资源描述
专题五 导数的运算及在函数性质中的应用一、多选题1设函数，给定下列命题，其中正确的是（ ）A若方程有两个不同的实数根，则（为自然对数的底数）B若方程恰好只有一个实数根，则C若，总有恒成立，则D若函数有两个极值点，则实数【答案】ACD【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交点，即可判断A选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B选项；当时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C选项；有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D选项.【详解】对于A，的定义域，令，有，即，可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故A正确；对于B，易知不是该方程的根，当时，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为,由大致图像可知或，故B错误；。对于C，当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在上单调递增，在上单调递减，则，于是，1故C正确；对于D，有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由C可知，则D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力2定义域为的函数，若对任意两个不相等的实数、，都有，则称函数为“函数”，现给出如下函数，其中为“函数”的有（ ）ABCD【答案】BC【分析】分析可知函数为上的增函数，然后判断各选项中函数的单调性，可得出合适的选项.【详解】对于任意给定的不等实数、，不等式恒成立，原不等式等价为恒成立，设，则，即，即函数是定义在上的增函数对于A选项，函数，则，当或时，此时函数为减函数，不满足条件；对于B选项，所以，函数单调递增，满足条件；对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，内层函数为增函数，外层函数为增函数，则函数为上的增函数，又因为函数为上的增函数，所以，函数为上的增函数，满足条件；对于D选项，记，则，所以，函数在上不具有单调性，不满足条件.故选：BC.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.3A，B，C，D，【答案】BCD【分析】根据函数解析式判断函数的奇偶性，可得选项A的正误；结合函数的值域可得选项B的正误；结合导数判断函数的极值情况可得选项C,D的正误.【详解】由题意可知，即函数为奇函数，所以，且，故A错误，B正确；因为， 所以，设，则，由零点存在定理可得使得；所以一定存在时，也一定存在时，即一定不是单调函数，又且图象为连续曲线，所以，故C正确；因为时，所以必然存在最大值，故D正确；故选：BCD.二、单选题4设，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】令，利用导数可得单调性，判断出满足条件的整数为1，即可得出求解.【详解】令，由仅存在一个整数，使得，可得仅存在一个整数，使得，令，可得；令，可得，在单调递减，在单调递增，所以满足条件的整数为1，由可得为减函数，所以，即，解得.故选：B.【点睛】关键点睛：解题的关键是构造函数，利用导数判断单调性，得出.5已知函数，当时，若恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】求函数导数后可知导函数为上的增函数，根据a分类讨论，求的最小值即可求解.【详解】，当时，单调递增，（1）若时，所以在时单调递增， 恒成立，（2）若时，由 单调递增知，存在，使得，故时，当 时，所以在时单调递减，所以，即在上存在使得，所以时不满足题意.综上，故选：A【点睛】关键点点睛：对a分类讨论，研究导函数的单调性，根据导函数的单调性求最小值，根据最值是否满足不小1，判断a所取范围，属于中档题.6曲线在处的切线方程为（ ）ABCD【答案】A【分析】利用切点和斜率求得切线方程.【详解】时，故切点为，当时，所以切线方程为，即.故选：A7定义在上的函数满足，且时，.若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】把方程问题转化为函数图像交点问题，求出临界值即：函数图像和直线相切时的值，结合的性质以及函数对称性，即可得解.【详解】当时，令，则.即时，单调递增.时，单调递减.且.若关于的方程有三个不相等的实数根，如图，当时，设过点做曲线的切线交曲线于点，切线方程为：切线由过点，则，又在时单调递减.，切线的斜率为，由对称性知：.故选：D【点睛】本题考查了函数方程问题，考查了转化思想和数形结合思想，同时考查了利用导数的几何性质求切向方程，有一定的计算量属于中档题.本题关键有：（1）函数方程转化为函数图像交点问题；（2）求范围问题关键是求临界值；（3）掌握过某点求切线方程.8关于函数，下列命题正确的是（ ）A不是周期函数B在区间上单调递减C的值域为D是曲线的一条对称轴【答案】C【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用导数法判断；C.利用导数法求解判断；D.判断与是否相等即可.【详解】，则为周期函数，故A错误；，时，由此可得在上单调递增，故B错误；令，或，当时，可得；当时，此时或.