B=(-a,a).BA,-a-1,a3,即a1.故综上得-10；0；如果x2，那么x就是有理数；如果x0，那么 就有意义.一定是命题的说法是()A.B.C.D.21x解析解析:满足命题定义，只有不能判断真假.答案答案:C2.(教材改编题）给出如下的命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；=1；如果x+y是整数，那么x,y都是整数；3.其中真命题的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.0001010解析解析:正确的只有.答案答案:C3.(2010广东汕头）与命题“若aM,则bM”等价的命题是()A.若aM，则bMB.若bM,则aMC.若aM,则bMD.若bM,则aM解析解析:原命题与其逆否命题是等价的.答案答案:D4.(2009浙江)已知a,b是实数，则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析解析:a0,b0时显然有a+b0且ab0，充分性成立；反之，若a+b0且ab0，则a,b同号且同为正，即a0,b0,必要性成立.答案答案:C5.下列各种说法中，p是q的充要条件的是()（1）p:m-2或m6；q:y=+mx+m+3有两个不同的零点；（2）p:=1;q:y=f(x)是偶函数；（3）p:cos=cos;q:tan=tan ；（4）p:AB=A;q:A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2x fxfx解析解析:（2）中由 =1可得f(-x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）中cos=cos 是tan=tan 的既不充分也不必要条件.答案答案:D fxfx.UUBA痧1.在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.2.四种命题真假关系原命题与它的逆否命题同真同假；原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假.当一个命题不能直接判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假而得到原命题的真假.3.判断命题的充要关系有三种方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用AB与 B A;BA与 A B;A B与 BA的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.4.以下四种说法所表达的意义相同(1)命题“若p则q”为真;(2)pq;(3)p是q的充分条件;(4)q是p的必要条件.题型一题型一 四种命题的关系及命题真假的判定四种命题的关系及命题真假的判定【例例1 1】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)内接于圆的四边形的对角互补；(2)已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd.分析分析 首先应当把原命题改写成“若p，则q”形式，再设法构造其余的三种 形式命题.解解(1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”.四种命题都正确.对(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论.显然原命题是正确的.否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”，只需要至少有一个不等即可)；此命题不正确，a=1,c=1,b=1.5,d=0.5,ab或cd,但a+c=b+d.学后反思学后反思 要注意对大前提的处理以及等价命题之间的真假关系.试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”.此命题不正确，如a+c=b+d=2,可有a=c=1,b=0.8,d=1.2,则ab,cd.逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”.逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd,则ab，cd两个等式至少有一个不成立”,由原命题为真得此命题显然正确.举一反三举一反三1.写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的逆命题、否命题、逆否命题.解析：解析：方法一：选取“两边乘同一个数”为前提原命题：若一个式子为等式，两边也乘以同一个数，所得的结果仍是等式；逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式；否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式；逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式.方法二：选取“一个式子为等式”为前提原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式；逆命题：一个等式,若两边分别乘以一个数，所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数；否命题：一个等式,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式；逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式，则两边乘的不是同一个数.题型二题型二 两个命题之间充要条件的判定两个命题之间充要条件的判定【例例2 2】用“充分条件、必要条件、充要条件”填空:(1)“a+b0”是“a0且b1”是“d.则“ab”是“a-cb-d”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析解析:由a-cb-d,cd两个同向不等式相加得ab,但cd,aba-cb-d.例如a=2,b=1,c=-1,d=-3时，a-c0,1-m-2,（等号不同时成立）1+m10,解得0b ，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有个.2c2c解析解析:由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确.答案答案:18.