线性代数基本原理

每一个线性空间都有一个基。 对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。 矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。 矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。 解线性方程组的克垃默法则。 判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。 编辑本段一般化和相关主题线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。 模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。 多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。 在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。 所有这些领域都有非常大的技术难点。 编辑本段课程内容一、课程的性质与任务线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养中国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得： 1行列式 2矩阵 3向量组的相关性、矩阵的秩 4线性方程组 5特征值与特征向量 6相似矩阵与二次型 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。 二、课程的教学内容1、行列式 1 n 阶行列式的定义 2行列式的性质 3行列式的计算，按行（列）展开 4解线性方程组的克莱姆法则 2、矩阵 1矩阵的概念、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵 2矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律 3逆矩阵概念及其性质，用伴随矩阵求逆矩阵 4分块矩阵的运算 3、向量 1n 维向量的概念 2向量组的线性相关、线性无关定义及其有关定理，线性相关性的判别 3向量组的最大无关组、向量组的秩 4矩阵的秩的概念 5矩阵的初等变换，用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵 6n 维向量空间及子空间、基底、维数、向量的坐标 4、线性方程组 （1）齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件 2线性方程组的基础解系、通解及解的结构 3非齐次线性方程组有解的条件及其判定，方程组的解法 4用初等行变换求线性方程组的通解 5、相似矩阵与二次型 1矩阵的特征值与特征向量及其求法 2相似矩阵及其性质 3矩阵对角化的充要条件及其方法 4实对称矩阵的相似对角矩阵 5二次型及其矩阵表示 6线性无关的向量组正交规范化的方法 7正交变换与正交矩阵的概念及性质 8用正交变换化二次型为标准形 9用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形 10惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别 6、MATLAB