用坐标法研究仿射变换.ppt

3 用坐标法研究仿射变换,3.1 仿射变换的变换公式,3.2 变换矩阵的性质,3.3 仿射变换的不动点和特征向量,3.4 保距变换的变换公式,定理 平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为,(4.3),其中系数矩阵A = (aij) 是可逆矩阵.,反之, 如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为(4.3), 且其系数矩阵A = (aij) 是可逆矩阵, 则 f 是仿射(点)变换.,3.1 仿射变换的变换公式,证明: 设 f 是仿射点变换, I: O; e1, e2 是平面 仿射坐标系, 平面上任一点P 在 I 中的坐标为 (x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐标为(x, y).,记 II: f(O); f(e1), f(e2), 根据仿射变换基本定理, 它是仿射坐标系, 且任一点 Q 在 f 下的像f(Q)在 II 中的坐标等于 Q 在 I 中的坐标 (x, y).,设 f(e1), f(e2), f(O) 在 I 中的坐标分别为,(a11, a21), (a12, a22), (b1, b2),于是f(P)在 II 中的坐标为 (x, y).,3.1 仿射变换的变换公式,则 I 到 II 的坐标变换公式为,从而 f(P)的I 坐标(x, y) 和 II 坐标 (x, y) 应满足,而上式右端的(x, y)又可以理解为P 的I 坐标,故上式, 即(4.3)式就是平面的一个仿射点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式, 其系数矩阵A = (aij) 是 I 到 II 的过渡矩阵, 是可逆矩阵.,3.1 仿射变换的变换公式,反之, 如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为(4.3), 且其系数矩阵A = (aij) 是可逆矩阵, 则 f 显然是可逆变换, 其逆变换 f 1 可由下式给出,此外, 设三点A, B, C共线, 且在 I 中的坐标分别为,(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),根据P22. 例1.7, 则有,3.1 仿射变换的变换公式,由假设, 像点 f(A), f(B), f(C) 在 I 中的坐标分别为,(a11x1 + a12y1 + b1, a21x1 + a22y1 + b2),(a11x2 + a12y2 + b1, a21x2 + a22y2 + b2),(a11x3 + a12y3 + b1, a21x3 + a22y3 + b2),因为行列式,1,1,3.1 仿射变换的变换公式,= 0.,根据P22. 例1.7 可知, f(A), f(B), f(C) 共线.,综上可知, f 是仿射(点)变换.,3.1 仿射变换的变换公式,注: 1. 若平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为,其中系数矩阵A = (aij)是可逆矩阵, 则其决定的向量变换在该仿射坐标系中的公式为,A称为变换矩阵.,(4.3),(4.4),3.1 仿射变换的变换公式,2. 仿射变换f 在仿射坐标系I中的变换矩阵就是I 到 f (I)的过渡矩阵, 因此它的两个列向量分别为I的坐标向量e1, e2的像f(e1), f(e2)在I中的坐标.,3. 仿射变换的变换公式和坐标变换公式在形式上完全相同, 但意义完全不同！, 仿射变换的变换公式中, (x, y), (x, y) 是不同 的两个点A及其像点f(A) (或不同的两个向量 u 与f(u) 在同一个坐标系中的坐标;, 而在坐标变换公式中, (x, y), (x, y)是同一个点 (或向量) 在不同坐标系中的坐标.,3.1 仿射变换的变换公式,4. 