李亚普诺夫稳定性分析

9.4 李雅普诺夫稳定性分析,概 述 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。,分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据，如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据、根轨迹判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法只适用于线性定常系统, 不能推广到时变系统和非线性系统。 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理。,早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。,百余年来,李雅普诺夫理论得到极大发展,在数学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广泛应用。 李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。,第一类方法是将非线性系统在平衡状态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。,李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且也能用来研究 时变系统、 非线性系统,甚至 离散时间系统、 离散事件动态系统、 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。,可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得到了进一步研究和发展。 本章节将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫第一法和第二法的理论及应用。,1 平衡状态 设我们所研究的系统的状态方程为 其中x为n维状态变量；f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的线性或非非线性向量函数。,一、 李雅普诺夫稳定性概念,如果对于所有t，满足 的状态 称为平衡状态（平衡点）。,平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令 所求得的解 x ,便是平衡状态。,由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡状态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如图所示。,显然，对于线性定常系统 的平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0 当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡状态xe=0; 而当A为奇异时，则存在无限多个平衡状态，且这些平衡状态不为孤立平衡状态，而构成状态空间中的一个子空间。 对于非线性系统，可以存在一个或多个平衡状态，它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解。,例如，对于非线性系统,其平衡状态为下列代数方程组,的解，即下述状态空间中的三个状态为其平衡状态。,对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡状态，因此对于系统而言只有一种稳定性，可以一般地说系统是否稳定。对于非线性系统，由于系统中可以存在不同的平衡状态，而不同的平衡状态又可以有不同的稳定性，所以，一般来说，只能提某一平衡状态的稳定性，不能笼统地谈系统的稳定性。,2 李雅普诺夫意义下的稳定性 在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数学名词和符号： 范数 球域 然后介绍 李雅普诺夫意义下的稳定性的定义。,1) 范数 范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为|x1-x2|。 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种具体范数的定义。 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为,其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。,2) 球域 以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,), 即S(xe,)包含满足|x-xe|的n维空间中的各点x。,3） 李雅普诺夫意义下的稳定性 若状态方程 所描述的系统, 对于任意的0和任意初始时刻t0,都对应存在一个实数(,t0)0, 从任意位于球域S(xe,)的初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe, )内,则称系统的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的。,通常与、t0 都有关。如果与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。,注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的线性定常系统稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定性是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。,3 渐近稳定性 上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡状态附近的解总是在该平衡状态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态稳定于何处。 下面我们给出强调系统最终状态稳定性的李雅普诺夫意义下的渐近稳定性定义。,渐近稳定,李雅普诺夫意义下稳定,系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：,称此平衡状态是渐近稳定的。,若实数(,t0)与初始时刻t0无关，则称平衡状态是一致渐近稳定的。 对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价。 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。,对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。,4 大范围(全局）渐近稳定性 对于线性定常系统,因为线性系统稳定性与初始条件的大小无关，所以如果其平衡状态是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的。 但对于非线性系统则不然,渐近稳定性是一个局部性的概念,而非全局性的概念。,当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时 。,5 不稳定性,不论取得得多么小，只要在 内有一条从x0 出发的轨迹跨出 ，则称此平衡状态是不稳定的。,二、李雅普诺夫第一法（间接判别法）,李雅普诺夫第一法（间接法） 是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 定理1：线性定常系统的特征值判据 对于系统 1)系统的每一个平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值具有非正实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。 2)渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值具有负实部，即,李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理 ：根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。 实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与 及t 有关，是一个标量函数，记以 ；若不显含t ，则记 。 考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。 实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。,三、李雅普诺夫第二法（直接判别法）,1、标量函数定号性,正定性：标量函数 在域S中对所有非零状态 有 且 ，则称 均在域S内正定。如 是正定的。,负定性：标量函数 在域S中对所有非零状态 有 且 ，则称 均在域S内负定。