空间几何体的表面积与体积.ppt

8.2 空间几何体的表面积与体积 要点梳理 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积：,基础知识 自主学习,2.几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 .,各面面积,之和,矩,形,扇形,扇环形,侧面积,与底面面积之和,基础自测 1.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等 于 ,则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 解析 设圆锥的底面半径为r，则,C,2.（2008湖北）用与球心距离为1的平面去截 球，所得的截面面积为，则球的体积为( ) A. B. C. D. 解析 截面面积为，则该小圆的半径为1， 设球的半径为R，则R2=12+12=2，R= ，,B,3.（2009陕西文，11）若正方体的棱长为 ，则 以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的 体积为( ) A. B. C. D. 解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两 个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每 一个正四棱锥的高为 ，所以,B,4.（2009海南理，11）一个棱锥的三视图如 下图，则该棱锥的全面积(单位:cm2)为( ) A. B. C. D.,解析 该几何体是一个底面为直角三角形的三 棱锥，如图，SE=5，SD=4，AC= ，AB=BC=6， S全=SABC+2SSAB+SASC 答案 A,5.（2008山东理，6）如图是一个几何体的三视 图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 解析 几何体为一个球与一个圆柱的组合体, S=412+122+213=12.,D,题型一 几何体的展开与折叠 有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离.,题型分类 深度剖析,解 把圆柱侧面及缠绕其上 的铁丝展开，在平面上得到 矩形ABCD（如图所示）， 由题意知BC=3 cm， AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位 置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. 故铁丝的最短长度为5 cm.,求立体图形表面上两点的最短距离 问题，是立体几何中的一个重要题型.这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体 图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发 现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将 图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面 展开为平面，使问题得到解决.其基本步骤是：展 开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形， 找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长.,知能迁移1 如图所示，长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=a， BC=b，BB1=c，并且abc0. 求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长. 本题可将长方体表面展开，利用平面 内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答. 解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可 能，如图所示.,三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为,题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BAC=30)及其体积. 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.,解 如图所示, 过C作CO1AB于O1,在半圆中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割， 然后利用有关公式进行计算.,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， 侧面积为S，则,题型三 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长 为 ，求这个三棱锥的体积. 本题为求棱锥的体积问题.已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示， 正三棱锥SABC. 设H为正ABC的中心， 连接SH， 则SH的长即为该正三棱锥的高.,连接AH并延长交BC于E， 则E为BC的中点，且AHBC. ABC是边长为6的正三角形，,求锥体的体积，要选择适当的底面和 高，然后应用公式 进行计算即可.常用方 法：割补法和等积变换法. （1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱 体的体积，从而得出几何体的体积. （2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面.求体积时，可选择容易计算的方 式来计算；利用“等积性”可求“点到面的 距离”.,知能迁移3 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD是边长为1的正方形， 且ADE、BCF均为正三角形， EFAB，EF=2，则该多面体的体积为( ) A. B. C. D. 解析 本题中的多面体是一个不规则的几何体, 因此可考虑对其进行分割或补形.,如图所示，分别过A、B作EF的垂线， 垂足分别为G、H，连接DG、CH, 容易求得,答案 A,题型四 组合体的表面积及其体积 (12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点， 将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积. 易知折叠成的几何体是棱长为1的正 四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可. 解 由已知条件知，平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折叠后得到一个正四面体. 2分,方法一 作AF平面DEC，垂足为F， F即为DEC的中心. 取EC的中点G，连接DG、AG， 过球心O作OH平面AEC. 则垂足H为AEC的中心. 4分 外接球半径可利用OHAGFA求得. 在AFG和AHO中，根据三角形相似可知，,6分,10分,12分,方法二 如图所示，把正四面体放在正 方体中.显然，正四面体的外接球就 是正方体的外接球. 3分 正四面体的棱长为1， 正方体的棱长为 ， 6分,9分,12分,（1）折叠问题是高考经常考查的内容 之一，解决这类问题的关键是搞清楚处在折线同 一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图 形及数量的关系的变化，借助立体几何与平面几 何知识即可求解. （2）与球有关的组合体，是近几年高考常考的 题目，主要考查空间想象能力及截面图的应用， 因此画出组合体的截面图是解决这类题的关键.,知能迁移4 （2009全国理，15）直三棱 柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上. 