命题“若x,y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.解析：解析：原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题.答案：答案：若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数 真解析：解析：因m,l1，若，则有m且l1，故的一个必要条件是m且l1,排除A.因m，n,l1,l2且l1与l2相交，若ml1且nl2，因l1与l2相交，故m与n也相交，；若，则直线m与直线l1可能为异面直线，故的一个充分而不必要条件是ml1且nl2，应选B.答案：答案：B9.（2008全国）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：;充要条件:.（写出你认为正确的两个充要条件）解析：解析：本题为开放性填空题，下面给出了四个充要条件，任写两个即可，写出其他正确答案也可.答案：答案：两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形10.(x-1)(x+2)0的一个必要不充分条件是 .解析：解析：这是一道开放题，答案不唯一，只要满足x-2或x1均可，但不可以是-2x1.答案：答案：x-2(或x1)11.写出命题“若m0，则方程 +x-m=0有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.解析：解析：原命题的逆否命题是：“若方程 +x-m=0没有实数根，则m0”.它是真命题.x2x2证明：证明：方程 +x-m=0没有实数根，=1+4m0，m ，m0成立.(也可以证明原命题正确)x24112.已知p:,q:0.求p是q的什么条件.13224x213332xx解析：解析：p:A=;q:B=,由图知A B,故p是q的充分不必要条件.1371322422xxxx2133306322xxx xxx 或第三节第三节 简单的逻辑结构、全称量词与存在量词简单的逻辑结构、全称量词与存在量词1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题pq,pq,的真假判断ppqpqpq 真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真p2.全称量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为:xM,p(x)，读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.3.存在量词（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题.（3）特称命题“存在M中的元素 ,使 成立”可用符号简记为:,读作“存在M中的元素 ”.)(,00 xxpM成立使)(,00 xxp)(,xpMx4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定命题的否定命题)(,xpMx)(,00 xxpM)(,00 xxpMx0)(0 xp1.设集合M=x|x2,P=x|x3,那么“xM或xP”是“xMP”的 （）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析解析:“xM或xP”不能推出“xMP”，反之可以.答案答案:A2.(教材改编题)已知命题p且q为假命题，则可以肯定()A.p为真命题B.q为假命题C.p,q中至少有一个是假命题D.p,q都是假命题解析解析:利用真值表判断.答案答案:C3.下列命题中正确的是（）A.对所有正实数t，有 tB.不存在实数x，使x4，且 +5x-24=0C.存在实数x，使|x+1|1且x20D.不存在实数x，使 +x+1=0t2x3x解析解析:A不正确，如t=，有 t;B不正确，如x=34,而x2+5x-24=0;D不正确.令f(x)=+x+1,则f(-1)=-10,又因为函数f(x)的定义域为R,所以f(x)=+x+1在(-1,0)上必存在零点，即存在实数x使 +x+1=0.答案答案:C14t2x3x3x3x4.（2009福建省普通高中毕业班单科质量检查）命题：“xR,-x+20”的否定是（）A.xR,-x+20 B.xR,-x+20 C.xR,-x+20 D.xR,-x+202x2x2x2x2x解析：解析：全称命题的否定是特殊命题.答案：答案：Cp1.命题：“pq”,“pq”,“”的真假判断方法（1）“pq”形式复合命题判断真假的方法是：“一假必假”.(2)“pq”形式复合命题判断真假的方法是:“一真必真”.(3)“”形式复合命题判断真假的方法是:“真假相对”.p5.（2009泉州市一级达标中学高三期末联考）有关命题的说法错误的是（）A.命题“若 -3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x1，则 -3x+20”；B.命题“sinx1”是一个复合命题，而且是个真命题；C.若(p)(q)为真命题，则命题p、q至少有一个为真命题；D.对于命题pxR，使得 +x+10.则 pxR，均有 +x+102x2x2x2x解析：解析：C中若（p）(q)为真命题，则命题p、q至少有一个为假命题.答案：答案：C2.判断复合命题真假的步骤（1）首先确定复合命题的结构形式;（2）判断其中简单命题的真假;（3）根据其真值表判断复合命题的真假.3.含有一个量词的命题的否定（全称命题与特称命题）,常见 的有:“对所有x成立”的否定是“存在某x不成立”;“对任意x不成立”的否定是“存在某x成立”;“至少有一个”的否定是“没有一个”;“至多有一个”的否定是“至少有两个”;“至少有n个”的否定是“至多有n-1个”;“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”.4.复合命题的否定（1）“p”的否定是“p”.（2）“p或q”的否定是“p且 q”.（3）“p且q”的否定是“p或 q”.题型一题型一 判断含有逻辑联结词的命题的真假判断含有逻辑联结词的命题的真假【例例1 1】分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假.(1)5或7是30的约数;(2)菱形的对角线互相垂直平分;(3)8x52无自然数解.分析分析 由含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的形式及其真值表直接判断.学后反思学后反思 判断含有逻辑联结词的命题的真假的一般步骤:(1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假.