大学数学应用基础-高等数学中册湖南教育出版社.ppt

大学数学应用基础,高等数学(中册),湖南教育出版社,第六章 向量代数与空间解析几何 6.1 向量及其线性运算 6.2 向量的向量积 6.3 平面与直线 6.4 曲面与曲线,湖南教育出版社,下页,6.1向量及其线性运算,1. 空间直角坐标系,2. 空间向量及其线性运算,3. 向量的坐标表示,上页,下页,首页,6.1向量及其线性运算,1. 空间直角坐标系,通常规定x轴，y轴，z轴的正向要遵循右手法则.,横轴,纵轴,竖轴,坐标原点,上页,下页,首页,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限.,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,解 根据坐标与点的对应关系，描出各点如下图所示.,例1 求空间直角坐标系中，标出下列各点的坐标： A(1,2,3), B(0,1,1),C(-1,0,0).,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,空间两点的距离公式,长方体的对角线长的平方等于三条棱 长的平方和，则：,所以点,间的距离为,由图可知，该长方体的各棱长分别为：,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,例2 求证：以,的三角形是等腰三角形.,三点为顶点,证 因为,所以,故三角形,为等腰三角形.,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,例3 一动点M(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离为定值1，求动点的轨迹方程.,解 因为|MO|=1，所以根据两点间的距离公式，得,化简，得所求轨迹方程为,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,2. 空间向量及其线性运算,6.1向量及其线性运算,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,或,以M为起点，N为终点的有向线段.,向量的模：向量的大小.,或,零向量：模长为0的向量.,单位向量：模长为1的向量.,相等向量：模相等且方向相同的向量.,上页,下页,首页,共线向量(平行向量): 方向相同或相反的两个向量互相平行或 重合. a/b 零向量与任何向量都平行.,向量a与b垂直:,约定零向量与任何向量都垂直.,空间向量的加法、减法、与数乘统称向量的线性运算.,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,将向量a与b的起点放在一起,以向量a和b为邻边为平行四边形,则从起点到对角顶点的向量称为a与b的和向量,记作a+b.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.,向量可以平移，若把b的起点放到向量a的终点上，则自a的起点到向量b的终点的向量亦为a+b向量.这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则.,定义1,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,向量a与-b的和称为a与b的差,记作a-b.,6.1向量及其线性运算,负向量: 与a的模相同而方向相反的向量.,向量的减法: 把a与b的起点放在一起,a-b即是以b的终点 为起点，以a的终点为终点的向量.,上页,下页,首页,空间向量的加法、减法与数乘满足以下运算性质：,（1）交换律,定义2,（2）结合律,（3）分配律,6.1向量及其线性运算,定理,向量b与非向量a平行的充要条件是存在实数,使得,上页,下页,首页,3. 向量的坐标表示,于是，由向量加法，有,点M在Ox,Oy,Oz轴上的投影 依次为P,Q,R. 如果点M的坐标为(x,y,z),则,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,向量a,有序数组,6.1向量及其线性运算,a=(x,y,z)称为向量a的坐标表达式， 数x,y,z称为向量a的坐标， 向量xi,yj,zk分别称为向量a在x轴,y轴,z轴的分向量.,设,则,上页,下页,首页,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,例4 已知,和,，求向量,的模及与,方向相同的单位向量.,解 因为向量的坐标为,所以，向量的模为,与,方向相同的单位向量为,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,例5 设向量,解 (1) 由a/b的充要条件，得,，问数,为何值时，(1) a与b平行；(2) a与b垂直.,(2) 由,的充要条件，得,可取任意值.,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,例6 已知三点A(-1,2,3), B(1,1,1), C(0,0,5),求,因为,解 作向量,则,与,的夹角就是,所以,6.1向量及其线性运算,上页,下页,首页,实例,6.2 向量的向量积,设O为一根杠杆的支点，有一力F作用于这杠杆上点A处，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模,M的方向垂直于F和 ,且 , F, M构成右手系.,上页,下页,首页,定义,两个向量a和b的向量积(又称叉积或外积)记作,它是满足下述条件的向量：,构成右手系.,6.2 向量的向量积,（1）向量,的模,（2）向量,与a和b都垂直,且a, b,的方向,上页,下页,首页,向量积有以下运算律：,（1）反交换律,（2）结合律,（3）分配律,6.2 向量的向量积,上页,下页,首页,例1 设a,b是两个向量，且b=3a，试证：,证 （1）如果a=0，则,所以,于是,所以,（2）如果,则b=3a与a平行，所以=0,6.2 向量的向量积,两个非零向量平行的充要条件是它们的向量积为零向量.,定理,上页,下页,首页,例2 设m,n是互相垂直的单位向量，a=m-n,b=m+n,求,解,6.2 向量的向量积,上页,下页,首页,设向量,6.2 向量的向量积,向量积的坐标表示式,上页,下页,首页,为了记忆，它可写成下面的形式：,其中,上述三式的左端都称为二阶行列式，它的值等于对角线两 数之积的差.,6.2 向量的向量积,上页,下页,首页,例3 设a=(1,0,2),b=(-1,1,2),求,解,及,6.2 向量的向量积,上页,下页,首页,例4 求同时垂直于x轴与向量a=(3,6,8)的单位向量.,所以，所求单位向量为,解 取与x轴同向的单位向量i=(1,0,0),则同时垂直于a与i的 单位向量就是与ai的平行的单位向量.,或,6.2 向量的向量积,上页,下页,首页,例5 已知三点A(1,1,1),B(2,0,-1),C(-1,1,2),求三角形ABC的面积.,解 三角形ABC的面积等于以向量,为边的平行,形面积的一半，根据向量积模的几何意义，得,6.2 向量的向量积,上页,下页,首页,6.3 平面与直线,1. 平面,2. 直线,3. 平面、直线间的夹角,4. 点到平面的距离,上页,下页,首页,平面的,的方程,6.3 平面与直线,(1) 平面的点法式方程,如果一个非零向量n垂直于一个平面,则称n为平,面 的法向量.平面的法向量常记作n=(A,B,C).,1. 平面,定义1,M(x,y,z),上页,下页,首页,例1 已知平面,过点,，且垂直于,的连线，求平面,的方程.,解 取平面的法线向量为,由平面的点法式方程，得所求平面的方程为,2(x-2)+(y+1)-(z-3)=0,即 2x+y-z=0.,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,都在平面上，,例2 求过点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程.,解 由于A,B,C三点都在平面上，所以向量,因此向量,垂直于平面，故可取它作为平面的法向量.,因此，过点A(1,0,0)，且以n=i+j+k为法向量的平面方程为,即 x+y+z=1.,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,6.3 平面与直线,(2) 平面的一般方程,平面的一般方程,由平面的点法式方程,上页,下页,首页,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,例3 作出下列平面. (1) x=2; (2) z=3; (3) x+y=2;,解 (1) x=2表示过点(2,0,0)且平行于yOz面的平面. (2) z=3表示过点(0,0,3)且平行于xOy面的平面.,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,(3) x+y=2表示过点(2,0,0),(0,2,0)且与z轴平行的平面.,表示过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面.,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,例4 求过x轴和点M(2,-2,3)的平面方程.,解 因为平面过x轴，所以设平面的方程为 By+Cz=0.,将点M(2,-2,3)代入上式，得 -2B+3C=0.,解得,将,代入方程By+Cz=0中，得,因为,，故所求平面方程为,或 3y+2z=0.,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,例5,设平面过点P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(abc 0)，,解,设平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0.,6.3 平面与直线,将三点坐标代入得,求它的方程.,上页,下页,首页,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,6.3 平面与直线,整理得,上页,下页,首页,2. 直线,(1)直线的一般方程,设空间一直线为l,为交于l的两个平面，方程为,直线的一般方程,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,如果一个非零向量s平行于一条直线l，则称s为直线l的方向向量.,定义2,直线l的点向式方程,6.3 平面与直线,直线的一组方向数,上页,下页,首页,令,6.3 平面与直线,直线的参数方程,参数,上页,下页,首页,例6 求过点(1,-1,2)且垂直于平面3x+2y-z+5=0的直线方程.,解 与平面的法向量n=(3,2,-1) ,可取n作为直线的方向向量. 于是由点向式方程，得所求直线的方程为,6.3 平面与直线,例7,求过点A(2,1,-1)和B(0,3,4) 的直线方程.,解,上页,下页,首页,例8,把直线l的一般方程,化为点法式方程,和参数方程.,解,先在直线l上找一点，令z=0，得,为直线l上的一点.,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,所以，直线l的点法式方程为,参数方程为,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,6.3 平面与直线,3. 