数学联想方法及其在数学解题中的应用

数学联想方法及其在数学解题中的应用 摘 要：联想是由当前感知的事物特征回忆起有关另一事物相似、相近或相同特征的心理现象.联想可以沟通数学对象中未知与已知、新与旧知识间的联系. 它不仅对掌握数学知识,发展思维能力有积极意义,而且有利于提高解题速度, 提高解题能力. 常见的联想方法有类比联想法、接近联想法、关系联想法、逆向联想法和横向联想法等.数学知识之间存在着各种不同的关系, 它们之间的条件、结论或形态性质, 都有很多共同点.关 键 词：联想 心理现象 发展思维中图分类号：G633.64 文献标识码 ：A 一、联想与数学教学 巴甫洛夫学派认为,学习就是形成暂时联系。暂时联系就是联想,就是获得有关事物关系的知识。在进行新的学习时,“利用知识,利用已获得的诸联系,这就是理解”。知识的学习和理解是离不开联想的。前苏联教育学、心理学家克鲁捷茨基认为“数学能力就是用数学材料去形成概括的、简缩的、灵活的联想和联想系统的能力”。 在教学过程中,我们通过联想,一方面使已学过的知识重现,从而迅速找到解决新问题的方法另一方面又启发我们将这种方法迁移到同类的问题上,推广它的应用。例如,当我们研究二元一次方程组的解法时,联想起一元一次方程的解法,须将二元一次方程组转化为一元一次方程,从而找到了解二元一次方程组的解法（代入消元法和加减消元法)。通过类推,又把这种解法推广到解三元一次方程组,从而把消元法推广到更加广泛的用途。现代教学强调知识的发生、发展过程,那么就要求我们教师在教学中要善于引导学生进行联想、类比、猜猜、探究。教学的一个重要任务就是要还原数学思维活动的过程。 学习中不仅要求学生要会解题和品题,而且要学会知识的迁移.一题多变、多问,不但可让旧题萌发新意, 而且能够拓宽、深化学生的解题思路,提高学生的思维品质,培养学生的创新能力.下面我会用几道例题来说明。 例如,对数换底公式的教学,先让学生求对于学生来说,是一个未知数那么就设为 ,即 ,联想对数定义得,再取常用对数得,又联想到时运算法则得,从而得而 与都是可求出的。所以便可求得。那么对于 一般情况,我们是否可以换成以的对数的运算呢？这时学生们便会得出换底公式 这样效果显然要比先给出换底公式再证明好。因为以上过程是学生通过联想过去的知识得出了一个新的定理,极大地激发了学生的学习兴趣,使他们感受到了数学发现成功的喜悦。兴趣是最好的老师,好的数学教师不是在教学数学结果,而是能激发学生自己去学数学。只有通过学生自己的思考,建立起自己的理解力时,才能真正学好数学。学生要想牢固地掌握数学,就必须用内心的创造与体验的方法来学习数学。我们教育的目的是为了让学生能不断自己教育自己。也就是“教的目的是为了不教”。我们教师不应简单地奉送真理,更应引导学生广泛地联想去探索和发现真理。在教学中,发展学生的联想能力,不仅有利于学生一般能力的发展,更有利于发展学生的创造思维能力。二、联想法在解题中的应用 所谓数学联想方法,就是以联想为中介,进行数学发现,探求解题思路,由此及彼地思考问题的一种方法。数学解题的思考过程实质上是已知和未知间的一系列的联想过程。在解题时,通过仔细的观察、分析,由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式或其等价式),联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想、解题方法、解题技巧以及熟知的相关问题的结论和解法,因此连续化简条件和结论,建立条件与求解 目标间的联系,从而就找到解题的思路和方法。数学思想是数学知识、数学技能的本质体现，在数学学习中，要提高分析问题、解决问题的能力，形成应用数学的意识，这些都离不开数学思想。联想是由当前感知的事物特征回忆起有关另一事物相似、相近或相同特征的心理现象.联想可以沟通数学对象中未知与已知、新与旧知识间的联系.它不仅对掌握数学知识,发展思维能力有积极意义,而且有利于提高解题速度, 提高解题能力.常见的联想方法有类比联想法、接近联想法、关系联想法、逆向联想法和横向联想法等.1.类比联想 数学知识之间存在着各种不同的关系,它们之间的条件、结论或形态性质,都有很多共同点.解题时联想与原形态相似的定义、定理、公式和法则,联想已经解决的类似解题思想方法和技巧.联想到类似平面图形的问题等.由特殊到特殊, 通过类比发现解题线索, 马上迎刃而解. 