三角函数性质讲义

三角函数的性质讲义一、【知识要点】1、 图象和性质图表解函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域RR值域 最大值为1，最小值为-1 最大值为1，最小值为-1R无最大值，最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上都是增函数；在上都是减函数（kZ）在（）上都是增函数；在都是减函数在（上都是增函数对称性既是轴对称又是中心对称图形对称轴对称中心坐标，以上的既是轴对称又是中心对称图形对称轴对称中心坐标为，以上的是中心对称图形对称中心坐标,(kZ)二、【知识应用】（一）、求定义域例1求函数的定义域。解:(1) 解不等式组 函数定义域是. （二）利用三角函数的性质比较大小例1、(2008天津文)设、，则（ ）ABCD解：由，因为，所以，故选D点评：掌握正弦函数与余弦函数在0，的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：0,1，也要掌握。（三）复合型三角函数图像的识别例2、(2008山东文、理)函数 其中的图象是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD解： （）是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.（四）、求值域、最值1、利用三角函数的有界性求值域1、形如y=asinx+bcosx+c型引入辅助角公式化为sin(x+)+c再求值域.例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+)的值域解：f(x)=2sinx+cosxsinx=（2）sinx+cosx=，故f(x)2、形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型通过降幂转化为Asinx+Bcosx再求值域.例2、f(x)=2asinxcosx-2asin2x+1（a0）的值域解：f(x)= asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+)-a+1a0，sin(2x+)-a+1 f(x)-3a，a+12、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin2x+bsinx+c型令sinx=t转化为二次函数再求值域.例3、k-4，求y=cos2x+k(cosx-1)的值域解：y=2cos2x-1+kcosx-k y=2cos2x+kcosx-k-1，设t=cosx，t-1,1则y=2t2+kt-k-1，对称轴x=，由于k1，故当t=1时，ymin=1，当t=1时，ymax=12k，即y1,1-2k2、形如y=asinxcosx+b（sinxcosx）+c，换元令sinxcosx=t转化为二次函数在上的值域问题例4、求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域解：令sinx+cosx=t，t，则sinxcosx=，y=+t=(t+1)2-1当t=1时，ymin=1，当t=时，ymax=+，即y-1，+3、考察结构特征，用分离常数法求值域形如y=型，可用分离常数法转化为y=a+再求值域.例5、求函数y=的值域.解：y= -1cosx1且cosx，-或2，故y4、反函数思想求值域形如y=可用反函数思想转化为f(y)sin(x+)=g(y)求值域.例6、求y=的值域.解：由y=得2ysinx-3y=3cosx-22ysinx-3cosx=3y-2，sin(x+)=3y-2sin (x+)=，由|sin(x+)| 1得|1,即y5、化为一元二次方程用判别式求值域形如y=也可用判别式求值域例7、求函数y=的值域解：=，设t=tan则y=yt2-2t+3y=0，当y=0时，t=0适合，当y0时，由=4-12y20，故y.6、根据代数函数的单调性求值域形如y=asint+，令sint=x，根据函数y=ax+的单调性求值域.例8、(0,)，则函数y=sin+的值域为_.分析：设x=sin，则x，即y=x+, x,由图象得，当x=1时，ymin=3，故y例2求函数的值域.法一:，又 1sinx1， -3sinx21, 函数的值域为.法二:由解得， 1sinx1, 解得， 函数的值域为。2， (全国高考试题)当时，函数的 ( ) A、最大值是l，最小值是1 B、最大值是l，最小值是2C、最大值是2，最小值是2 D、最大值是2，最小值是1 解：。， 1f(x)2，应选D。 3，(上海高考试题)函数f(x)3sinxcosx4cos2x 的最大值为_。 解：. 评注：本题注重考查形如f(x)asinx+bcosx 的最值： . （五）求三角函数的周期例3，已知函数，（1）求该函数的最小正周期；（2）求函数的最小值及相应的x的集合。变式训练1， (上海高考试题)函数y2sinxcosx2sin2x+l的最小正周期是_。 解：2，下列函数是否是周期函数？并求其最小正周期（六）、考查函数的单调性 例4 (上海高考试题)函数的单调减区间是_。 解：令。 则y2sinu的单调减区间为，即，又因为，令k1，得所求单调减区间是。 变式训练1，求函数的单调递减区间。（七）三角函数的奇偶性例5，判断函数的奇偶性。（八）、函数的对称性 例6(全国高考试题)关于函数，有下列命题： (1)yf(x)的表达式可改写为； (2)yf(x)是以为最小正周期的周期函数； (3)yf(x)的图象关于点对称； (4)yf(x)的图象关于直线对称 其中正确的命题的序号是_ (注：把你认为正确的命题的序号都填上) 解：由上式知(1)正确，知(2)错误 ， f(x)的图象关于直线对称，但f(x)图象不关于点对称，故(3)错误，(4)正确，所以填(1)、(4) 例7 (全国高考试题)如果函数ysin2x+acos2x 的图象关于直线对称，那么a( )。 A.B.C.1D.-1 解：函数 ysin2x+acos2x 的图象关于直线对称，表明当时，函数取得最大值，或取得最小值，所以，即， 故应选D （九）、考查函数的图象变换 例8 (全国高考试题)已知函数 。 (1)当y取得最大值时，求自变量x取值的集合； (2)该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解：(1) y取最大值当且仅当，kZ, 即 kZ, 所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为.(2)变换的步骤：把函数ysinx的图象向左平移，得到函数的图象，令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，经过这样的变换就得到函数的图象 （十）、考查函数的解析式 例10 (全国高考试题)如图1，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数。 (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式 解：(1)由图1，这段时间的最大温差是30-1020() (2)图中从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象， ，解得。 由图示， 。 这时。 将x6，y10代入上式，可得。 故所求的解析式为： (x6,14)