极限的性质和运算法则

第三节 极限的性质和运算法则,复习：先进一步理解极限的概念：,1、数列的极限,变量Y以A为极限：不管你事先指定的一个数多么小，（刻画Y与A的接近程度）在Y的变化过程中，总能找到一个时刻，自这个时刻以后，Y与A的接近程度比你事先指定的那个数还要小。,显然，你指定的数越小，总能找到的N就越向后面去（越大）,所有极限概念一律用下面一段话来理解：,你事先指定的 越小，你找到的 也越大,0,X,Y,A,你事先指定的 越小，你找到的 也越小,（ ）,二、收敛数列的性质,性质1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,性质2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,性质3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0),性质1(函数极限的唯一性),性质2(函数极限的局部有界性),如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界,性质3(函数极限的局部保号性),如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心邻域内 有f(x)0(或f(x)0),如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的,如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0),推论,函数极限的性质,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB,推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 limcf(x)=climf(x),推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 limf(x)n=limf(x)n ,法则一 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,极限的四则运算法则,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,数列极限的四则运算法则,推论4：如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab,不等式,求极限举例,例1,解,例2,解,解,例3,解,例4,消去“零”因子,极限不存在,讨论,提示,当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) ,先用x3去除分子及分母 然后取极限,解,先用x3去除分子及分母 然后取极限,例5,解:,例6,讨论,提示,例7,解,定理6(复合函数的极限运算法则),说明,设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则,把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果,定理6(复合函数的极限运算法则),设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则,例9,解,作业：P25 习题13 1： （2）（4）、（5）、（6）。 2：（3）、（6）。,