解析解析:(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真).为真命题.(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真).为假命题.(3)非p,p：2x30有实根(假).为真命题.x2 举一反三举一反三1.分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)方程 -2x30没有实数根.x2题型二题型二 全称命题、特称命题及其真假判断全称命题、特称命题及其真假判断【例例2 2】判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是特称命题,以及真假情况，并用符号“”或“”来表示.(1)有一个向量a a，a a的方向不能确定;(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数;(3)对任意实数a,b,c,方程 都有解;(4)在平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗?分析分析 根据语句中所含联结词判断其是何命题.02cbxax解解(1)(2)都是真命题，(3)是假命题，(4)不是命题.其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题.上述命题用符号“”或“”表示为：（1）a向量，使a的方向不能确定；（2）f(x)函数,使f(x)既是奇函数又是偶函数；（3）a,b,cR,方程 都有解.02cbxax学后反思学后反思 含有“所有的”、“任意一个”、“任意的”、“一切的”、“每一个”、“任给”等全称量词的命题，叫做全称命题.含有“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”、“存在着”等存在量词的命题，叫做特称命题.要判定全称命题“xM,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素 ,使得 不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判定特称命题“xM,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素 ,使 成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题.x0)(0 xpx0)(0 xp 举一反三举一反三2.用符号“”与“”表示含有量词的命题,并判断真假.（1）实数的平方大于等于0;（2）存在一对实数，使2x3y30成立.解析：解析：（1）xR，0，真命题;(2）xR，yR，2x3y30，真命题.x2 题型三题型三 全称命题、特称命题的否定全称命题、特称命题的否定【例例3 3】写出下列命题的否定并判断真假.（1）p:对任意的正数x，x-1；（2）q:三角形有且仅有一个外接圆;（3）r:存在一个三角形，它的内角和大于180;（4）s:有些质数是奇数.x分析分析 以上这几个命题中（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命题，在否定时既要对结论否定，又要对量词否定.学后反思学后反思 含有全称量词（或存在量词）的命题的否定与命题的否定有着一定的区别，含有全称量词（或存在量词）的命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可.从命题形式上看，含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.解解（1）:存在正数x，xx-1,真命题.（2）:存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，假命题.（3):所有三角形的内角和小于或等于180，真命题.（4）:所有的质数都不是奇数，假命题.qsrp 举一反三举一反三3.下列命题的否定表述正确的有 .p:面积相等的三角形是全等三角形；：面积相等的三角形不是全等三角形.p：有些质数是奇数；：所有的质数都不是奇数.pp.122,:;122,:2222xxxRxpxxxRxp.1sin,:;1sin,:xRxpxRxp 应为：有些面积相等的三角形不是全等三角形；应为：.122,22xxxRx解析：解析：pp答案：答案：题型四题型四 对复合命题真假判断的综合应用对复合命题真假判断的综合应用【例例4 4】(12分)已知命题p：方程 +ax-2=0在-1,1上有解；命题q：只有一个实数 x满足不等式 +2ax+2a0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.22a x2x分析分析 首先对所给命题进行化简，然后再通过对含逻辑联结词的命题的真假判断的知识给予讨论解决.解解 由 +ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,2显然a0,x=-或x=.4x-1,1，故 1或 1,|a|1.6“只有一个实数x满足 +2ax+2a0”，即抛物线y=+2ax+2a与x轴只有一个交点，=4 -8a=0,a=0或2.8命题“p或q”为真命题时,|a|1或a=0.10命题“p或q”为假命题,a的取值范围为-1a0或0a1.1222a x1a2a2a1a2x2x2a学后反思 解决这类问题时，关键在于对所给命题的等价转化.它所涉及的命题往往是方程根的问题或不等式解的问题，所以首先要熟知它们的等价转化，化到最简后，再应用真值表以及数轴或函数图象进行分析.(3)当q和p都是真命题时，得-3m-2.综上，m的取值范围是m-1.解析解析:“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或p和q都是真命题.(1)当p为真命题时，则 得m-2;0100421212xxxxmm(2)当q为真命题时，则 ,得-3m-1;016)2(162m 举一反三举一反三 4.命题p:方程 +mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q:方程 4 +4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，求m的取值范围.x2x2【例例】若p:-2x-30;q:0，则 p是 q的什么条件.2x216xx错解错解 p:-2x-30-1x3.q:0-2x0 x3,p:-1x3.q:0 x3,q:-2x3.p q,但 q/p,p是 q成立的充分不必要条件.2x216xx1.若命题pq为假，且 为假，则()A.p或q为假 B.q假C.q真 D.p假p答案：答案：B解析：解析：为假，则p为真，而pq为假，得q为假.p2.