九年级切线长定理

直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离公共点个数公共点个数d与与r的关系的关系公共点名称公共点名称直线名称直线名称2个1个无drdrdr交点切点割线切线有且仅有有且仅有注意：注意：“”，即即“等价于等价于”熟记.Ol切点A切线的判定定理切线的判定定理 经过半径的外端点且经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线垂直于这条半径的直线是圆的切线是圆的切线推理推理 格式格式 OAlL是是 O 的切线的切线如何判断一条直线是否是圆的切线？如何判断一条直线是否是圆的切线？1、经过半径的外端点（或、经过半径的外端点（或 d=r）2、垂直于这条半径、垂直于这条半径(或或90度度)。例例1OABC直线直线AB经过圆经过圆O上的上的C，并且，并且OA=OB，AC=BC，求证：直线求证：直线AB是圆是圆O 的切线的切线ABCO练习练习1AB=AC，C=45，以以AB为直径作为直径作 O，求证：求证：AC是是 O的切线的切线.Ol切点A切线的性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于经过圆的切线垂直于经过切点的半径切点的半径推理推理 格式格式 L是是 O 的切线的切线OAlABOCD练习练习2AC是直径，是直径，AB和和CD是切线，判断是切线，判断AB和和CD的位置关系的位置关系ABCDOE已知已知AB是直径，是直径，BC是切线，是切线，AC交圆交圆O于点于点D，点，点E是是BC的中点。的中点。求证：求证：DE是圆是圆O 的切线的切线1234如图，在气象站台如图，在气象站台A的正西方向的的正西方向的B处有一处有一台风中心，该台风中心以每小时台风中心，该台风中心以每小时24km的速的速度沿北偏东度沿北偏东600的的BD方向移动，在距离台方向移动，在距离台风中心风中心100km内的地方都要受到其影响。内的地方都要受到其影响。且且 台风中心在移动过程中，气象台台风中心在移动过程中，气象台A是否会是否会有影响？有影响？?北?60?o?东?D?C?B?A台风中心在移动过台风中心在移动过程中，气象台将受台程中，气象台将受台风的影响，求台风影风的影响，求台风影响气象台的时间会持响气象台的时间会持续多长？续多长？证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。若若直线过圆上某一点直线过圆上某一点，则，则连结圆心和公共点连结圆心和公共点，再再证明证明直线与半径直线与半径垂直垂直若直线与圆的若直线与圆的公共点没有确定公共点没有确定，则，则过圆心向直过圆心向直线作垂线线作垂线，再，再证明证明圆心到直线的圆心到直线的距离等于半径距离等于半径。直线AB相切。直线AB相切。圆与圆与半径作小圆，求证：小半径作小圆，求证：小以O为圆心，4厘米为以O为圆心，4厘米为厘米，厘米，3 3内弦AB8内弦AB8O的半径为8厘米，圆O的半径为8厘米，圆如图，如图，OBA练兵切线判定与性质典型例题切线判定与性质典型例题 已知：已知：AB是是 O的直径，的直径，BC是是 O的切线，切点为的切线，切点为B，OC平行于弦平行于弦AD。求证：求证：DC是是 O的切线。的切线。体会规律 如图，在以如图，在以O O为圆心的两个为圆心的两个同心圆中，大圆的弦同心圆中，大圆的弦ABAB和和CDCD相等，且相等，且ABAB与小圆相切于点与小圆相切于点E E，求证：，求证：CDCD与小圆相切。与小圆相切。DCOBAFDCBAEO已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，以，以AB为直径的为直径的 O交于点交于点D，过点，过点D作作DEAC于点于点E求证：求证：DE是是 O的切线的切线DECAOBBDCEAO如图所示，如图所示，ABC是直角三角形，是直角三角形，ABC90，以，以AB为直径为直径的的 O交交AC于点于点E，点，点D是是BC边的中点，连结边的中点，连结DE（1）求证：）求证：DE与与 O相切；相切；（2）若的半径为）若的半径为 ，DE=3，求，求AE 3在在RtRtABCABC中，中，BC=9BC=9，CA=12CA=12，ABCABC的平分线的平分线BDBD交交ACAC与点与点D D，DEDBDEDB交交ABAB于点于点E E1 1）设）设O O是是BDEBDE的外接圆，的外接圆，求证求证:AC:AC是是O O的切线的切线;（2）设）设 O交交BC于点于点F，连结连结EF，求的值，求的值切线的性质切线的性质重点内容 切线判定：切线判定：直线直线l l：过半径外端垂直于半径：过半径外端垂直于半径 切线性质：切线性质：切线切线l l，A A为切点：为切点：OAlOAl理解记忆类比猜想切线的性质定理：圆的切线垂切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。直于经过切点的半径。推论：推论：1 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点2 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线性质定理的推广切线性质定理的推广 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推推1 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推推2 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心浓缩提炼你能用一个定理把圆的切你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论线的性质及它的两个推论概括出来吗？概括出来吗？如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个就可以推出第三个：（：（1 1）垂直于切线；（）垂直于切线；（2 2）过切点；（过切点；（3 3）过圆心。）过圆心。A B C D 5823,13,5954,31,如图，如图，O的半径为的半径为2，点，点A的坐标的坐标为（为（2，），直线），直线AB为为 O的切的切线，线，B为切点则为切点则B点的坐标为点的坐标为()32xyO11BAD24.2.2直线与圆的位置关系（直线与圆的位置关系（3）切线长定理切线长定理复习复习1、切线的判定定理、切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。线是圆的切线。2、切线的性质归纳、切线的性质归纳如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件。这三个条件是：么它一定满足第三个条件。这三个条件是：(1)过圆心；过圆心；(2)过切点；过切点；(3)垂直于切线。