例1： 求证: 分析:观察所求证结论“外形很容易联想到均值不等式证明: 将上面三式相加得 即 例2：求证分析：利用柯西不等式避免“失控”所以2.接近引联想 由概念、原理、法则和公式、策略的接近而产生的联想就是接近联想.在初学阶段,为了巩固,熟练掌握教材中的原理、法则和公式,都需借助这种联想,从而更加灵活地运用知识,提高解题技巧和创新能力。例1：求函数的最小值。分析: 观察二次根式联想到距离公式,不妨考察表达式的几何意义来求解。解析：把已知函数式改写成由解几知识知表示轴上的动点到两定点和的距离之和。（如图1）于是问题转换为动折线APB职场的最小值。. 例2：求的和。分析：当我们注意到组合数时，就联想到二项式定理，于是用展开来求，经尝试，不能得出。又联想到棣美弗定理经尝试不能同时出现。于是把二者联系起来，把用二项定理和棣美弗定理展开;联想所求和式的结构,将化为指数函数,求出和式；最后,利用复数相等的性质,便可求得。3.关系联想法 在数学的解题过程中, 经常会遇到知识之间存在着从属关系、一般关系或因果关系,从而把抽象问题转化为具体问题,把数量关系问题转化为几何图形。把一般性问题转化为特殊问题达到快速解决问题目的。例：已知锐角满足条件求证：分析: 由已知条件中的数量关系,联想到构造长方体,使其对角线与交于一点的三条棱的夹角分别为问题便会容易得到解决。证明：如图，在长方体中，设,所成的角分别为长方体的棱长分别为则：上式当且仅当是取等号。4.逆向联想法 逆向联想法就是由眼前的数学对象联想到对立面的对象. 数学中有些概念是成对出现的, 如相等与不等、直线与曲线、有限与无限、收敛与发散等;有些运算也是成对出现的,如加法与减法、乘方与开方、指数与对数、微分和积分等,每一对中都会有两个对立的方面.在解决问题时,可以正难则反,就是联想到问题的反面,可以很好地解决问题.例：八个人排成一列,交换部分人的位置,至少有两人不在原来位置的排法有多少种?分析:若从正面考虑,按要求排列需进行分类:(两人或三人或四人+或八人)不在原来位置的排法各有多少种;如此分类显然繁琐,头绪难以理清,且计算复杂.这时不妨考虑其反面,原题的反面是。都在原来的位置上,只有一种情形。于是： 共有排发(种）5.横向联想法 由眼前的数学对象联想到邻近学科的相关对象,数学各分支之间,数学与物理、化学、生物等学科之间的联想就是横向联想.如看到实数对符号( a, b)联想到( a, b) 由于知识之间存在联系或相互渗透,利用横向联想,可使问题“举一反三”、由此及彼、看到葫芦想到瓢。 我国数学家华罗庚说过: 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微.数形结合思想是数学解题中常用的思想方法,它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.若能把数与形很好地结合起来,那么一些看似复杂的问题会迎刃而解.掌握了此方法也会使解题手段从单一走向灵活.解题时进行多联想对于开拓解题思路,提高解题能力有重要的帮助.因此平时要养成勤于观察、善于联想的习惯.但联想能力的培养,需要有扎实的基础知识和基本技能。否则,既不能抓住对象的主要特征, 也很难发现与基本形态或性质相似的知识.在很多情况下,将原题适当变形,或改变角度进行分析,使其具有新的含义,从而把联想结果转化为易于解决的问题,再结合数学思圆满快捷的解决.例1：分析:先将左端结构变形为,如果令则原不等式变为于是联想到：而此时例2.设求证：分析：这个等式较为复杂,观察其对称的结构,使我们联想到已知命题：成立的充要条件是就可得到比较巧妙的证法。证：令则 即 即 即 而 所以，原等式成立。认真钻研教材,充分发挥课本例习题的作用, 始终是重要的。例3：证明三角恒等式： （n为自然数）本例用三角知识证明是比较困难的,如利用物理中对称共点力性质来处理,则比较简洁。 事实上,作2n+1个力值为1的对称共力点则有相邻两个力之间所成的角如图架坐标系，使重合与轴正方力，可看作是由绕点0作逆时针方向旋转了之后所得那么由于对称共点力的合力为零,即所有的力在轴上的分力之和也为0于是就有此即， 对本例,如果我们考虑所有力在轴上的分力之和,则可证得另一恒等式。 由以上例子我们可以看出数学联想方法是一种很重要的数学方法, 在教学中我们教师一定要注意培养学生观察联想的能力。三解题时联想步骤 1.