对仿射向量变换公式的理解:,(1) 若知道向量或它的像向量中任一个坐标, 可由公式求出另一个坐标.,(2) 若能求出任意向量及其像向量之间的关系表达式, 则其矩阵表达式中的矩阵即为f 的变换矩阵.,5. 给定仿射变换 f 在仿射坐标系I 中的变换公式, 若已知某图形 或它的像f( )的方程, 可利用变换公式求出 的像f( ) 或 的方程.,3.1 仿射变换的变换公式,例 1 已知在仿射坐标系 I 中, 仿射变换 f 的点变 换公式为,直线 l 的方程为 3x + y 1 = 0, 求 f(l) 的方程.,解:,方法1. 根据题设变换公式反解得,代入 l 的方程得,3(2x + 3y 16) + (3x + 4y 23) 1 = 0.,整理得 9x 13y + 72 = 0 .,于是 f(l) 的方程为 9x 13y + 72 = 0.,3.1 仿射变换的变换公式,方法2. (待定系数法),设 f(l) 的方程为 Ax + By + C = 0,将题设变换公式代入得到 l 的方程为,A(4x 3y 5) + B(3x 2y + 2) + C = 0,它与 3x + y 1 = 0 都是 l 的方程, 于是,从左式得 A : B = 9 : 13, 右式得 A : C = 1 : 8.,取 A = 9, B = 13, C = 72, 得 f(l) 的方程为,9x 13y + 72 = 0.,3.1 仿射变换的变换公式,方法3.,取 l 上一点 P1(0, 1) 和 l 的方向向量 u(1, 3),根据题设变换公式得 f(P1) 的坐标为 (8, 0),根据题设, 向量变换公式为,得 f(u) 的坐标为 (13, 9), 于是 f(l) 的方程为,即 9x 13y + 72 = 0.,3.1 仿射变换的变换公式,例 2 在仿射坐标系 I 中, 仿射变换 f 把直线 x + y 1 = 0 变为 2x + y 2 = 0, 把直线 x + 2y = 0 变为 x + y + z = 0, 把点 (1, 1) 变为(2, 3) , 求 f 在 I 中的 变换公式.,解:,方法1. (待定系数法),假设所求变换公式为,因为 f 把直线 x + y 1 = 0 变为 2x + y 2 = 0, 即 直线 2x + y 2 = 0 的原像是 x + y 1 = 0, 从而,3.1 仿射变换的变换公式,2(a11x + a12y + b1) + (a21x + a22y + b2) 2 = 0,就是直线 x + y 1 = 0,(2a11+a21) : (2a12+a22) : (2b1+b22) = 1 : 1 : (1),即 2a11 + a21 = 2a12 + a22,2a11 + a21= (2b1 + b2 2),类似地, 由f 把直线 x+2y = 0变为x+y+1= 0 可得到,(a11+a21) : (a12+a22) : (b1+b2+1) = 1 : 2 : 0,即 2 (a11 + a21) = a12 + a22,b1 + b2 +1 = 0,于是,3.1 仿射变换的变换公式,再由f 把点 (1, 1) 变为点 (2, 3) 得到,a11 + a12 + b1 = 2,a21 + a22 + b2 = 3,从上面这6个方程解出,a11= 3, a12 = 1, b1 = 2, a21= 1, a22 = 3, b2 = 1,于是所求变换公式为,3.1 仿射变换的变换公式,方法2. 把点 (x, y) 经过变换得到的像点的坐标 x, y 看作 x, y 的函数, 用条件来决定变换公式.,直线 2x + y 2 = 0 的原像是 x + y 1 = 0,从而 2x + y 2 = 0 (其中x, y 看作 x, y 的函数) 与 x + y 1 = 0表示同一条直线的方程,因此存在数s, 使得,2x + y 2 = s (x + y 1),再由f 把点(1, 1)变为点(2, 3), 用x = 1, y = 1, x=2, y=3 代入, 求出 s = 5.,3.1 仿射变换的变换公式,直线 x + y + 1 = 0 的原像是 x + 2y = 0,因此存在数t, 使得,x + y + 1 = t (x + 2y),再由f 把点(1, 1)变为点(2, 3), 用x = 1, y = 1, x=2, y=3 代入, 求出 t = 2.,由此解得,从而 x + y + 1 = 0与 x + 2y = 0表示同一条直线,3.1 仿射变换的变换公式,例3 (P207. 