由此可得，函数的最值在函数的极值点处，即当时，函数取得最值，又因为，所以可得函数的值域为，故C正确；，显然地，所以不是函数的对称轴，故D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：用导数法求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得9已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据指数函数的单调性，结合导数与单调性的关系，通过构造函数进行求解即可.【详解】解：函数在上单调递增，当时，有；当时，恒成立，令，则，即在上单调递增，要使当时恒成立，则，解得.函数在上单调递增，还需要满足，即，综上，的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是除了考虑每段函数是单调递增，还要考虑不等式成立这一条件.10若函数，则满足恒成立的实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用性质把不等式转化为，求解函数的最大值可得选项.【详解】，即为奇函数；又，即为增函数；由恒成立，可得恒成立，恒成立，即恒成立，设，易知为偶函数，只需求在上的最大值即可.当时，时，为增函数；时，为减函数；的最大值为；，即；故选：D.【点睛】利用函数性质求解不等式恒成立问题的步骤：根据函数解析式判断奇偶性和单调性；把函数值的不等关系转化为自变量的不等关系；结合恒成立转化为最值问题求解.11若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）A1BCD【答案】C【分析】问题转化为，构造函数，易得在定义域上单调递增，所以在上恒成立，进而可求出的最大值【详解】解：，函数在定义域上单调递增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是将原式变形为，从而构造函数且在定义域上单调递增.12已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】将问题转化为与有且仅有两个交点，利用导数可求得的单调性和最值，由此可确定图象，利用数形结合的方式可求得的范围.【详解】与有且仅有两个公共点等价于方程在上有且仅有两个不等实根，时，令，可知与有且仅有两个交点，令，则，在上单调递增，又，当时，；当时，；当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；又时，；时，可得图象如下图所示：则当时，与有且仅有两个交点，即与有且仅有两个公共点.故选：A.【点睛】方法点睛：已知两函数交点个数，可将问题转化为根据函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第II卷（非选择题）三、填空题13已知曲线在处切线的斜率为，则_【答案】【分析】利用函数在处的导数值为可求得实数的值.【详解】对函数求导得，由已知条件可得，解得.故答案为：.14若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为_.【答案】【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】设公共点为，由，（），则，则，所以，解得，所以， ，所以切线的方程为，即.故答案为：15已知，则曲线在点处的切线方程为_【答案】【分析】求出导函数，得切线斜率，写出切线方程【详解】由题意，又，所以切线方程是故答案为：16（2020巴楚县第一中学高三二模）曲线在处的切线方程为_【答案】【分析】求导，分别求得，写出切线方程.【详解】因为，所以，所以，所以曲线在处的切线方程为，即，故答案为：四、解答题17已知为自然对数的底数，函数.（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1），函数在单调递减，在单调递增；（2）.【分析】（1）先根据极值点求，再求导数，然后再求单调区间；（2）先变形，再运用端点效应来解决.【详解】（1）因为，由，得，所以，当时，；当时，.所以函数在单调递减，在单调递增.（2）令，当时，恒成立等价于恒成立.由于，所以（i）当时，函数在单调递增，所以，在区间恒成立，符合题意.（ii）当时，在单调递增，.当时，即时，函数在单调递增，所以在恒成立，符合题意当即时，若，即时，在恒小于0则在单调递减，不符合题意若，即时，存在使得.所以当时，则在单调递减，不符合题意.综上所述，的取值范围是.【点睛】关键点睛：第（1）问的关键是结合极值点以及导数本身的特点观察出单调区间，第（2）问的关键是发现，然后函数的单调性主要还是通过分析与观察得出.18求证：若时，成立；（2）若函数，且关于的方程有且只有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）法一：由且、，根据的符号确定的单调区间，进而可得极小值，即可证结论；法二：由题设，可知恒成立，只需证，利用导数研究极值即可证结论；（2）将问题转化为方程在上有且只有两个不相等实数根，即令，则在有且只有两个不相等的零点，利用导数研究的极值并确定符号，得到单调区间，并结合零点存在性定理确定区间零点的个数，进而求得参数a的范围.【详解】（1）法一：由得：，当时，即，当时，是减函数；当时，是增函数.法二：由，知：，下面只需证明，令，则，当时，是减函数；当时，是增函数.时，成立.（2）由，知：方程有且只有两个不相等实数根，等价于方程有且只有两个不相等实数根，令，则在有且只有两个不相等的零点，当，时，是减函数；此时至多有一个零点，这种情况舍去.