注重“三基”教学,完善学生的知识结构。知识越系统,经验越丰富,联想就越深人广泛,解题也就越简捷。 2.突出思维过程的教学,以利于针对性地进行联想思维的训练。数学教学的本质应该是“思维过程”。教学应采取主动的接受学习的方式,辅以有指导的使主体形成广泛的联想。避免由老师直接作出决策评价。这样,培养出来的学生才有创造力 3.加强一题多解的训练。数学是一个有机的整体,它的各部分之间存在着联系。教师在讲授每一分支时,注重横向联系,使知识构成一张网,使之融会贯通。这样学生的思维就灵活,联想也就丰富广泛。教师要引导学生进行一题多解,一题多解使学生解一个问题,就学会几种解决数学问题的方法,是培养学生联想能力的捷径之一。 4.注意培养和激发学生学习数学的兴趣。兴趣是求知的起点,是思维的培养和能力的提高的内在动力。浓厚的兴趣能够激励学生积极的探索,敏锐的观察,牢固的记忆和丰富的联想,这就要求我们数学教师要精心设疑,启发诱导,激发学生的学习兴趣。 5.从根本上讲,数学教育的改革质量的高低,学生联想能力的高低,关键还在于教师的观念、决心和业务水平。这就要求我们数学教师要认真钻研教材,学习新的教育教学理论,拓宽科学知识,提高素质,使教学更加灵活,学生的联想才会更加丰富。参考文献 1 王国森.数学联想及其在数学问题研究中的作用J.宜宾师范高等专科学校学报，2001，（02）. 2 马桂华.数学联想能力培养举例 J. 宁夏教育, 1997,(07). 3 王瑞莲. 在数学联想中提高学生的思维能力J. 内蒙古石油化工, 2004,(05) 4 乌晓梅. 谈数学联想中的思维迁移J. 宁波大学学报（教育科学版）, 2003,(02). 5 张晶. 运用联想打开数学解题的通道J. 上海中学教育, 2010,(Z1). 6 贾计荣，解红霞. 数学联想方法及其教学研究J. 太原教育学院学报, 1998,(01) 7 徐光明. 数学教学的心理与策略J. 新课程（下）, 2011,(02) 8 赵洪香. 数学联想与数学教学J. 数学学习与研究, 2010,(14) . 9 姚玉菊，张计光. 如何在高职数学教学中培养学生联想能力J. 中国成人教育, 2009,(20) . 10 何平凡. 数学解题中的联想，转化与化归J. 职业, 2010,(17) 11 任君. “联想思想”在数学解题中的应用J. 德阳教育学院, 2003,(04) .ABSTRACT: lenovo is by the current perception of things features about a recall things like, similar or identical characteristics of the psychological phenomenon. Lenovo can communicate in mathematical object and the known and unknown new and the links between the old knowledge. It not only to the grasp of math knowledge and the development of thinking ability have positive significance, but also improve the problem solving speed, and improve the ability to solve problems. Common lenovo method has analogy method, close to lenovo lenovo lenovo method, the method, the relationship between reverse lenovo method and the lateral lenovo method, etc. Mathematics knowledge exists between the various relationship, between them the conditions, conclusions or form nature, have a lot in common. LOSE KEY WORDS: lenovo psychological phenomenon development thinking