专题十七相交线与平行线

相交线与平行线（1）一、对顶角与邻补角：1、基本概念：如图，直线AB与CD相交于O点，则图中形成了四个角，分别是：4、2、Z3 Z4,我们把：11与 d 勇与巴耳叫做对顶角；Z13与巴4, 2与3, Z1与叫做邻补角；（一）邻补角：有特殊位置关系的两个互补的角，满足两个本质特征：（1）； （2） （二）对顶角：有特殊位置关系的两个相等的角，满足的本质特征： （三）性质：邻补角互补，对顶角相等；2、典型例题与练习：例1、（1）下列语句中，关于对顶角的定义正确的是（）A、有公共顶点的两个角 B、有公共顶点且相等的两个角 C、一个角的两边分别是另一 个角的两边的延长线D、一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线（2）邻补角是（）A、和为180的两个角 B、有公共顶点且互补的两个角C、有一条公共边且相等的两个角D、有公共顶点且有一条公共边另一边互为反向延长线的两个角A.1个B.2个 C.3个 D.4个（5）如图，直线AB、CD相交于点0，若匕BOC比匕AOC的2倍多33，则ZAOC=例2、如图，写出所有的对顶角和邻补角;点拨：探究实践，寻找规律；例3,如图，直线AB,C相交于点O, OE平分ZBOD，OF平分ZCOE，Z2： Z1=4： 1，求ZAOFo点拨：利用邻补角和对顶角转化。例 4,如图，OD 平分ZAOB,ZEOC=2ZBOE, ZEOD=72 , 点拨：利用方程思想求解。求/EOC的度数。BEDA OC练习:2、如图，三条直线相交于同一点O,若Z1 = 34 30 45，则Z2+Z3=；3、如图，已知直线a、b相交，（1）若匕1 = 2/2,则匕3=, Z4=。（2）若/2+/4=90，则/3=；/1=；（3）若Z2=2Z1+33，则/2=；4、如图，直线 AB、CD 相交于点 O，/BOE=/EOD，且/AOE=10，则/AOC=；5、如图，直线 AB、CD、EF相交于同一点 O,且/BOC= | ZAOC,ZDOF= | /AOD,那么/FOC=度；第5题6、如图，直线CD，EF相交于O，OAOB，OC平分/AOF，/BOE=2/AOE，求/BOD的度数一、垂线：1、基本概念：（一）垂线的画法探究：，条;1、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出.2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出 条；3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出 条；注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。（二）垂线的性质：A,B,C,，其中PO l （我们称性质1：过一点有且只有_条直线与已知直线垂直； 探究：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O,PO为点P到直线l的垂线段）。比较线段PO、PA、PB、PC的长短，这些线段中，哪一条最短？性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短；简单说成：垂线段最 短；(三) 点到直线的距离2、典型例题与练习：例5、(1)如图，直线AB、CD相交于点O，下列条件中，不能说明ABXCD的是()A、ZAOD = 900 B、CZBOC+ZBOD=180o(2)下列说法正确的有(两条直线相交成四个角，ZAOC=ZBOCd.zaoc+zbod=1800)A,1个 B 2个 C 3个如果有两个角相等，那么这两条直线垂直;MN 互为邻补角的角平分线互相垂直；过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;直线外一点到这条直线的垂线的长叫做这点到这条直线的距离。(3) 如图，已知ONLl, OMl,所以OM与ON重合，其理由是().A.过两点只有一条直线B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C.垂线段最短D.过一点只能作一条垂线(4) 在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出(5)如图，/BAC = 90。,AD 1 BC,垂足为D,则下列结论:(1) AB与AC互相垂直;(2) AD与AC互相垂直;(3) 点C到AB的垂线段是线段AB；(4) 点A到BC的距离是线段AD;B(5) 线段AB的长度是点B到AC的距离；(6) 线段AB是点B到AC的距离。