当，有，当时，是减函数；当时，是增函数.，在有且只有两个不相等的零点，极小值，即.由（1）结论，知：上，即在上恒成立，令，有且开口向上有两个不相等的实数根，则，不妨令，必有.使，即，又，是减函数，由零点存在性定理知：在时有且只有一个零点，同理，使，又，是增函数，由零点存在性定理知：在时有且只有一个零点，在有且只有两个不相等的零点.综上，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：（1）利用导数研究函数极值，进而证明函数不等式；或由将问题转化为证即可；（2）将由不同实根问题转化为令，在上有且只有两个不相等的零点时，求参数范围.19讨论函数的单调性；（2）证明：函数（为自然对数的底数）恒成立【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【分析】（1）可求得，分与两类讨论，可得在上单调情况；（2）记函数，通过求导后可得在上单调递增，依题意，可得即，再由，知，于是可证得结论成立【详解】解：（1）的定义域为，当时，恒成立，所以，在上单调递增；当时，令，得到所以当时，单调递增，当时，单调递减综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）记函数，则易知在上单调递增，又由，知，在上有唯一的实数根，且，则，即（*）当时，单调递减；当时，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以则，即，所以有恒成立【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20求函数的单调区间；（2）求函数存在极值，且这些极值的和大于，求实数的取值范围【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解，得单调区间；（2）由（1）知的范围，函数存在极值点，由两个极值点是某方程的解，应用韦达定理得，计算出得出不等式，求解出的范围【详解】解：（1）的定义域为，当时，函数在上单调递减当时，由得，且由得，由得，或，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2）由（1）知，当存在极值时，即方程有两个不相等的的正根、，依题意，即，或又，即实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的单调区间，求极值，考查极值点的应用含有参数的函数在求单调性需要进行分类讨论极值点问题，在极值点不能直接求出时，可以确定极值点的性质，极值点是方程的解，可以利用韦达定理得出两极值点的关系，代入求值21已知(且).（1）若是函数的极值点，求实数的值，并求此时在上的最小值；（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；最小值为；（2）.【分析】(1)求得函数定义域和函数导数，将代入函数的导数,利用导数值为解方程求得的值，再根据函数的单调性求出函数在区间上的最小值；(2)对函数求导后，对分成，两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得的取值范围【详解】（1）函数的定义域为，在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取最小值为所以在的最小值为；（2）由于当时，是增函数，且当时，当时，取，则，所以函数存在零点 时，.在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取最小值解得综上所述：所求的实数的取值范围是【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理22已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）证明有唯一的极值点，且【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）求导函数，得为切线斜率，然后可得切线方程；（2）求出导函数，令，再求导，由确定的单调性，极值，以及函数值的正负，确定有唯一零点，且，由，再引函数（的表达式中改为得到），是减函数，证明即可完成证明【详解】解：（1），切线方程是：，即；（2）证明：由（1）记， ，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，当时，当时，存在唯一零点，故即，故在递减，在递增，有唯一的极值点，显然在单调递减，所以有唯一的极值点，且【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的极值，证明与极值有关的不等式证明的关键是对导函数再一次求导，确定导函数的单调性，正负性，从而确定导函数的零点，即为原函数的极值点求得极小值，证明方法是一方面利用是极小值证明一半的不等式，另一方面，构造新函数利用新函数的单调性证明另一半23求的极值点；（2）若，证明：对任意，且，有.【答案】（1）函数有极小值点，无极大值点；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）首先根据（1）证明，再证明，即可证明，当且仅当时等号成立，令，求出函数的导数，结合，得到在上为增函数，从而证明结论成立.