资源描述
,四边形单元,2,引 言,3节点三角形单元是常应变（常应力）单元。在应变梯度较大的部位（亦即应力梯度较大的部位），单元划分应适当密集，否则不能反映真实的应变变化而导致较大的误差。 提高计算精度的其它措施 采用高精度三角形单元（2次单元、3次单元） 采用四边形单元（1次单元、2次单元）,3,4节点四边形单元,4,构造位移函数：,对u,v分别利用节点条件：,4节点四边形单元,5,对于一般四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。,4节点四边形单元,T的伴随矩阵,6,4节点四边形单元,4节点四边形单元的形函数,7,4节点四边形单元,N单元形状函数矩阵de 单元节点位移矩阵,四边形单元内任意一点的位移,8,4节点四边形单元,特例：4节点矩形单元,矩形单元的重心坐标,4节点四边形单元,4节点四边形单元,Delta 条件,Partition of unity,11,4节点四边形单元,应变矩阵,刚度矩阵,不再是常数矩阵！,12,等参单元,对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（包括高次曲边四边形单元）。,引入等参单元,等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。,13,等参单元,等参单元：用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示出单元的几何坐标与位移的单元，称为等参单元。 如果坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，如果坐标变换节点数少于位移插值的节点数，则称为亚参变换。 等参单元的插值函数用自然坐标给出。,物理坐标系,自然坐标系,映射关系,14,等参单元,节点条件：,15,等参单元,同理：,几何坐标,16,等参单元,节点条件：,位移函数,17,等参单元,同理可得：,18,等参单元,19,等参单元,单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐标给出。,20,等参单元形函数性质,Delta 性质,单位分解性,21,等参单元,?,应变矩阵,22,等参单元,求导链式法则,雅可比矩阵：,23,等参单元,单元刚度矩阵,二次函数,单元载荷向量,借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。 等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行，相关运算大大简化。 不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。,等参单元,25,等参单元,四边形等参单元形状要求,不能有重节点不能出现内角大于180o的情况内角最好介于30o-150o之间（有限变形的情况）,避免出现,几何意义所在,|J|0 (area cannot be transformed to a line or a point or turned inside out!),例子,例子,几何意义所在,回顾|J| 节点转换,30,数值积分,计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵的元素时，往往涉及到复杂函数的定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分方法。 数值积分方法是一种近似的方法。,一个函数的定积分可以通过n个结点的函数值的加权组合来表示,31,数值积分,梯形公式,线性函数得到精确积分值,32,数值积分,Simpson公式,y,x,a,b,二次函数得到精确积分值,33,数值积分,Gauss积分,高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。 高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。,34,数值积分,35,数值积分,等参元中积分阶次的选择,积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工作量。 积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全精确积分） 很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分更好的精度。（减缩积分）,线性单元,完全精确积分,减缩积分,36,节点位移和约束反力,通过求解平衡方程即可解出全部未知的节点位移：,约束反力,把解出的d代入未经修改的平衡方程，即可得到约束反力：,关于上述方程的解算方法，一般不采用求逆的方法求解，而是直接采用高斯消元法等求解线性方程组的方法求解求解。,施加边界条件后，得到修改后的平衡方程,(未约化的),37,应力处理,38,例题,考虑一个平面应力问题如图所示，假设厚度h=1，材料为各项同性，杨氏模量为E=1，泊松比为=0，相关力和位移边界条件如图中所示，问题左端为固定约束。试用一个四边形单元分析此问题，四边形单元的网格划分如图所示。试求问题各节点位移u、v和应力x，y和xy。,39,例题,对于四边形单元，其等参元形函数的表达式为：,1,2,3,4,40,例题,选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为,对于积分点1,41,例题,42,例题,选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为,对于积分点2,43,例题,44,例题,选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为,对于积分点3,45,例题,46,例题,选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为,对于积分点4,47,例题,48,例题,单元局部刚度矩阵为,代入可得,1, (1),2, (3),3, (4),4, (2),1, (1),2, (3),3, (4),4, (2),49,例题,整体刚度矩阵为,载荷向量,50,例题,系统方程可表示为：,51,例题,施加 BCs:,52,例题,积分点处的应力:,53,例题,各节点处的应力:,单元局部的,整体的,54,例题,结果比较,四边形,三角形,四边形,三角形,55,Thank You !,
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