应力与应变间的关系.ppt

7-7 应力与应变间的关系,一、单向应力状态下应力与应变的关系,横向线应变 与纵向线应变 成正比，比值为泊松比，而符号相反。,E 为材料的弹性模量，单位为N/m2.,二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系,或,G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.,（1）符号规定,1、各向同性材料的广义胡克定律,(a)三个正应力分量：拉应力为正 压应力为负。,三、复杂应力状态下应力与应变的关系,(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴 正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。,图中表示的均为正方向,线应变: 以伸长为正, 缩短为负。 剪应变: 使直角减小者为正, 增大者为负。, xOy yOz zox 。,在x y z 分别单独存在时, x 方向的线应变 x 依次为:,2、各向同性材料的广义胡克定律,(1)线应变的推导,在x y z同时存在时, x方向的线应变x为,在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为,剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为,(2)剪应变的推导,3、 特例 （1）平面应力状态下(假设 Z = 0 ),（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：,(7-7-6),平面应力状态下 设 3 = 0, 则,材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系:,解：,一，一对应。,由于构件自由表面，所以主应力2=0。 所以该点为平面应力状态。,由,解得,该点处另一主应变2的数值为,2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的 外法线方向。,四、各向同性材料的体积应变,（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变,（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用表示。,设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为:,2,d z,体积应变为,将广义胡克定律,代入得,在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有,在平面纯剪切应力状态下：,代入得,可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。,例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较 大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。,a,a,a,P,y,x,z,解：铜块上截面上的压应力为,y,y,由,解得,铜块的主应力为,体积应变和最大剪应力分别为,例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点 处与其轴线成 45和135 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在 圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模 量为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max = 80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。,D,t,x,y,m,k,可求得:,解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量 如图 所示,k点处的线应变 x , y 为,圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为,同理可得,圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为) 处 的径向应变为,