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第七章,多元函数微分 本节学习多元函数的概念 多元函数的极限和连续性, 重点在二元函数。,(1)邻域,平面区域的概念,7.1 多元函数的概念,(2)区域,例如,,即为开集,设D是开集。如果对于D内任何两点,都可以用折线连接起来,且该折线上的点都属于D,则称开集D是连通区域,简称为区域或开区域。,例如,,例如,,有界闭区域;,无界开区域,例如,,二元函数的定义与几何意义,1定义(二元函数):设点集DR2,对于 P(x,y)D,变量z按照一定法则 总有确定的值与之对应,则称z是变 量xy的二元函数(或称点P的函数) 记为 z=f(x,y) (或z=f(P)) 定义域: D(点集) 自变量: xy 因变量: z 值 域:,o,x,y,z,P0,z0,2. 定义域:,用解析式表示的二元函数,其定义域是使该式有意义的点的集合(区域)(有特殊说明除外); 例如:,o,x,y,D1,D1, 表达实际意义的多元函数,定义域由实际意义确定。,例如:圆柱体体积,o,R,h,D,3二元函数的几何意义,则空间点集 称为 的图形 一张曲面 例如:,o,x,y,z,Z=f(x,y),y,x,z,0,D, 球心在(0,0,0) , 半径为R的上半球球面, 顶点在原点,位于 xoy面上方的圆锥面,R,O,x,y,z,o,x,y,z,S,S,二元函数的极限,1表述定义: 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点P0可以除外), P(x , y)是该邻域内异于P0的任意一点,如果当点P以任何方式趋近于点P0时,函数的对应值 f(x,y)趋近于一个确定的常数A,我们称A是函数 z=f(x,y)当xx0yy0时的极限,记为,或,2. 分析定义: 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义(点P0可以除外),A 为确定常数,若对于0,0,使当,的一切点P(x,y)(P(x0,y0),恒有 成立,则称 A 为 z=f(x,y) 当PP0(xx0,yy0) 时的极限,记为 或,。,P0,P,注记:, PP0的方式必须是任意的。 例如,考察 当(x,y)(0,0)时的极限的存在性。 (x,y)沿 y=kx 趋于(0,0)时,有 f(x,y) 确定常数,y=kx,0,x,y,在PP0的某一种方式下,f(x,y)A, 不能断定函数极限存在。但是在 PP0的不同方式下,f(x,y)趋于不同的值,则可断定极限不存在。 在已知函数极限存在的前提下,可取 PP0的某种特殊方式求极限。 一元函数极限的运算法则等,适于二元函数情形。,例:讨论下列极限,二元函数的连续性,1定义(二元函数连续): 设 z=f(x,y)在 P0(x0,y0)的某个邻域内有 定义,如果 则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续,P0为连续点 否则称f(x,y)在点P0间断,P0为间断点。,在点(0,0)间断,例如:,注记:,1、 f(x,y)在P0连续,满足三个条件,缺一 不可: f(x,y)在P0有定义f(x0,y0); ,2. f(x,y)在D上连续的几何意义 (曲面无孔隙无裂缝),3二元初等函数在定义区域内连续,4若 则,5有界闭区域上二元连续函数的性质:, 最值存在性: 介值点存在性: 有界性:M0,使,第七章作业,P24 1(2)(3)(6) 2(2) 3(2)(3) 4(1)(3) 5(2)(3) 6(1)(4) 7(1)(2) 8(1) 9 10(1) 11(2) 13 15 16 17 2题补:,
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