1) 证明: 在任何仿射坐标系中, 位似 变换的变换矩阵都是数量矩阵kE, 其中k 是位似 系数. 反之, 如果一个仿射变换在某个仿射坐标系 中的变换矩阵是数量矩阵kE, 其中k 1, 则它一定 是位似变换.,证明: 设 f 是位似变换, 位似中心M, 位似系数k.,建立平面仿射坐标系I: O; e1, e2, 设位似中心M 在 I 中的坐标为(a, b),平面上任一点P 在 I 中的 坐标为(x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐标为 (x, y). 根据位似变换的定义, 有,3.1 仿射变换的变换公式,= (ae1 + be2) + (k(xa) e1 + k(yb) e2),故,因此位似变换 f 在 I 中的变换矩阵为数量矩阵kE.,= (kx + (1 k) a) e1 + (ky +(1 k) b) e2,即,3.1 仿射变换的变换公式,反之, 设仿射变换 f 在某个仿射坐标系I 中的变换 矩阵是数量矩阵kE, 其中k 1, 设其变换公式为,令M 是在 I 中坐标为(c/(1 k), d/(1 k) 的点,设平面上任一点P 在 I 中的坐标为(x, y),= k (xc/(1 k)e1 +(y d/(1 k)e2),即 f 是以M为位似中心, 位似系数为k 的位似变换.,3.1 仿射变换的变换公式,3.2 变换矩阵的性质,在变换公式 (4.3) 和 (4.4) 中, 变换矩阵A = (aij) 是关键因素. 已经知道仿射变换 f 在一个仿射坐 标系I 中的变换矩阵即为I 到 f(I) 的过渡矩阵, 下 面给出变换矩阵的几个重要性质, 主要回答以下 两个问题:,(1) 已知两个仿射变换在一个仿射坐标系I 中的 变换矩阵, 如何求它们的乘积的变换矩阵?,(2) 已知仿射变换 f 在一个仿射坐标系I 中的变 换矩阵, 如何求 f 在另一个仿射坐标系II 中的变 换矩阵?,引理 设I1和I2是平面上的两个仿射坐标系, 它们分别被仿射变换f 变为II1和II2, 则I1到I2的过渡矩阵与II1到II2的过渡矩阵相同.,f,f,A,A,A的列向量是I2坐标向量e1, e2的I1坐标,过渡矩阵的列向量是f(I2)坐标向量f(e1), f(e2)的f(I1)坐标,f(I1),=,f(I2),=,3.2 变换矩阵的性质,性质1. 若仿射变换f 把坐标系I变成II, 则f 在II中的变换矩阵就是f 在I中的变换矩阵.,3.2 变换矩阵的性质,f,f,A,A,f(I),=,= f(I),性质2. 若仿射变换f, g在仿射坐标系I中的变换矩阵分别为A, B, 则它们的乘积gf 在I中的变换矩阵为BA.,A,B,A,BA,3.2 变换矩阵的性质,性质3. 若仿射变换f 在仿射坐标系I中的变换矩阵为A, 则它的逆变换f 1在I中的变换矩阵为A1.,性质4. 设仿射变换 f 在仿射坐标系I中的变换矩阵为A, I到仿射坐标系II的过渡矩阵为H, 则 f 在II中的变换矩阵为H1AH.,A,H,H1AH,H,H1,3.2 变换矩阵的性质,性质4表明: 同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵相似, 并且可用这两个坐标系间的过渡矩阵实现这个相似关系.,性质5. 