若条件p:xAB,则 是()A.xA且xB B.xA或xBC.xA且xB D.xAB 答案：答案：Bp解析：解析：:xAB,x至少不属于A,B中的一个.p3.（2009福州市高中毕业班单科质量检查）下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若 =1，则x=1”的否命题为：“若 =1，则x1”.B.“x=-1”是“-5x-6=0”的必要不充分条件.C.命题“xR”使得“+x+10”的否定是：“xR，均有“+x+10”.D.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题.2x2x2x2x2x解析：解析：A中命题的否命题应为“若 1，则x1，”A错；B中x=-1是 -5x-6=0的充分条件B错；C中命题的否定应为“xR，有 +x+10”.C错.答案：答案：D2x2x2x4.如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：命题“p且q”是真命题；命题“p且q”是假命题；命题“p或q”是真命题；命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是（）A.B.C.D.解析解析:“非p或非q”是假命题“非p”与“非q”均为假命题,即p和q均为真命题.故“p或q”和“p且q”都是真命题.答案答案:A5.（2009厦门一中）若命题“xR,+(a-1)x+10”是假命题，则实数a的取值范围是（）A.-1，3 B.1，4C.（1，4）D.(-,13,+)2x解析：解析：原命题即对“xR，有 +(a-1)x+10，”即=-40.-1a3.答案：答案：A2x21a答案：答案：必要 充分8.“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 ；否命题是 .答案：答案：至少存在一个末位数是0或5的整数，它不能被5整除所有末位数不是0且不是5的整数，不能都被5整除7.用“充分、必要、充要”填空：(1)pq为真命题是pq为真命题的 条件；(2)为假命题是pq为真命题的 条件.p6.（2010潍坊模拟）已知命题p:xR,使tan x=1,命题q:-3x+20的解集是x|1x2,下列结论：命题“pq”是真命题;命题“p q”是假命题；命题“pq”是真命题;命题“p q”是假命题.其中正确的是（）A.B.C.D.解析解析:命题p:xR，使tan x=1正确，命题q:-3x+20的解集是x|1x0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是 .2x解析解析:因为p(1)是假命题，所以1+2-m0，解得m3,又因为p(2)是真命题，所以4+4-m0，解得m8，故实数m的取值范围是3m8.答案答案:3,8)11.写出下列命题的否定，并指出真假.(1)p:xR,-x+0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:xR,+2x+20;(4)s:至少有一个实数x，使 +1 0.2x2x3x1412.给定两个命题,P：对任意实数x都有 恒成立；Q：关于x的方程 有实数根.如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围.012axax02axx解析：解析：对任意实数x都有 恒成立 a=0或 ;关于x的方程 有实数根 .如果P真Q假，有0a4,且a ,a4;如果Q真P假，有a0或a4,且a ,a0.所以实数a的取值范围为 .012 axax02axx4000aa41 a414141解析：解析：（1）p:xR,-x+140,真命题;(4)s:xR,+10,假命题.2x2x3x1,0,44一、对集合的理解以及集合思想的应用一、对集合的理解以及集合思想的应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想在函数与方程、不等式中的运用.通过复习,考生应树立运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.【例例1 1】设A=(x,y)|x1=0,B=(x,y)|4 +2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，证明此结论.2x2y分析 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.解决此题的关键是将条件(AB)C=转化为AC=且BC=，这样难度就降低了.由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、kN,进而可得值.解解 (AB)C=，AC=且BC=.=x+1,y=kx+b,+(2bk1)x+1=0,AC=,1=0,4 4bk+10,即 1;4 +2x-2y+5=0,y=kx+b,4 +(22k)x+5-2b=0.BC=,2=4(52b)0,2k+8b190,从而8b20,即b2.5.由及bN,得b=2,代入由10和20,B=x|x-1,则(A B)(B A)=()A.B.x|x0C.x|x-1D.x|x0或x-1UCUC解析：解析：A=x|x0，A=x|x0;B=x|x-1,B=x|x-1.A B=x|x0,B A=x|x-1,故(A B)(B A)=x|x0或x-1.答案：答案：DUC2.（2008湖北)若非空集合A，B，C满足AB=C，且B不是A的子集，则()A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C.“xC”是“xA”的充要条件D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件解析：解析：由集合的运算特点知xAxC,反之不一定成立.答案：答案：BUCUCUCUC3.(2009宁夏、海南）有四个关于三角函数的命题：p1:xR,;p2:x,yR,sin(x-y)=sin x-sin y;p3:x0,=sin x;p4:sin x=cos yx+y=.其中的假命题是()A.p1,p4B.p2,p4C.p1,p3D.p2,p3221222sincosxx1 cos22x2解析：解析：=1恒成立,p1错；当x=y=0时，sin(x-y)=sin x-sin y,p2对；,当x0,时，sin x0,=sin x,p3对；当x=,y=时，sin x=cos y成立，但x+y ,p4错.答案：答案：A2222sincosxx236221 cos22sinxx1 cos22x4.（2009上海）已知集合A=x|x1,B=x|xa,且AB=R,则实数a的取值范围是 .解析：解析：A为(-,1，B为a,+),要使AB=R，只需a1.答案：答案：(-,1