【详解】（1），由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，故函数有极小值点，无极大值点；（2）证明：当时，由（1）可知，故，当且仅当时等号成立，又，当时，故，当时，当时，故，故时，当且仅当时等号成立，故成立，当且仅当时等号成立，令，则，在的任意子区间内不恒为0，在上为增函数，不妨设，则，故，故.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用.24已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）构造函数，可得出，利用导数分析函数的单调性，结合可得出关于实数的值.【详解】（1）由题意知定义域为，得，所以在处的切线方程为；（2）令，则，所以在上为增函数，又因为.时，使得，当时，此时函数单调递减，则，与题意不符；时，使得，当时，所以在上单调递增，则，与题意不符；时，当时，当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，则，综上所述，当时，.【点睛】结论点睛：利用分类讨论法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.25已知函数有两个不同的零点(其中为自然对数的底数).（1）当时，求证：；（2）求实数的取值范围；（3）若函数的两个零点为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）只需证明，令，则.设，求出函数的最小值即得证；（2）先利用导数求出，再对分三种情况讨论得解；（3）先证明再证明，即得证.【详解】当时，要证，只需证明.令，则.设，.当时，在上，为单调递减函数，此时，所以原不等式成立.，当时，当时，.可得在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，所以.当时，不合题意；时，若，此时至多有一个零点；当时，所以在上有唯一的零点.又因为当时，由（1）得，由得，取满足且，则，所以在上有唯一的零点，综上.（3）由题得因为，所以由（1）得当时，所以，所以因为所以所以，所以，同理，所以，所以【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第（3）问，关键一，是能灵活运用第（1）问的结论；（2）关键二，是能证明.26已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，对于任意，证明：.【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，再按的正负分类讨论，分区间确定的正负情况；（2）当时，不等式变形为二元的对数式与齐二次分式形式，故采取整体元构造函数法，令，构造新函数，求导研究单调性，证明即可.【详解】解：（1）的定义域为，且，则，当时，此时在上单调递增，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增，此时在上单调递减.综上可知：当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是.（2）由，由于，所以.设，故：，令，则，由于，故，则在上单调递增，故，即：所证不等式成立.【点睛】多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题.根据变量间的关系消元或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法.27（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，（），求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；（2）由题可得，是方程的两个不相等的正实根，可得，构造函数（），利用导数求出的最大值即可.【详解】解：（1）当时，则，则又，曲线在处的切线方程为，即（2）（），依题意知，是方程的两个不相等的正实根，即，是方程的两个不相等的正实根，解之得令（），则，在上单调递增，【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是得出，是方程的两个不相等的正实根，以及.28讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）对函数求导得，再对分三种情况讨论即、；（2）构造函数，利用导数研究的单调性，首先求得在上单调递增，故，再对进行两种情况的讨论，即和，从而证得结论；【详解】（1），.若，则恒成立，故在上单调递增.若，令，得.0极大值若，则恒成立，故在上单调递减.综上所述，若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减；若，在上单调递减.（2）令，故，所以，令，下面证明，其中.令，则.所以在上单调递增，故，所以当时，.所以，所以在上单调递增，故.若，即，则，所以在上单调递增，所以对恒成立，所以符合题意.若，即，此时，且据及可得，故，所以.又的图像在上不间断，所以存在，使得，且当时，在上单调递减，所以，其中，与题意矛盾，所以不符题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】利用导数研究含参函数的单调性，注意讨论的不重不漏；根据不等式恒成立求参数的取值范围，注意先猜后证、反证法的综合应用.29已知函数，（1）若函数在处取极小值，求实数的值；（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的值【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）先根据极值点对应的导数值为零求解出的可取值，然后检验在不同的取值下在处是否取极小值，由此确定出的值；（1）先将问题转化为“时，”，再通过换元将问题转化为“恒成立”，然后构造函数，采用分类讨论的方法分析的最小值与的关系，由此求解出的值.