同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵的行列式相等.,命题4.8 仿射变换的变积系数等于它的变换矩阵的行列式的绝对值.,仿射变换的变换矩阵的行列式有很强的几何意义:,证明: 设在仿射坐标系I: O; e1, e2中, 仿射变换 f 的变换矩阵为,3.2 变换矩阵的性质,则 f(e1) f(e2) = (a11e1 + a21e2) (a12e1 + a22e2),= (a11a22 a12a21) e1 e2,= |A| e1 e2 ,所以 f 的变积系数,因 |e1 e2|, | f(e1) f(e2) | 分别是 I 和 f(I) 的两个坐标向量所夹平行四边形 和 的面积, 且显然 = f( ),3.2 变换矩阵的性质,定义: 平面的仿射变换f , 若它在仿射坐标系中的变换公式的系数矩阵A的行列式|A| 0, 则称f 为第一类的; 若|A| 0, 则称 f 是第二类的.,因为 f (e1) f (e2) = |A| e1 e2 , 所以,第一类仿射变换 仿射坐标系 I 与 f(I) 的定向相同.,第二类仿射变换 仿射坐标系 I 与 f(I) 的定向相反.,3.2 变换矩阵的性质,P207. 习题4.3,3, 5, 6, 11(1, 2).,作 业,定义: 如果非零向量u 与f(u) 平行, 则称u为f 的一个特征向量; 此时有唯一实数使得 f(u) = u, 称为f 的一个特征值, 也称u为f 的属于特征值的特征向量.,求法: 设f 在仿射坐标系I中的公式为,变换矩阵A,3.3 仿射变换不动点特征向量, 仿射变换的特征值和特征向量,则非零向量u(x0, y0)是 f 的属于特征值的特征向量当且仅当,当且仅当下面齐次线性方程组有非零解:,当且仅当行列式,称为 f 的特征方程,或,即,(4.6),(4.7),3.3 仿射变换不动点特征向量,步骤1. 求特征值, 即特征方程的解.,步骤2. 对每一特征值 , 求齐次方程组,的非零解, 即为 f 的属于特征值的特征向量.,或,这样求仿射变换特征向量和特征值的步骤如下:,3.3 仿射变换不动点特征向量,例 4 设f 是位似系数为k 的位似变换, 求f 的特征 向量与特征值.,解:,由例3可知, 位似变换在任何仿射坐标系中的 变换矩阵都是数量矩阵kE, 故其特征方程为,22k +k2 = ( k)2 = 0,从而 f 有两个相同的特征值1 = 2 = k.,对于1 = 2 = k, 齐次方程组 (4.6) 中两个方程都是 恒等式0 = 0, 故任何非零向量都是 f 的特征向量.,直观上, 位似变换将任何非零向量映成与之平行 的向量, 故任何非零向量都是f 的特征向量.,3.3 仿射变换不动点特征向量,求法: f 的不动点即为下面方程组的解.,于是当行列式,定义 设 f : 是一个仿射变换, P . 如果 P 在 f 下不动, 即 f (P) = P, 则称 P 为 f 的一个不动点., 仿射变换的不动点,3.3 仿射变换不动点特征向量,(1) 不为零时(即1 不是 f 的特征值), f 有唯一不动点.,(2) 为零且方程组无解, 此时f 无不动点.,(3) 为零且两个一次方程同解, 此时f 有无穷多个不动点., 若 f = id, 则每一点都是不动点;, 否则 f 的不动点构成一条直线:,(1a11) x 2a12y b1 = 0.,3.3 仿射变换不动点特征向量,例 5 已知仿射变换 f 在一个仿射坐标系中的 变换公式为,(1) 求f 的不动点和特征向量;,(2) 求f 的变积系数;,(3) 作仿射坐标系, 使得原点是不动点, 坐标轴 平行于特征向量, 求f 在此坐标系中的变换公式.,解:,(1) 解方程组 得f 的不动点,为点O (1/2, 2) .,3.3 仿射变换不动点特征向量,解特征方程 2 9 +18 = 0 得f 的特征值为,1 = 3, 2 = 6.,对于1 = 3, 解齐次方程组,得 f 的属于1 = 3 的特征向量为 k(1, 4)T (k 0) .,对于1 = 6, 解齐次方程组,得 f 的属于2 = 6 的特征向量为 k(1, 1)T (k 0) .,3.3 仿射变换不动点特征向量,(2) f 的变积系数为,(3) 解法一: 待定系数法, 运用变换矩阵的性质4.,设所求的 f 的变换公式为,因为原点是不动点, 所以,由此得 d1 = d2 = 0 .,3.3 仿射变换不动点特征向量,设 f 在旧坐标系中的变换矩阵为A, 根据性质4, f 在新坐标系中的变换矩阵B应为,又新坐标轴平行于特征向量, 所以可取特征向量 (1, 