单自由度系统的自由振动.ppt

,第1章 单自由度系统的自由振动,主讲 贾启芬,机械与结构振动,Mechanical and Structural Vibration,引 言,振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。 振动属于动力学第二类问题已知主动力求运动。,Mechanical and Structural Vibration,机械与结构振动,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似：,选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。,引 言,Mechanical and Structural Vibration,机械与结构振动,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。,研究振动问题所用的动力学定理：,矢量动力学基础中的动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。 分析动力学基础中的拉格朗日方程。,引 言,Mechanical and Structural Vibration,机械与结构振动,振动概述,所考察的系统既有惯性又有弹性。 运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。,振动问题的共同特点,Mechanical and Structural Vibration,机械与结构振动,按系统的自由度划分：,振动问题的分类,单自由度振动一个自由度系统的振动。 多自由度振动两个或两个以上自由度系统的 振动。 连续系统振动连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。,振动概述,机械与结构振动,Mechanical and Structural Vibration,按系统特性或运动微分方程类型划分：,振动问题的分类,线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。,非线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。,机械与结构振动,Mechanical and Structural Vibration,线性振动：相应的系统称为线性系统。 线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。 非线性振动：相应的系统称为非线性系统。 非线性振动的叠加原理不成立。,机械与结构振动,Mechanical and Structural Vibration,按激励特性划分：,振动问题的分类,自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。 受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。 参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。,振动概述,机械与结构振动,Mechanical and Structural Vibration,第1章单自由度系统的自由振动,目录,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动 1.2 计算固有频率的能量法 1.3 瑞利法 1.4 有阻尼系统的衰减振动,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,第1章单自由度系统的自由振动,天津大学,关于单自由度系统振动的概念,典型的单自由度系统:弹簧-质量系统,梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统,Mechanical and Structural Vibration,第1章单自由度系统的自由振动,天津大学,1.1.1 自由振动方程 1.1.2 振幅、初相位和频率 1.1.3 等效刚度系数 1.1.4 扭转振动,Mechanical and Structural Vibration,第1章单自由度系统的自由振动,1.1.1 自由振动方程,当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为,其中,取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到,无阻尼自由振动微分方程,固有圆频率,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动,其通解为：,其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时， 可解,1.1.1 自由振动方程,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动,两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。,另一种形式,无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动,1.1.1 自由振动方程,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动,1.1.2 振幅、初相位和频率,系统振动的周期,系统振动的频率,系统振动的圆频率为,圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动,用弹簧静变形量dst表示固有圆频率的计算公式,物块静平衡位置时,固有圆频率,1.1.2 振幅、初相位和频率,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动,1.1.3 等效刚度系数,单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程,等效的概念,这一方程，可以等效为广义坐标的形式,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动,等效的概念,1.1.3 等效刚度系数,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动,串联弹簧与并联弹簧的等效刚度,例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。,解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。,振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是dst，而弹性力分别是,系统平衡方程是,1.1.3 等效刚度系数,Mechanical and Structural Vibration,1.1 无阻尼系统的自由振动,如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则,k称为并联弹簧的等效刚度系数。,并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。,系统的固有频率,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。,当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即 dst = d1st + d2st,由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为,如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于,k称为串联弹簧的等效刚度系数,串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,组合弹簧的等效刚度,例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。,解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。 先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。,C,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。,C,设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，作用在B处的力为,此力使B 弹簧 k2 产生 变形，,而此变形使C点发生的变形为,得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,C,物块的自由振动频率为,与弹簧k1串联,得系统的等效刚度系数,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,弹性梁的等效刚度,例 一个质量为m的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果知道系统的静变形 则求出系统的固有频率,Mechanical and Structural Vibration,由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为,求出系统的固有频率为,中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有,自由振动的振幅为,梁的最大挠度,1.1.3 等效刚度系数,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,Theoretical Mechanics,返回首页,己知图中所示的三根弹簧的刚性系数分别为K1，K2，K3，振体的质量为m，则此系统沿铅垂方向振动的固有圆频率为。,（A） （B） （C） （D）,答案：A,习 题,Theoretical Mechanics,答案：A 点评： 由图知三根弹簧为并联关系。因此，可计算出三根并联弹簧的等效刚性系数为K = K1+K2+K3。由弹簧-质量系统计算固有圆频率的公式，计算出系统沿铅垂方向振动的固有圆频率为,要点：串联、并联弹簧的等效刚性系数计算和等效弹簧-质量系统。,习 题,Theoretical Mechanics,返回首页,习 题,小车M重P在斜面h自高度h处滑下与缓冲器相撞，斜面倾角为，缓冲弹簧刚性系数为k。如缓冲器质量不计，斜面摩擦不计，小车碰撞后，系统的自由振动周期为：,（A）,（B）,（C）,（D）,（D）,天津大学,1.3 练 习,Mechanical and Structural Vibration,将一刚度系数为k，长为l的弹簧截成等长（均为l/2）的两段，则截断后每根弹簧的刚度系数均为 （A）k （B）2k （C）k/2 （D）1/(2k) 答（B）。质点的直线振动；固有频率 弹簧截成等长（均为l/2）的两段后，刚度增大为2k。,1.1.4 扭转振动,等效系统,内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。,扭振系统称为扭摆。 OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。 在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程,扭振的运动规律,对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。,1.1.4 扭转振动,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。,并联轴系的等效刚度系数,串联轴系的等效刚度系数,1.1.4 扭转振动,1.1 无阻尼系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,1.2 计算固有频率的能量法,第1章单自由度系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。