若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的 表面积等于 . 解析 在ABC中,由余弦定理知BC2=AB2+AC2 -2ABACcos 120=4+4-222 由正弦定理知ABC的外接圆半径r满足 r=2,由题意知球心到平面ABC的距离为1， 设球的半径为R，则 S球=4R2=20.,20,方法与技巧 1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利.,思想方法 感悟提高,（1）几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要 求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补 成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, 由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体 补成锥体研究体积. （3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算， 应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角 形、直角梯形求有关的几何元素.,失误与防范 1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开. 2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题, 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或“切点”、“接点”作出截面图.,一、选择题 1.如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角 形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( ),定时检测,解析 由三视图知该几何体为三 棱锥，记为SABC，其中AS=AB= AC=1且两两互相垂直，,答案 D,2.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的 表面积是 ( ) A.8 B.6 C.4 D. 解析 设正方体的棱长为a,则a3=8,a=2.而此 正方体的内切球直径为2,S表=4r2=4.,C,3.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3， 体积为6，则这个球的表面积是 ( ) A.16 B.20 C.24 D.32 解析 设正四棱锥高为h，底面边长为a， 可利用三角形相 似计算出球的半径r=2，S球=4r2=16.,A,4.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体 积是 ( ) A.27 B.30 C.33 D.36,解析 由三视图知该几何体为组合体，由一个正 四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱 长为3，正四棱锥高为1，底面正方形边长为3, V=V柱+V锥= 答案 B,5.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面 相切，若这个球的体积是 则这个三棱柱的体 积是( ) A. B. C. D. 解析 由 得R=2.正三棱柱的高 h=4. 设其底面边长为a，则,D,6.某师傅需用合板制作一个工作台， 工作台由主体和附属两部分组成， 主体部分全封闭，附属部分是 为了防止工件滑出台面而设置的 护墙，其大致形状的三视图如图 所示（长度单位：cm），则按图中尺寸，做成的 工作台用去的合板的面积为（制作过程合板损耗 和合板厚度忽略不计）( ) A.40 000 cm2 B.40 800 cm2 C.1 600(22+ ) cm2 D.41 600 cm2,解析 由三视图知该工作台是棱长为80 cm的正方 体上面围上一块矩形和两块直角三角形的合板， 如图所示，则用去的合板的面积S=6802+80202=41 600 cm2. 答案 D,二、填空题 7.（2009辽宁理，15）设某几何体的三视图如 下（尺寸的长度单位：m）. 则该几何体的体积为 m3.,解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥 （如图），AC=4，SO=2，BD=3, 答案 4,8.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2 ，则四面体 AB1CD1的外接球的体积为 . 解析 四面体AB1CD1的外接球即为正方体的外 接球，所以,36,9.如图所示，已知一个多面体的平面 展开图由一个边长为1的正方形和4 个边长为1的正三角形组成，则该多 面体的体积是 . 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长 为1，侧棱长为1，斜高为 ，连结顶点和底面 中心即为高，可求高为 ，所以体积,三、解答题 10.直三棱柱高为6 cm，底面三角形的边长分别为 3 cm,4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部 分体积的最小值. 解 如图所示，只有当圆柱的底面圆 为直三棱柱的底面三角形的内切圆时， 圆柱的体积最大，削去部分体积才能 最小，设此时圆柱的底面半径为R， 圆柱的高即为直三棱柱的高.,在ABC中，AB=3，BC=4， AC=5，ABC为直角三角形. 根据直角三角形内切圆的性质可得 7-2R=5， R=1.V圆柱=R2h=6. 而三棱柱的体积为 削去部分体积为36-6=6（6-） （cm3）. 即削去部分体积的最小值为6（6-） cm3.,11.如图所示，一个直三棱柱形容器 中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面 AA1B1B水平放置时，液面恰好过 AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置 时，液面高为多少？ 解 当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四 棱柱形，底面ABFE为梯形. 设ABC的面积为S，则S梯形ABFE= 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形， 设水面高为h，则有V水=Sh,6S=Sh，h=6. 故当底面ABC水平放置时，液面高为6.,12.一几何体按比例绘制的三视图如图所示 （单位：m）: （1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积和体积.,解 （1）直观图如图所示： （2）方法一 由三视图可知该几何体是长方体被截 去一个角,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1 为棱的长方体的体积的 ， 在直角梯形AA1B1B中， 作BEA1B1于E， 则AA1EB是正方形, AA1=BE=1.,在RtBEB1中，BE=1，EB1=1， BB1= . 几何体的表面积,方法二 几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的 直四棱柱，其表面积求法同方法一，,返回,