平面、直线间的夹角,定义3,两平面发向量的夹角中的锐角，称为两平面的夹角.,两平面的夹角公式,上页,下页,首页,(1),(2),例9 求两平面x-2y+z+1=0和2x-y-z-2=0的夹角.,解,所以，两平面的夹角,6.3 平面与直线,两平面位置特征：,上页,下页,首页,定义4,两直线方向向量的夹角中的锐角，称为两直线的夹角.,设两直线的夹角为,两直线的夹角公式,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,根据向量平行、垂直的条件，可推出下述结论：,例10 试证直线,与直线,垂直.,证,3(-2)+25+1(-4)=0,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,直线与其在平面内的投影之间的夹角的锐角，叫做直线与平面的夹角.,定义5,直线与平面的夹角公式,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,根据向量平行、垂直的条件，可推出下述结论：,例11 求直线,与平面x-y+2z-3=0的夹角.,解 直线的方向向量为s=(2,1,1),平面的法向量为n=(1,-1,2).,所以，所求夹角为,6.3 平面与直线,上页,下页,首页,6.3 平面与直线,4. 点到平面的距离,上页,下页,首页,6.3 平面与直线,点到平面的距离公式为,例12 求点(3,1,-2)到平面3x-5y+4z-1=0的距离.,解 根据点到平面的距离公式，得,上页,下页,首页,6.4 曲面与曲线,1. 曲面方程的概念,2. 旋转曲面,3. 柱面,4. 二次曲面,5. 曲线,上页,下页,首页,1. 曲面方程的概念,如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系：,6.4 曲面与曲线,定义1,曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0； (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0，则称方程 F(x,y,z)=0为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图 形.,上页,下页,首页,例1 求球心在点,，半径为R的球面方程.,解 设M(x,y,z)是球面上任意一点， 则根据两点间的距离公式，得,整理，得,特别地，当球心在原点O(0,0,0)时，球面方程为,6.4 曲面与曲线,上页,下页,首页,的球面.,例2,方程,解 把原方程配方，得,表示怎样的曲面？,所以，它表示球心在点(2,0,-1),半径为,6.4 曲面与曲线,上页,下页,首页,2. 旋转曲面,6.4 曲面与曲线,一条平面曲线C绕同一平面上的定直线l旋转所形成的曲面称为旋转曲面.这条定直线l叫作旋转曲面的旋转轴，平面曲线C叫作旋转曲面的母线.,定义2,都在垂直于z轴的平面上，,(2),(1),上页,下页,首页,到z轴的距离，,又点M到z轴的距离等于点,(3),将(2)和(3)代入(1)，得,6.4 曲面与曲线,类似地，曲线C绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程为,上页,下页,首页,例3 求xOy面上的椭圆,绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程.,解 因为z轴是旋转轴，所以在方程,以,中，保持z不变，,代y，得,即所求的旋转曲面的方程为,6.4 曲面与曲线,旋转椭球面,上页,下页,首页,例4 求xOy面上的抛物线,绕y轴旋转而成的旋转,曲面的方程.,解 因为y轴是旋转轴，所以在方程,中保持y不变，以,代x，得所求曲面方程为,6.4 曲面与曲线,旋转抛物面,上页,下页,首页,例5 求yOz面上的直线z=ky(k0)绕z轴旋转一周而成的旋转 曲面方程.,解 因为z轴是旋转轴，所以在方程z=ky中保持z不变，以,代y，得所求旋转曲面的方程为,对上式平方，得,6.4 曲面与曲线,圆锥曲面,上页,下页,首页,凡是过xOy平面内圆 且平行于z轴的直线,3. 柱面,例6 方程,在空间表示怎样的曲面？,解 方程,在xOy平面上表示一个圆.,上一点,都在方程 所表示的空间图形上.,方程,所表示的空间图形可看作是 由平行于z轴的一条直线沿 xOy平面内的圆移动而成的 曲面，称为圆柱面.,6.4 曲面与曲线,上页,下页,首页,一动直线L沿定曲线C移动，且始终与定直线l平行，则称动直线L的轨迹为柱面.定曲线C叫作柱面的准线，动直线L叫作柱面的母线.,定义3,6.4 曲面与曲线,上页,下页,首页,例7 下列方程各表示何种曲面：,解,6.4 曲面与曲线,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,(1),(3),(2),上页,下页,首页,在空间直角坐标系中，三元二次方程表示的曲面称为二次曲面.,4. 二次曲面,定义4,(1) 椭球面,6.4 曲面与曲线,相应地，三元一次方程称为一次曲面.,上页,下页,首页,6.4 曲面与曲线,(2) 椭圆抛物面,上页,下页,首页,6.4 曲面与曲线,5. 曲线,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,特点：,（1）空间曲线的方程,上页,下页,首页,6.4 曲面与曲线,例如,曲线的参数方程,上页,下页,首页,6.4 曲面与曲线,例8 设一动点M在圆柱面,上以角速度,绕z轴旋转，,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(,都是常数)，则,点M的几何轨迹叫作螺旋线，试建立其参数方程.,取时间t为参数，动点从A(a,0,0)点出发，经过t时间,运动到M(x,y,z)处.,解,上页,下页,首页,过 上每一点作平面的垂线，则这些垂线形成了一个以为准线且母线平行于z轴的柱面，这个柱面称为曲线 在面上的投影柱面.,6.4 曲面与曲线,(2) 空间曲线在坐标面上的投影,投影柱面与xoy面的交线称为曲线在xoy面上的投影曲线(投影).,曲线 关于xOy面，yOz面，zOx面的投影方程为,上页,下页,首页,6.4 曲面与曲线,例9 求曲线,关于xOy面的投影方程，,并判断投影曲线的类型.,解,所以，曲线关于xOy面的投影方程为,上页,下页,首页,