【详解】（1）因为，所以，因为在处取极小值，所以，所以，所以或，当时，单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以在处取极小值，符合题意；当时，单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以在处取极小值，符合题意；综上可知：或；（2）当时，又因为时，所以时，所以时，令，因为为上的增函数，且，所以的值域为，所以，故问题转化为“恒成立”，不妨设，所以，当时，所以在上单调递增，且，所以当时，这与题意不符；当时，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，所以，记，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，又因为，即，所以.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.30当时，求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，从而可求切线方程.（2）对a分类讨论判断函数单调性，从而可得极值点个数.（3）对a分类讨论，结合（2）问的单调性及放缩法可求的取值范围.【详解】解：（1）当时，.又，所以.所以曲线在点处的切线方程是，即.（2）因为，所以.1.当时，有，令，得.当变化时，和的变化情况如下：00极小值所以当时，函数只有一个极值点.2.当时，令，得，.当时，.当变化时，和的变化情况如下：000极大值极小值所以当时，函数有两个极值点.当时，恒成立，所以在上单调递增.所以当时，函数无极值点.当时，.当变化时，和的变化情况如下：000极大值极小值所以当时，函数有两个极值点.综上，当时，函数有一个极值点，当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点.（3）1.若，由（2）可知，在内单调递减，在内单调递增，所以.所以符合题意.2.若，当时，因为，所以.又因为，所以不恒成立.所以不符合题意.综上，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：（2）问解题关键是当时需讨论两根与的大小关系；（3）问解题关键是利用（2）问所得单调性进行分析，知时恒成立，而时，利用放缩法得，所以不恒成立.31求函数的单调区间；（2）设关于的不等式对任意恒成立时的最大值为，其中求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求导函数，判断导函数的符号，确定原函数单调区间;（2）变量分离，构造新函数并求导，然后分类讨论得解.【详解】解：（1）当时，则在时为减函数当时，令，解得，当时，时，所以在为减函数，为增函数.（2）因为的不等式对恒成立，所以，对恒成立，令，即，令，即，所以在上递增；当，即时，因为，所以，当，即，所以在上递增，所以，故；当即时，因为，即，所以在上递减，所以，故；当，即时，因为在上递增，所以存在唯一实数，使得，即，则当时，即；当时，即，故在上单减，上单增，所以，所以，设，则，所以在上递增，所以.综上所述，.【点睛】方法点睛：不等式恒成立确定参数范围常用方法：变量分离，构造函数；对所构造函数求导；构造函数求导后仍不能判断符号，可设其分子再得新函数，再二次求导讨论.32已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）当时，求函数的极值点.【答案】（1）；（2）极大值点是，极小值点是【分析】（1）在上，利用复合函数单调性判断单调性即可求得a的范围；（2）对x分类讨论去绝对值，写出函数的解析式，由导数判断函数单调区间，从而根据极值点的定义求得极值.【详解】（1）函数，由复合函数单调性知，在时，单调递增，且，则函数在上单减，故若使函数在区间上单调递增，只需即可.（2），则，且，故或，单增；， 递减；则函数在处取得极大值；在处取得极小值.综上，极大值点是，极小值点是【点睛】方法点睛：简单的复合函数，可以直接判断单调性，复杂函数借助导数判断单调性，并求得极值.33已知函数（1）若函数（其中是的导函数）在上单调递增，求的取值范围；（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出、，由已知得出对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围；（2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1），则，在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立，故的取值范围为；（2）当时，因为关于的不等式在上恒成立，即，可得，设，则，由的导数为，可得时，函数递增，当时，函数递减，则，即，当时，则在递增，可得，则，即的取值范围是【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.34已知函数，其中.