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第50讲随机事件的概率考纲要求考情分析命题趋势1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性以及概率的意义以及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式2017山东卷，162016全国卷，182016天津卷，2随机事件的概率主要考查频率与概率的关系，结合概率的性质考查互斥事件和对立事件的概率分值：5分1事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，_可能发生也可能不发生_的事件叫做相对于条件S的随机事件2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B_包含_事件A(或称事件A包含于事件B)_BA_(或AB)相等关系若BA且AB_AB_并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的_并事件_(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当_事件A发生_且_事件B发生_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB，P(AB)P(A)P(B)13频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)_为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的_频率fn(A)_稳定在某个常数上，把这个_常数_记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_0P(A)1_.(2)必然事件的概率P(E)_1_.(3)不可能事件的概率P(F)_0_.(4)互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_P(A)P(B)_；若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)_1P(B)_.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(3)如果某种彩票的中奖概率为，那么买1 000张这种彩票一定能中奖()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(5)两个事件对立时一定互斥，但两个事件互斥时这两个事件未必对立()2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(D)A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶解析事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥3我国古代数学名著数书九章中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(B)A134石B169石C338石D1 365石解析样品中米内夹谷的比为，所以这批米内夹谷为1 534169(石)4从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(B)A0.2B0.3C0.7D0.8解析因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3.故选B.5从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(AB)_(结果用最简分数表示)解析P(A)，P(B)，且A与B是互斥事件，P(AB)P(A)P(B).一随机事件的关系对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而判断所给事件的关系【例1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的点数不大于3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则(D)AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件解析根据互斥与对立的定义作答，AB出现点数1或3，事件A，B不互斥更不对立；BC，BC(为必然事件)，故事件B，C是对立事件二随机事件的频率与概率频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率【例2】 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下.日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率解析(1)在容量为30的样本中不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日、2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.三互斥事件、对立事件的概率求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便【例3】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下表所示.排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)求至多2人排队等候的概率；(2)求至少3人排队等候的概率解析记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，故P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.1在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(D)AAB与D是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CBD与AC是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件解析由于事件A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其他3个事件的和事件必然为对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件2对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是_A与B，A与C，B与C，B与D_，互为对立事件的是_B与D_.解析设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB，AC，BC，BD，故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而BD，BDI，故B与D互为对立事件3某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下表所示.赔付金额/元01 0002 0003 0004 000车辆数/辆500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解析(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.4某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解析(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”. 将频率视为概率得P(A1)，P(A2)，P(A3).因为AA1A2A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.错因分析：忽视对立事件与互斥事件的区别与联系是致错的主要原因对立事件和互斥事件都是不可能同时发生的事件，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生，所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件，反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件【例1】 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件A“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球至少有一个白球”中的哪几个()ABCD解析从口袋内一次取出2个球，这个试验的所有结果有(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，共6种结果，当事件A“两球都为白球”发生时，不可能发生，故为互斥事件，且A不发生时，不一定发生，不一定发生，故非对立事件，而A发生时，可以发生，故不是互斥事件故选A答案A【跟踪训练1】 从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”解析从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：3件全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”，“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件(3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是次品”2种情况，“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件课时达标第50讲解密考纲考查随机事件、频率、概率等概念，考查概率的概念、性质和加法公式，常以选择题、填空题的形式出现一、选择题1每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确”这句话(B)A正确 B错误C不一定D无法解释解析解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的经过大量的试验，其结果呈随机性，即选择正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大同时也有可能都选错，亦或有2题、4题或12道题都选择正确故选B.2设事件A，B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，则A，B之间的关系为(A)A两个任意事件B互斥事件C非互斥事件D对立事件解析虽然P(A)P(B)P(AB)，但A与B可能有交集，所以A，B不一定是互斥事件，所以A，B之间的关系无法确定故选A34位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D)ABCD解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P.故选D.4口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(D)A0.45B0.67C0.64D0.32解析摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P10.450.230.32.5已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为(C)A，B，C，D，解析“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1.设“甲不输”为事件A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A).6某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是(C)A恰有2名男生与恰有4名男生B至少有3名男生与全是男生C至少有1名男生与全是女生D至少有1名男生与至少有1名女生解析“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项故选C二、填空题7一个盒子中有10个大小相同的球，分别标有1,2,3，10，从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是_.解析取2号、4号、6号、8号、10号球是互斥事件，因概率均为，故所求概率P.8某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是_，他至多参加2个小组的概率为_.解析随机选一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)，恰好参加3个小组的概率P(B)，则他至少参加2个小组的概率为P(A)P(B)，至多参加2个小组的概率为1P(B)1.92018年平昌冬奥会的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为，通晓中文和日语的概率为.若通晓中文和韩语的人数不超过3人，则这组志愿者的人数为_10_.解析设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，zN*，则解得所以这组志愿者的人数为53210.三、解答题10一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率解析方法一记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).方法二 (1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因为A1A2A3的对立事件为A4，所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)1P(A4)1.11三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A，B，C能答对题目的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)，如果将三个臭皮匠A，B，C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解析如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目彼此互斥(即他们能答对的题目不重复)，则P(ABC)P(A)P(B)P(C)，又P(D)，P(ABC)P(D)三个臭皮匠为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮12如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下表所示.所用时间/分钟102020303040405050 60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的人数的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径？解析(1)由已知共调查了 100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率如下表所示.所用时间/分钟10202030304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示事件甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示事件乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5.P(A1)P(A2)，甲应选择L1.同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B1)P(B2)，乙应选择L2.
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