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走向高考走向高考 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索新课标版新课标版 高考总复习高考总复习计数原理、概率、随机变量计数原理、概率、随机变量及其分布及其分布(理理)第十章第十章第一讲第一讲 分类加法计数原理与分类加法计数原理与分步乘法计数原理分步乘法计数原理 第十章第十章知识梳理知识梳理双基自测双基自测1考点突破考点突破互动探究互动探究2纠错笔记纠错笔记状元秘籍状元秘籍3课课 时时 作作 业业4知识梳理知识梳理双基自测双基自测1分类加法计算原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方 案 中 有mn种 不同的方法，则 完 成 这 件 事 共 有 N _种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法知识梳理 m1m2mnm1m2mn双基自测(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(5)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法()答案(1)(2)(3)(4)(5)答案60解析项数为：34560(项)答案6解析因为点在一、二象限，故N中只能选5、6，因此点的个数为：326.答案C答案A考点突破考点突破互动探究互动探究分类加法计数原理解析(1)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有ABO和ACO,2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有ABCO和ACBO,2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1225种不同的走法(2)当m1时，n2,3,4,5,6,7共6种当m2时，n3,4,5,6,7共5种；当m3时，n4,5,6,7共4种；当m4时，n5,6,7共3种；当m5时，n6、7共2种，故共有6543220种答案(1)5(2)20规律总结(1)分类加法计数原理的实质分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事(2)使用分类加法计数原理遵循的原理有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则提醒：对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法答案(1)B(2)B解析(1)传递方式有甲乙丙甲；甲丙乙甲(2)记 反 面 为 1、正 面 为 2.则 正 反 依 次 相 对 有1 2 1 2 1 2 1 2,2 1 2 1 2 1 2 1 两 种 情 况；有 两 枚 反 面 相 对 有21121212,21211212,21212112三种情况共5种摆法，故选B.分步乘法计数原理解析(1)一个二次函数对应着a、b、c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有二次函数33218(个)若二次函数为偶函数，则b0，同上可知偶函数共有326(个)(2)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26163(种)可能情况点拨一些问题的正面所含情况比较多，直接讨论比较复杂，这时可从反面入手，利用间接法来处理，这体现了“正难则反”的转化思想规律总结(1)分步乘法计数原理的实质分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能单独完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事(2)使用分步乘法计数原理的关注点明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数答案(1)D(2)B解析(1)由一层上二层有2种不同的走法。由二层上三层也有2种不同的走法，由三层上四层、五层情况一样，故共有24种的走法，故选D.(2)由分步乘法计数原理知，用0,1，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648.则组成有重复数字的三位数的个数为900648252.故选B.两个原理的综合应用解析方法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们 共有54360(种)染色方法当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420(种)方法二：以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘 法、分 类 加 法 计 数 原 理 得 不 同 的 染 色 方 法 共 有543(1322)420(种)规律总结利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解解析(1)从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法由分步乘法计数原理可知，共有6544480(种)涂色方法(2)区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分两类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法所以共有5445433260(种)涂色方法点拨对于本题(2)，易直接利用分步乘法计数原理来求，从而导致错解，其错误在于没有注意到依次涂完A、B、C三个区域后，区域D的涂色方法数要受到A、C两区域的影响，因此要对A、C颜色是否相同进行分类另外，对于此类涂色问题也要注意所给颜色是否必须用完纠错笔记纠错笔记状元秘籍状元秘籍易错点两个基本原理不清致误错因分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以不同的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先乘火车后坐轮船，而使用分步乘法计数原理计算正解(1)第1封信投到信箱有4种投法，第2封信投到信箱有4种投法，第3封信投到信箱也有4种投法只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法，故选C.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，得此人的走法可有437(种)故填7.答案(1)C(2)7状元秘籍分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对的是“完成事件的方法种类不同”的问题，其各种方法是相互独立的，用其中任何一种方法都能完成这件事情；分步乘法计数原理针对的是“完成事件需分几个步骤”的问题，其各个步骤中的方法是相互联系的，只有各个步骤都完成才能完成这件事情在解题时，要分析计数对象的本质特征与形成过程，然后应用两个基本原理来解决答案B
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