,无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。,常量,式中T是动能，V是势能。如果取平衡位置O为势能的零点，系统在任一位置,1.2 计算固有频率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，动能具有最大值Tmax； 当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值Vmax。 由于系统的机械能守恒,用能量法计算固有频率的公式,1.2 计算固有频率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆BD对于支点B的转动惯量为IE ,求重物P在铅直方向的振动频率。已知弹簧AC的弹簧刚度系数是k。,解： 这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆BD自水平的平衡位置量起的 角来决定。,系统的动能,设系统作简谐振动，则其运动方程,角速度为,系统的最大动能为,1.2 计算固有频率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为dst 。此时，弹性力Fst=k dst ,方向向上。,该系统的势能,1.2 计算固有频率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,Theoretical Mechanics,在图示之振动系统中，已知重为P的AB杆对O轴的回转半径为o，物块M重为Q，两弹簧的刚性系数均为k，当系统静止时，杆位于水平。则此系统微振动时的圆频率为：,（A）,（B）,（C）,（D）,（D）,习 题,Theoretical Mechanics,返回首页,小球重P，刚接于杆的一端，杆的另一端铰接于O点。杆长l，在其中点A的两边各连接一刚性系数为k的弹簧如图示。如杆及弹簧的质量不计，小球可视为一质点，则系统作微摆动时的运动微分方程为（ ）。,（A） （B） （C） （D）,答案：D,习 题,答案：D 点评：以小球为研究对象，画受力图；以刚杆偏离铅直位置的转角 为广义坐标。利用动量矩定理，建立小球绕O点作微摆动时的运动微分方程为,Theoretical Mechanics,返回首页,要点：利用普遍定理建立系统的运动微分方程。,习 题,1.3 瑞利法,第1章单自由度系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。 应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。,等效质量,对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位 移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截 面的静变形一样。,根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。 依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为,1.3 瑞利法,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,例 在图示系统中，弹簧长l，其质量ms。求弹簧的等效质量及系统的固有频率。,左端距离为 的截面的位移为 ，则d 弹簧的动能为,假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，,解：令x表示弹簧右端的位移，也是质量m的位移。,1.3 瑞利法,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,弹簧的总动能,系统的总动能为,系统的势能为,固有频率为,设,1.3 瑞利法,Mechanical and Structural Vibration,1.4 有阻尼系统的衰减振动,第1章单自由度系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑 表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。,物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系,c粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。,1.4 有阻尼系统的衰减振动,Mechanical and Structural Vibration,运动微分方程,图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程,特征方程,特征根,1.4 有阻尼系统的衰减振动,Mechanical and Structural Vibration,1.4 单自由度系统的衰减振动,特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关,强阻尼（npn）情形,临界阻尼(n = pn )情形,阻尼对自由振动的影响,特征根,运动微分方程,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,1.4 单自由度系统的衰减振动,临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。 设cc为临界阻尼系数，由于z =n/pn =1，即,z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。,cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,1.4 单自由度系统的衰减振动,具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系 统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作 振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发 射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原 来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确 地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种 要求。,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,1.4 单自由度系统的衰减振动,强阻尼(1)情形,临界阻尼(1)情形,这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减,引入阻尼比,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,1.4 单自由度系统的衰减振动,特征根,其中,其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解,C1=x0,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,1.4 单自由度系统的衰减振动,另一种形式,这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于 p n，二者分别为本征值的虚部和实部。,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,1.4 单自由度系统的衰减振动,衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。 有阻尼的自由振动视为准周期振动。,Mechanical and Structural Vibration,T=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。,欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。,由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z 很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周期 Td 仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比 z1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。,1.4 单自由度系统的衰减振动,阻尼对周期的影响,Mechanical and Structural Vibration,设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即,两振幅之比为,称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。,1.4 单自由度系统的衰减振动,阻尼对振幅的影响,Mechanical and Structural Vibration,振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以d 表示,例 在欠阻尼（z 1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。,1.4 单自由度系统的衰减振动,阻尼对振幅的影响,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,1.4 单自由度系统的衰减振动,解：振动衰减曲线的包络线方程为,设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有,当z 21时,此式对估算小阻尼系统的z值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的阻尼比,Mechanical and Structural Vibration,天津大学,1.3 练 习,Mechanical and Structural Vibration,质量为500 kg的机器安装在一根弹簧上，使弹簧产生1.5 mm的静变形。为了使系统达到临界阻尼状态，求加在系统上并与弹簧并联的粘性阻尼器的阻尼系数是多少？,解：静变形与固有频率的关系为,由附加的粘性阻尼器的阻尼系数c导出的阻尼比为,当阻尼比为1时，系统处于临界衰减，则此时的阻尼系数为临界阻尼系数，即,天津大学,练 习,Mechanical and Structural Vibration,质量为m = 2450kg的汽车，压在4个车轮弹簧上，可使每个弹簧压缩st = 150mm，当每个弹簧都并联上一个粘性阻尼器后，振幅衰减为A1/A3 = 10；求1）振幅减缩率 和对数减缩率 ；2）衰减系数n = c/2m和衰减振动的周期Td；3）临界阻尼系数cc。,解：画车身铅垂振动的受力图， 坐标x的原点为车身的静平衡位置，车身的运动微分方程为,天津大学,练 习,Mechanical and Structural Vibration,由已知条件和定义，得：,取对数得，,2,例 题,2.1 简谐激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,一个有阻尼的弹簧-质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。,振动20个循环后，振幅比为：,代入,得：,又,c = 6.9 N s /m,解：振动衰减曲线得包络方程为：,例 题,2.1 简谐激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。,当npn时，ccC,解：图为系统的静平衡位置，画受力图。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：,谢谢,