4)T, (1, 1)T 分别作为新系的坐标向量 ,从而旧坐标系到新坐标系的过渡矩阵为,3.3 仿射变换不动点特征向量,故 f 在新坐标系中的变换公式为,即,3.3 仿射变换不动点特征向量,(3) 解法二: 利用特征向量的性质.,由原点是不动点, 所以f 在新系中的变换公式中 常数项为0; 又新坐标轴平行于特征向量, 故坐标 向量 分别平行于u = (1, 4)T, v = (1, 1)T,设,则,因此仿射变换 f 在新系中的变换矩阵为,从而 f 在新系中的变换公式为,3.3 仿射变换不动点特征向量,定理 平面的保距点变换 f 在一个直角坐标系中的公式为,(),其中系数矩阵A = (aij) 是正交矩阵.,反之, 如果平面的一个点变换 f 在一个直角坐标系中的公式为(), 且其系数矩阵A = (aij) 是正交矩阵, 则 f 是保距(点)变换.,3.4 保距变换的变换公式,类似于仿射变换的变换公式, 有如下定理:,设f 是平面 上的保距变换. 取 I: O; e1, e2 为右 手直角坐标系, 由上面定理可知, f 在 I 中的变换 矩阵为正交矩阵.,情形1. 若f 是第一类保距变换, 则|A| = 1, 于是A 有如下形式:, 若 = 0, 则 , 于是 f 的点变换公式为,3.4 保距变换的变换公式,此时f 是一个平移, 平移量为 u(b1, b2)., 如果0 2, 则,故f 有唯一不动点M0 (x0, y0). 作移轴, 使新原点为 M0, 得新直角坐标系I: M0; e1, e2, 则I 到I 的坐 标变换公式为,3.4 保距变换的变换公式,设 f 在 I 中的变换公式为,将I 到I 的坐标变换公式代入上式可得,因为M0 (x0, y0)是f 的不动点, 故,3.4 保距变换的变换公式,将它代到上式中可得到 f 在 I 中的变换公式为,因此f 是绕M0的旋转, 转角为 .,总结以上结果, 得到,命题4.9 平面上第一类保距变换或是平移, 或是旋转.,3.4 保距变换的变换公式,情形2. 若f 是第二类保距变换, 则|A| = 1, 此时A 有两个不相等的特征值, 其乘积为1.,设 是f 的特征值, e 是f 的相应的特征向量, 则,f (e) = e .,又f 是保距变换, e 和f (e) 长度相等,于是由 | f (e)| = |e| = | |e| 可得 | = 1,这样f 的特征值为1 和 1.,取直角坐标系I: O; e1, e2, 使e1为属于特征值 1 的 特征向量, 则f(e1)在 I 中的坐标为(1, 0).,3.4 保距变换的变换公式,于是 f 在 I 中的变换矩阵为,再由 A 是正交矩阵, 以及|A| = 1, 可得,a12 = 0, a22 = 1.,因此 f 在 I 中的变换公式为,3.4 保距变换的变换公式, 当b1 = 0时, f 在 I 中的变换公式为,从而 f 是关于直线 的反射., 当b1 0 时, f 是关于直线 的反射与平 移量为b1e1 的平移的复合, b1e1 与反射轴 平行, 因此 f 是滑反射.,命题4.10 平面上第二类保距变换或是反射, 或是滑反射.,3.4 保距变换的变换公式,P210. 17. (3) 判断在右手直角坐标系中, 有下面变换公式的保距变换 f 是什么变换, 并求出其特征(旋转中心, 反射轴线, 滑反射轴线和滑动量等):,解:,因为 所以f 是第二类保距变换.,3.4 保距变换的变换公式,它必有特征值 1 和 1 ,对于特征值 1 ,解齐次方程组 (EA)X = 0 , 得f 的属于特征值 1 的特征向量为 k(3, 1)T, k 0.,保持原点不变, 以属于特征值 1 的特征向量为新 坐标向量e1 , 建立新的右手直角坐标系, 则,3.4 保距变换的变换公式,于是旧系到新系的坐标变换公式为,由此可解出变换 f 在 新系中的变换公式为,3.4 保距变换的变换公式,由于新变换公式中常数项 b1 0, 故f 是滑反射.,且其滑反射轴为 , 即,也即 x +3y 4 = 0 .,其滑动量为,3.4 保距变换的变换公式,P207. 习题4.3,12, 14, 17, 19.,作 业,