其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个例6、(1)如图，直线AB、CD相交于点0, OECD，OFAB，图中与匕2互补的角共有（）A.0 个 B. 1 个 C.2 个 D. 3 个(2)如图，直线AB、CD交于点0，0F平分ZDOB，0EX0F，若 ZAOC=1OOo,那么ZD0E的度数是()A.40。B.42。C. 48oD. 5OoABD（3）如图，OM平分ZAOC, ON平分ZBOC,ZMON=45，试判断线段OM与线段ON的位置关 系，并证明之；练习: 7、两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，不能判定这两条直线垂直的条件是 （）A.两对对顶角分别相等B、有一对对顶角互补C、有一对邻补角相等D、有三个角 相等8、下列说法中正确的是（）A.有且只有一条直线垂直于已知直线。B.从直线外一点到 这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C.互相垂直的两条直线一定相交D.直 线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线 c的距离是3cm。9、如图36所示，POLAB，垂足为O,OCPB，垂足为C，则下列关系中错误的是10、如图，P为直线L外一点，A，B，C在直线L上，且PBL，垂足为B，ZAPC = 900，则错误的语句是（ ）A、线段PB的长度叫做点P到直线L的距离；B、PA、PB、PC三 条线段中，PB最短；C、线段AC的长等于点P到直线L的距离；D、线段PA的长叫做点A 到直线PC的距离；11、如图，直线AB、CD相交于点O,若ZEOD=40，ZBOC=130，那么射线OE与直线AB 的位置关系是；12、已知：点P为直线L外一点，点A、B、C在直线L上，PA=4cm，PB=3cm，PC=2 cm，则点P到直线L的距离为（）A、2 cm B、小于2 cm C、不大于2 cm D、大于2 cm13、如图，直线AB,CD相交于O, OE 1 CD, OF 1 AB, ZDOF = 65。,求 ZBOE和ZAOC 的度数。作业: 1、填空题(1) 如果两个角有一条 边，并且它们的另一边互为，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.如果两个角有 顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.(3) 对顶角的重要性质是。(4) 如图，直线AB、CD相交于O点,ZAOE=9G,匕1和匕2叫做 角；匕1和匕4互为 角；匕2和匕3互为 角；匕1和匕3互为 角；匕2和匕4互为 角.若Z1 = 2G，那么Z2=；Z3=ZBOE-Z= - =；Z4=Z-Z1= - =.r（图a）M（图c）（图b）如图，直线AB与CD相交于O点，且ZCOE=9G，贝 与ZBOD互补的角有； 与ZBOD互余的角有； 与ZEOA互余的角有； 若ZBOD=42 17，则匕AOD=；ZEOD=； ZAOE=, 2、按要求画图(1)如图，过A点作CDXMN，过A点作PQXEF于B.3、4、（图a）图中是对顶角的是(（图b）（图c）正确的是()下列语句中，正确的是A.B.如图，已知ZAOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN.3B A O B第（9）题A.相等的角一定是对顶角B.互为补角的两个角不相等C.两边互为反向延长线的两个角是对顶角D.交于一点的三条直线形成3对对顶角5、如图，已知直线a、b相交(1)若匕1=40。，则匕2=_、匕3=_、匕4=_；(2) 若Z1+Z3=100，则匕2=_、匕3=_、匕4=_；(3) 若匕1：匕2=2： 7,则匕2=_、匕3=_、匕4=_；O6、如图，匕1=50,匕2=30,则匕3= .7、如图，直线 AB、CD、EF 相交于 O, 若ZAOC=5ZFOD, ZFQD=20 10，则ZBOE=.8、点到直线的距离是()A.连结此点与直线上任一点的线段B.从这点向直线所作的垂线C.从这点到直线的垂线段D.从这点到直线的垂线段的长度9、如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为( ).(A)3cm (B)小于3cm (C)不大于3cm(D)以上结论都不对10、如图，BCAC，AC = 6，BC = 8，AB=10，则点B到AC的距离是，点A到CB的距离,A、B的距离11、如图点 O 是直线 AB 上的一点，OCLOD，ZAOCZBOD = 20，则ZAOC=.12、已知，如图，直线AB，CD相交于点O, OE平分ZBOD, OF平分ZCOB，ZAOD : ZDOE= 4 : 1，求ZAOF的度数.