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若恒成立，求的范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)求出的导函数和它在1处的导数值，写出切点坐标，再由点斜式求出切线方程；(2)求得，令，求得，分、和讨论，通过单调性得函数的最值或极值，并结合不等式，即可求解.【详解】（1）的定义域是，由，得，切线斜率为0，切点为(1，0)，则函数在处的切线方程为；（2），令，则，若，则在恒成立，在上单调递增，而，即；若，令，解得：，当时，当时，在(0，a)上单调递减，在(a，+)上单调递增，若，故，从而当时，有，有，在(0，1)上递减，在(1，+)上递增，故，时，令，则(当且仅当a=1时取“=”)，所以在上递减，即a=1时，从而时，恒成立；若，又，令，在(1，+)上递增，故存在，使，或时，时，当时，的解为或，在、上都单调递增，的解为或， 在、上都单调递减，由得，不合题意，综上：当时，在上恒成立.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立，求参数的取值范围：(1)分离参数，转化为函数最值问题；(2)对参数进行分类讨论，借助求导讨论单调性及二次求导讨论导函数值正负，转化为函数极值或最值问题解决.35若，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设，根据函数的单调性证明结论成立；（2）通过讨论的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定的取值范围即可【详解】（1）由题意可设，有，所以在（0，1）单减，所以，即，设，则有，单调递增，得，所以得证；（2）由（1）可知时，成立，则当时，设，则，单调递增，则，若，单调递减，则有，此时不符合题意；若，所以有唯一零点，可记为，则，此时单调递减，有，则不符合题意；综上可知，即的取值范围为.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理36已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【分析】（1）求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果；（2），利用导数求出的最小值大于即可得证明不等式成立.【详解】（1），当时，在R上单调递减；当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增综上所述：当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为.（2）证明：当时，令，令，因为恒成立，所以在R上单调递增，由零点存在性定理可得存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，由二次函数性质可得，所以，即，得证37讨论函数的单调性；（2）当时，设函数有最小值，求的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求导，令，根据，分， 求解；（2）求导，设，根据（1）知，在区间单调递增，结合零点存在定理，得到在存在唯一，使得，即，从而得到求解.【详解】（1）函数定义域为，令，则，当时，即且不恒为零，故单调递增区间为和当时，方程的两根为：，由于，.故.因此当时，单调递增.当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，综上，当时，在区间，单调递增；当时，在区间单调递增，在区间，单调递减；在区间单调递增.（2）由设，由（1）知，时，在单调递增，故在区间单调递增，由于，故在存在唯一，使，.又当时，即，单调递减，当时，即，单调递增，故时，又设，故，则在区间上单调递增，故，即.【点睛】方法点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到38为单调减函数，的导函数的最大值不小于0（1）求的值；（2）若，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由在上恒成立求得的一个范围，再由的最大值不小于0又得的一个范围，两者结合可得值（2）由（1）知，因此中一个不大于1，另一个不小于1，不妨设，构造函数证明它在上，利用已知式可得与的不等关系，证得结论成立【详解】（1）因为为单调减函数，所以恒成立，所以在上恒成立由于当时，所以，解得因为，当时，的最大值为，由题意，所以综上，（2）由（1）知，所以因为，为单调减函数，可设令，所以，所以在上单调递减，所以，所以，因为，所以因为为单调减函数，所以，即【点睛】关键点点睛：本题考查导数与单调性的关系，用导数研究函数的最值，证明不等式对于双变量不等式，解题关键是通过变换建立它们的关系，或通过它们的联系进行消元以变量变成一元函数本题关键是通过构造新函数，证明时，然后根据已知等式得出不等式关系，再同函数单调性得出结论39求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）将要证明的不等式转化为证明，通过构造函数法，结合导数证得结论成立.（3）对分成两种情况进行分类讨论，结合导数求得的取值范围.【详解】（1）函数定义域为，且，故切点为又所以在处的切线方程为，即（2）要证，只需证明，又，故只需证明成立，也即证明成立.构造函数则，成立所以在递增，从而成立所以在递增，从而，即，故成立（3）由时，恒成立，即（*）当时，（*）显然成立；当时，（*）设，则，所以在递增，（*）可化为，则恒成立因为，所以，又，从而，综上所述，实数的取值范围是【点睛】要证明不等式成立，可将不等式转化为的形式，然后利用导数证得从而证得不等式成立.40若曲线与有公共点，且在公共点处有相同的切线，则称与相切，已知与相切（1）若，求a的值；（2）对任意，是否存在实数，使得曲线与相切？