垂直于切线。BOABOA知二求一知二求一OPAB经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。这点到圆的切线长。切线长概念切线长概念如右图，线段如右图，线段PA，PB叫做点叫做点P到到 O的的切线长，对吗？切线长，对吗？想一想：想一想：切线和切线长是什么关系？切线和切线长是什么关系？活活 动动 二二如图，纸上有一如图，纸上有一 O，PA为为 O的一条切线，的一条切线，沿着直线沿着直线PO对折，设圆上与点对折，设圆上与点A重合的点为重合的点为B。利用图形轴对称性解释利用图形轴对称性解释3、PA、PB有何关系？有何关系？4、APO和和 BPO有何关系？有何关系？OPAOPABPA=PBAPO=BPOOPAB推理论证推理论证已知：从已知：从 O外的一点外的一点P引两条切线引两条切线PA，PB，切点分别是，切点分别是A、B.求证：求证：AP=BP，OPA=OPB证明：连接证明：连接OA，OBPA，PB与与 O相切，相切，点点A，B是切点是切点OAPA，OBPB 即即 OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OPRtAOP RtBOP(HL)PA=PB OPA=OPB切线长定理切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的们的切线长相等切线长相等，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线平平分两条切线的夹角分两条切线的夹角。PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PBOPA=OPB符号语言符号语言:归纳归纳：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提供新的方法提供新的方法BOPA应用新知应用新知1、判断、判断（1）过一点可以做圆的两条切线。（）过一点可以做圆的两条切线。（）（2）切线长就是切线的长。（）切线长就是切线的长。（）2、已知、已知PA、PB与与 O相切相切于点于点A、B，O的半径为的半径为2（1）若四边形）若四边形OAPB的周的周长为长为10，则，则PA=。（2）若）若APB=60，则则PA=。AOB=OPAB33222304已知：已知：PAPA、PBPB分别与分别与 O切于点切于点AB，连接，连接AB交交OP于点于点M，那么，那么OPOP除了平分除了平分APBAPB以外，还有什么作用？以外，还有什么作用？请说明理由。请说明理由。(1)OP垂直平分垂直平分AB思考思考APOBM(3)OP平分平分AOB即即 OPAB，AM=BM即即 AOP=BOP(2)OP平分平分ABAMBM即即 =切线长定理为证明切线长定理为证明线段相线段相等，角相等，弧相等，垂等，角相等，弧相等，垂直关系直关系提供了理论依据。提供了理论依据。（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连接圆心和切点）分别连接圆心和切点在解决有关圆的切线长在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们问题时，往往需要我们构建基本图形。构建基本图形。归纳：作辅助线方法归纳：作辅助线方法APOBM练习：练习：PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，为切点，直线直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。ABPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP（3）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB 例：如图，例：如图，PAPA、PBPB分别切分别切 O O于于A A、B B，CDCD与与O O切于点切于点E E，分别交，分别交PAPA，PBPB于于C C、D D，已知，已知PA=7cmPA=7cm，求，求PCDPCD的周长的周长C OPBDAE证明：证明：PA PA、DCDC为为OO的切线的切线 DA=DE DA=DE （切线长定理切线长定理）同理可证同理可证 CE=CBCE=CB，PA=PBPA=PB又又C CPCDPCD=PD+PC+CD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PD+PC+DE+CE =PA+PB =PA+PB =7+7 =7+7 =14 cm =14 cm 例题例题证明：证明：AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC补充结论：圆的外切四边形的两组对边之和相等补充结论：圆的外切四边形的两组对边之和相等DLMNABCOP练习：练习：如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和和圆圆OO分别相切于点分别相切于点L L、M M、N N、P P求证：求证：AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CDAL=APAL=AP，LB=MB,LB=MB,NC=MC NC=MC，DN=DPDN=DP四边形四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆O O分别相切于点分别相切于点L L、M M、N N、P P课堂小结课堂小结1、切线长概念、切线长概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做线段的长，叫做这点到圆的切线长。这点到圆的切线长。2、切线长定理、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相切线长相等等，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角平分两条切线的夹角。3 3、切线长定理为证明、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，线段相等，角相等，弧相等，垂直关系垂直关系提供了理论依据。提供了理论依据。4、圆的外切四边形的两组对边的和相等、圆的外切四边形的两组对边的和相等总结总结问题问题1 1、经过平面上一个已知点，作已知、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？圆的切线会有怎样的情形？OOOP?PPAB?O。ABP思考思考：假设切线：假设切线PAPA已作出，已作出，A A为切点，为切点，则则OAP=90OAP=90,连接连接OPOP，可知，可知A A在怎样的在怎样的圆上圆上?