七年级下10.5用二元一次方程组解决问题

10.5 用二元一次方程组解决问题一、知识点归纳本节的内容其实在一元一次方程的应用中已经学过，大致的解题思路，如何阅读试题都在前面讲过了，不懂的同学可以看看前面的。二元一次方程组解决问题大致可以分为以下几类，分别详解如下：（一）行程问题：行程问题是常考题目，解题关键是画出路程示意图就行了。关键有以下三个公式，也可以说是一个公式，即：路程=速度时间 ； ；1、追击问题：同向而行，两者的行程差两者的行程差开始时两者相距的路程；2、相遇问题：相向而行，双方所走的路程之和总路程。例1甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意： 这里有两个阶段：前小时是相遇问题，有关系式：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程160千米；后一个阶段是追击问题，汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程。 解：设汽车的速度为千米/小时，拖拉机的速度为千米/小时根据题意，列方程组 解这个方程组，得:汽车行驶了千米；拖拉机行驶了千米。答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米。方程组的解法：方程组可变形为： 把代入，得 ， 3、航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水速度； 船的顺水速度船的逆水速度2水速。例2：两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，根据题意得， ，解之得：答：船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。方程组解法：方程组可变形为：+，得，将代入，得（二）工程问题：工作效率工作时间=工作量此处工作效率内容比较丰富，可以是每个时间段的工作量，比如每天完成80件，工作效率就是80件/天；或者甲单独完成一项工作需要12天，则工作效率就是每天，工作量就是1。例3：一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得 解之得：答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件。方程组解法：方程组可变形为-，得将代入，得，将代入，得（三）商品销售利润问题：(1)利润售价成本(进价)；利润为正时表示盈利，利润为负时表示亏损；(2)；(3)利润成本（进价）利润率；(4)标价成本(进价)(1利润率)；(5)实际售价标价打折率；打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。例如八折就是按标价的十分之八即0.8出售。例4：一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？解：假设该商品定价为x元，进价为y元，根据题意得 解之，得答：此商品的定价为200元 方程组的解法：由可得， 将代入，得， （四）储蓄问题：(1)基本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。(2)基本关系式利息本金利率期数本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1利率期数)利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。税后利息利息 (1利息税率) 年利率月利率12例5小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：解之得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.方程组的解法：可整理为 将代入，得，（五）配套问题：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。例6：某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得： 解之，得答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.方程组解法：由可得， 将代入，得，。（六）增长率问题：原量(1增长率)增长后的量；原量(1减少率)减少后的量.例7. 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年xy200今年120%x90%y780解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元方程组的解法：，得 ，（七）和差倍分问题：较大量较小量多余量，总量倍数倍量.例8.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得：， 解得： 所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.方程组解法： ，得，（八）数字问题：两位数=十位数字10+个位数字 例9. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。解析：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100xy在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100yx解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。依题意可得：，解之得：答：这两个两位数分别为45，23.方程组解法：将化简，可得 +，得，。（九）浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.该问题化学课会学到。（十）几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式例10如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？ 解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得： 解之，得 答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。方程组的解法：由可得， 将代入，得，（十一）年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的例11今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？ 解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：， 解之，得答：父亲现在30岁，儿子6岁。十二、优化方案问题：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。例12某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？解：方案一获利为：4500140=630000(元).方案二获利为：7500(615)+1000(140615)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：，解之得：所以方案三获利为：750060+450080=810000(元).因为630000725000810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元。二、练习与提高1.（2014年江苏苏州3分）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天，设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（xy）的值为 2.（2014年江苏泰州10分）今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人求该市今年外来和外出旅游的人数3.（2014年江苏连云港10分）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062（1）小明以折扣价购买商品是第 次购物.（2）求商品A、B的标价.（3）若品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？4. （2013年江苏苏州6分）苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人问甲、乙两个旅游团各有多少人？5. （2012江苏宿迁10分）某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6 h。问平路和坡路各有多远？6、（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？7、（2013湖南郴州）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60斤，且甲种药材比乙种药材多买了2斤设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（）A、 B、C、 D、8、（2013四川内江）成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是（）ABCD9、（2013四川雅安）甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长10、（2013四川宜宾）2013年4月20日，我省芦山县发生7.0级强烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷某企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷如果按原来的生产速度，每天生产120顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务的90%为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产160顶帐篷，刚好提前一天完成任务问规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？11、（2013甘肃宁夏）雅安地震后，灾区急需帐篷某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是（）ABCD 12、（2013广西南宁）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（）A19B18C16D1513、（2013山东聊城）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料每个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？14、（2013黑龙江绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位要求租用的车辆不留空座，也不能超载有种租车方案15、（2013新疆乌鲁木齐）在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元？参考答案1、【答案】20解析：根据题意得+，得，xy=202、解；该市去年外来人数为x万人，外出旅游的人数为万人，根据题意得解之，得则今年外来人数为：=130万人今年外出旅游的人数为：=96万人答：该市今年外来人数为130万人，外出旅游的人数为96万人。涉及到增长（减少）变化的题目时，最好以变化前的量作为未知数，这样方便列方程，不容易错。3、解：（1）三从上述数字很容易看出，第三次购买的A、B两种商品的数量都比前两次多，但花费的总费用反而少，所以确定第三次是按照折扣价购买的。（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得解之，得答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元.（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据题意得，（990+8120）=1062，解之得：a=6 答：商店是打6折出售这两种商品。4、解：设甲旅游团有人，乙旅游团有人,根据题意得解之，得 答：甲旅游团有35人，乙旅游团有20人5、解：设平路有x km ，坡路有y km，根据题意，得 解之得 答：平路有150 km ，坡路有120 km。6、解：设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩，乙种蔬菜种植了亩，则：解之得答：李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩7、【答案】A8、【答案】D9、解：设乙的速度为x米/秒，则甲的速度为2.5x米/秒，环形场地的周长为y米，由题意，得解之得：甲的速度为：2.5150=375米/分答：乙的速度为150米/分，则甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米本题涉及到环形跑道的问题。同时、同地、同向而行首次相遇，则快者走的路程慢者走的路程=环形跑道周长10、解：设规定时间为x天，生产任务是y顶帐篷，根据题意得，解之得：答：规定时间是6天，生产任务是800顶帐篷11、【答案】D12、解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，由题意，得解之得：2x+2y=16有些题没必要非要求出x和y的值，只要能求出结果就行了。前面的例题也涉及到这种问题，要善于观察，勤于积累。13、解：设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据题意得：，解之得：答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元14、【答案】2解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，根据题意得8x+4y=20化简，得2x+y=5，x、y都是正整数，x=1时，y=3，x=2时，y=1，x=3时，y=1（不符合题意，舍去），所以，共有2种租车方案15、解：设该店的苹果的单价是每千克x元，梨的单价是每千克y元，由题意得：解之得答：该店的苹果的单价是每千克5元，梨的单价是每千克9元