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第五章第五章 留留 数数孤立奇点零点与极点的关系无穷远点领域的讨论留数在无穷远点处的留数留数在定积分计算上的应用留数是复变函数的重要内容，集中体现了复变函数微分学、积分学的主要理论；奇点是留数的基础；要求：要求：理解奇点的概念；掌握奇点的分类孤立奇点零点与极点的关系无穷远点领域的讨论奇点分类：奇点分类：孤立和非孤立奇点孤立和非孤立奇点例例1：讨论下列函数在：讨论下列函数在0点及其附近的解析性以及奇点的点及其附近的解析性以及奇点的类型。类型。奇点z=0是孤立奇点孤立奇点；存在0，当0|z|0，在0|z|圆环内，总存在奇点zz)sin()1(1zz)1sin(1z)001.0)(1(1zzz孤立奇点的分类孤立奇点的分类将下列函数在环域0|z|内展开内展开为罗朗级数观察观察z的负幂项的负幂项zez13)sin(zz)1sin(z孤立奇点的类型孤立奇点的类型是通过罗朗级数的是通过罗朗级数的负幂项负幂项来定义的！来定义的！思考：为什么采用这个分类标准？思考：为什么采用这个分类标准？一个前提是，在孤立奇点的去心圆域，函数总可以展一个前提是，在孤立奇点的去心圆域，函数总可以展开为罗朗级数。开为罗朗级数。孤立奇点的分类孤立奇点的分类讨论：函数在三类孤立奇点处的极限孤立奇点处的极限分别取什么值？结论：结论：可去奇点（常数常数），极点（无穷大无穷大），本性奇点（无极限无极限）无穷远点无穷远点R可以任意大无穷远孤立奇点孤立奇点的分类注意：对于任意函数，无穷远点都被注意：对于任意函数，无穷远点都被认为是奇点！认为是奇点！判断：无穷远点是否为孤立奇点？无穷远孤立奇点的分类标准是函数在无穷远点的极限。函数在无穷远点的极限。例：例：判断下列函数奇点（包括无穷远点）的类型：孤立奇点（可去、极点、本性奇点），非孤立奇点 )1sin(1sin(z441zz)1sin(12zzzez111)cos()sin(1zz)1sin(1z方法一：根据罗朗级数判断方法二：根据极限判断奇点非孤立奇点孤立奇点可去奇点极点本性奇点判断孤立奇点类型的方法判断孤立奇点类型的方法零零 点点例：函数f(z)=z(z-1)3的零点有哪些？例：函数f(z)=sin(z)+cos(z)的零点有哪些？并判断它们是几级零点。零点和极点的关系零点和极点的关系简而言之：f(z)的m级极点是1/f(z)的m级零点。例：指出下列函数的极点，说明它们是几级的？22)1(1zz1123zzz)1)(1(2zezz小结小结:奇点的分类与判别奇点的分类与判别方法三：f(z)的m级极点是1/f(z)的m级零点。方法一：根据罗朗级数判断方法二：根据极限判断奇点非孤立奇点孤立奇点可去奇点极点本性奇点孤立奇点孤立奇点的分类方法孤立奇点的分类方法作作 业业 pp124,T1(2,4,6,8),T2(1,3,5),T4,T5
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