在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的段的长叫做这点到圆的切线长切线长OPAB切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长。间的线段的长。若从若从OO外的一点外的一点引两条切线引两条切线PAPA，PBPB，切，切点分别是点分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么，你能发现什么结论？并证明你所发现结论？并证明你所发现的结论。的结论。APO。BPA=PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL)PA=PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。线平分两条切线的夹角。切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个APO。BM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你你又能得出什么新的结又能得出什么新的结论论?并给出证明并给出证明.OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OP垂直平分垂直平分ABAPO。B 若延长若延长POPO交交OO于点于点C C，连结，连结CACA、CBCB，你又能得出什，你又能得出什么新的结论么新的结论?并给出并给出证明证明.CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC例例.PA.PA、PBPB是是OO的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（5）若）若PA=4、PD=2，求半径，求半径OA（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC。PBAO（3 3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2 2）连结两切点）连结两切点（1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。反思：在解决有关反思：在解决有关圆的切线长问题时，圆的切线长问题时，往往需要我们构建往往需要我们构建基本图形。基本图形。1.1.切线长定理切线长定理 从从圆外一点引圆的两圆外一点引圆的两条切线，它们的切条切线，它们的切线长相等，圆心和线长相等，圆心和这一点的连线平分这一点的连线平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。小小 结：结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。2.2.圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等oooo外切圆圆心：外切圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外切圆的半径：外切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个定点的距离。角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。A AA AB BB BC CC C分析题目已知：如图分析题目已知：如图,ABCABC的内切圆的内切圆OO与与BC BC、CACA、AB AB 分别相交于点分别相交于点D D、E E、F F ，且，且ABAB9 9厘米，厘米，BC BC 1414厘米厘米,CA,CA 1313厘米厘米,求求AFAF、BDBD、CECE的长的长。AECDBFO 例例.如图所示如图所示PAPA、PBPB分别切圆分别切圆O O于于A A、B B，并与圆并与圆O O的切线分别相交于的切线分别相交于C C、D D，已知已知PA=7cmPA=7cm，(1)(1)求求PCDPCD的周长的周长(2)(2)如果如果P=46P=46,求求CODCOD的度数的度数C OPBDAEO过过OO外一点作外一点作OO的切线的切线OPABO?例例.如图，如图，ABCABC中中,C=90,C=90,它的它的内切圆内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切相切于点于点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求OO的半径的半径r.r.OEBDCAF1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4.4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。分析分析 试说明圆的外切四边形的两组试说明圆的外切四边形的两组对边的和相等对边的和相等?OABCDEF?OABCDE选做题：选做题：如图，如图，ABAB是是OO的直径，的直径，ADAD、DCDC、BCBC是切线，点是切线，点A A、E E、B B为切点，若为切点，若BC=9BC=9，AD=4.AD=4.求求OEOE的长的长.BDEFOCA如图，如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,r,ABCABC的周长为的周长为l,l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.?解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。abc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababcABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。?解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2 2）如图所示，设与）如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与相切的最大圆与BCBC、ACAC的切的切点分别为点分别为B B、D,D,连结连结OBOB、OD,OD,则四边形则四边形BODCBODC为正方形。为正方形。ABODCOBOBBCBC3 3半径半径r r的取值范围为的取值范围为0 0r3r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。EF HG同学们要好好学习老师同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！期盼你们快快进步！