请说明理由【答案】；（2）证明见解析【分析】（1）设公共点为，结合该点处两曲线的切线斜率相等可求得（2）设切点为，由，消元后得出与的方程，与的方程，在与的方程中证明对任意，方程都有正数解后证明对于这个解经，有即可【详解】（1）设公共点为，所以，消去得，记，显然在上是增函数，而，因此只有一个解，所以（2）假设对任意，存在实数，使得曲线与相切，设切点为，所以，由得，消去得，消去得，在时，下面证明对任意，方程有解，设，函数在定义域上是减函数，时，又函数图象过点，在坐标系中作出函数的图象，再作直线，如图，它们在第一象限显然有一个交点，所以对任意的，方程有正数解综上，任意，是否存在实数，使得曲线与相切【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，解题关键是把两函数相切，转化为方程有解问题即设切点为，相切转化为方程组有解通过解的分析得出参数范围41讨论函数的单调性，并证明当时，；（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域【答案】（1）函数在、上均为增函数，证明见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域，求得，进而可判断出函数的单调性，由得出，由此可证得所证不等式成立；（2）利用导数分析函数的单调性与极值点，可得出函数的极小值为，其中满足，求出的取值范围，化简得出，构造函数，利用导数求出函数在区间上的值域，即可得解.【详解】（1）函数的定义域为，所以，函数在、上均为增函数，当时，即，整理可得；（2）对函数求导得，设，由（1）可知，函数在上单调递增，又，所以存在唯一的实数使得，当时，则，此时单调递减，当时，则，此时单调递增，所以，因为，所以，由（1）可知，函数在上单调递增，则，即，因为，所以，令，当时，所以，函数在上单调递增，所以，即.因此，的取值范围是.【点睛】方法点睛：方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.42求实数a，b的值；（）求函数在上的最值【答案】（）；（）的最大值为，最小值为.【分析】（）由导数的几何意义以及切点在切线上也在曲线上联立方程可解.（）利用导数求出单调区间，再根据单调性可求最值.【详解】解：（），由题意，有，解得.（）由（）知，令，得；令，得.在上单调递增，在上单调递减.，.43（2020巴楚县第一中学高三二模）已知函数，其中，为常数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，证明：对任意的正整数，当时，有【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，讨论函数单调性，从而可求极值；（2）当，时，对任意的正整数，恒有，所以只需证明【详解】解：（1）函数的定义域为，当时，所以当时，由得，此时当时，单调递减；当，时，单调递增当时，恒成立，所以无极值综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为当时，无极值（2）证明：当时，当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明令，则，当时，故在，上单调递增，因此当时，（2），即成立故当时，有，即【点睛】关键点点睛：（1）问解题的关键是求出导函数后，对和分类讨论函数单调性；（2）问解题的关键是利用放缩法加强不等式为只需证明即可.44讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）先求函数定义域，在求导得，再据导数符号与函数单调性的关系即可得答案；（2）根据题意将问题转化为恒成立问题，进而令，求函数的范围即可得答案.【详解】解：（1）的定义域为，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减故的单调递增区间为，单调递减区间为（2），即恒成立，即恒成立，令，则，令，所以在上单调递增，即，因此，即在上单调递增，于是故的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为恒成立，进而令，求函数的范围问题.45试讨论的单调性；（2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和单调递减区间；（2）构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，对任意的，此时函数在上单调递增，当时，由，可得，由，可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.因此，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）令，又，要使得对任意的恒成立.当时，对任意的恒成立，在上单调递减，所以要使对任意的恒成立的充要条件是，即，解得，故；当时，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，虽然，但当时，所以，对任意的不恒成立，不合乎题意； 当时，对任意的恒成立，则在上单调递增，虽然，但当时，所以，对任意的不恒成立，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.
展开阅读全文