如 是负定的。,如果 是负定的，则 一定是正定的。,正（负）半定性： ，且 在域S内某些状态处有 ，而其它状态处均有 （ ），则称 在域S内正（负）半定。 设 负半定，则 为正半定。如 为正半定。 不定性: 在域S内可正可负，则称 不定。如 是不定的。,二次型函数 是一类重要的标量函数，记,其中，P 为对称矩阵，有 。,当的各顺序主子行列式均大于零时 ，即,则 正定，且称 P为正定矩阵。当 P的各顺序主子行列式负、正相间时，即,则 负定，且称 P为负定矩阵。若主子行列式含有等于零的情况，则 为正半定或负半定。不属以上所有情况的 不定。,2. 李雅普诺夫第二法的主要定理 下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理: 渐近稳定性定理 稳定性定理 不稳定性定理,(1) 定常系统大范围渐近稳定性定理1 定理2 设定常系统的状态方程为 其中xe=0为其平衡状态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x),满足下述条件: 1) 若 为负定的; 2) 当|x|,有V(x), 则该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,2. 李雅普诺夫第二法的主要定理,对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明: 此定理只为判别系统渐近稳定的充分条件,而非必要条件。 也就是说,若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函数,则系统是大范围渐近稳定的。 但是,如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数,也并不意味着平衡状态就不是渐近稳定的。 此时,我们或者 继续寻找满足条件的李雅普诺夫函数,或者 可利用后续定理的结论来判别平衡状态的渐近稳定性。 2) 对于渐近稳定的平衡状态,满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的,但并不唯一。,例 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡状态稳定性。,解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡状态,如果我们选择正定函数,为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)对时间的全导数,是负定函数。此外,当|x|时,必有V(x)。 因此,由定理2知,在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,例： 试确定如下状态方程描述的系统的平衡状态稳定性。,解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡状态,如果我们选择正定函数,则V(x)对时间的导数,是负半定函数,故由定理2知,根据所选的函数分析不出该平衡状态是否渐近稳定。 但这也并不意味着该平衡状态就并不渐近稳定。,定理2中严格要求选择的李雅普诺夫函数为正定函数,其导数为负定函数。 这给该定理的应用,特别是寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困难。 下面给出一个定理对上述定理2作一补充,以减弱判别条件。,(2)定常系统大范围渐近稳定性定理2 定理3：设定常系统的状态方程为 其中xe=0为其平衡状态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x),满足下述条件: 1) 若 为负半定的; 2) 对任意 3) 当|x|,有V(x), 则该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,例： 试确定如下状态方程描述的系统的平衡状态稳定性。,解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡状态,如果我们选择正定函数,则V(x)对时间的导数,是负半定函数,故由定理3判断该平衡状态是否渐近稳定。,因此,由定理3知,在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,(3) 不稳定的判别定理 定理4：设系统的状态方程为 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足： 1） 为正定的或 2） 为正半定的，且 则平衡状态是不稳定的。,例：试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择李雅普诺夫函数为,则,由于 正半定,但其只在x1=0,x2=0时才恒为零,而在其他状态不恒为零,因此由定理4的2)可知,系统的平衡状态为不稳定的。,下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结,V(x),结论,正定(0),负定(0),该平衡状态渐近稳定,正定(0),负半定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡状态渐近稳定,正定(0),负半定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解),该平衡状态稳定 但非渐近稳定,正定(0),正定(0),该平衡状态不稳定,正定(0),正半定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡状态不稳定,1 线性定常连续系统渐近稳定性的判别 设线性定常连续系统的状态方程为 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0,即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。,四、线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析,，,设系统状态方程为 ,A为非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。可以取正定二次型函数 作为李雅普诺夫函数 ,求导并考虑状态方程,根据定理1，只要Q正定（即 负定）则系统是大范围一致渐近稳定的。于是线性定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为：给定一正定矩阵，存在满足（1） 式的正定矩阵Q。,注意：先指定正定的Q阵，然后验证P阵是否正定。,定理5：线性定常系统 渐近稳定的充要条件为：给定正定实对称矩阵Q阵，存在正定实对称矩阵P阵使（1）式成立。若 ，则Q可以取正半定的。,说明： （1）对Q阵的选择唯一限制是要求其为对称正定矩阵。判断系统是否为渐近稳定与Q阵的不同选择无关。 （2）定理5实际给出了矩阵A的所有特征值均具有负实部的充要条件。 （3）利用定理5判断线性定常系统是否渐近稳定时需要求解李雅普诺夫方程，但通常求解方程较为繁琐，因此该方法往往不用来判定系统的稳定性，而是用来构造线性定常连续渐近稳定系统。,例: 试判断如下状态方程描述的系统平衡状态的渐近稳定性。,解：,展开后得,有:,P不定，因此，系统非渐近稳定的。,2 离散系统渐近稳定的判别,设系统状态方程为,，式中,以,代替,，有,阵非奇异，原点,考虑状态方程，有,取正定二次型函数,是平衡状态。,定理6: 系统 渐近稳定的充要条件是：给定任一正定实对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，使（1）式成立。如果 沿任一解的序列不恒为零， Q可取正半定阵。,例: 设离散时间系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处是大范围渐近稳定的条件。 解 由式(1)得如下李雅普诺夫代数方程 展开后得如下联立方程组:,TP -P=-Q (1),要使P为正定,必须满足 因此,有 即只有当传递函数的极点位于单位圆内时,系统在平衡点处才是大范围内渐近稳定的。,9.5 控制系统状态空间设计,例1：自动检测系统,电气开关面板上有各种开关、继电器和指示灯，若采用手工方式检测，会降低产量并造成较大的检测误差。下图是一个自动检测示意图，该系统通过直流电机来驱动一组探针，使探针穿过零件的引线，以便检测零件的导通性能、电阻及其它功能参数。,该自动检测系统利用直流电机上的编码器来测量电压和探针的位置，其结构图如图所示。要求设计状态反馈系统使系统的单位阶跃响应时间小于2s（=2%），超调量小于4%。,例2：一个三容水槽对象如图所示, H1、 H2、 H3为三个水槽液位, 将H1作为被控变量y, 将输入流量q作为控制变量u。,它们由环节1/s、 1/(s+1)、 1/(s+2)及10串联而成， 选状态变量x1、 x2、 x3, 它们与各水位成比例, 可得到状态图。 显然原系统是不稳定的, 现要求通过状态反馈u=-Kx+v (v为参考输入), 将闭环极点配置在-2、 -1j上。,