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专题八 指数式与指数函数,一、指数式,1.整数指数幂的运算性质,(1)aman=am+n (m, nZ);,(2)aman=am-n (a0, m, nZ);,(3)(am)n=amn (m, nZ);,(4)(ab)n=anbn (nZ).,2.根式的概念,如果一个数的 n 次方等于 a(n1 且 nN*), 那么这个数叫做 a 的 n 次方根. 即: 若 xn=a, 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n1且 nN*.,3.根式的性质,5.负数没有偶次方根.,6.零的任何次方根都是零.,一、指数式,4.有理数指数幂,(1)幂的有关概念 正整数指数幂： （nN*）； 零指数幂： a0=_（a0）； 负整数指数幂： a-p=_（a0，pN*）；,1,正分数指数幂： =_ （a0，m、nN*，且n1）； 负分数指数幂： = = (a0,m、nN*,且n1). 0的正分数指数幂等于_， 0的负分数指数幂_. （2）有理数指数幂的性质 aras= _(a0,r、sQ); (ar)s= _(a0,r、sQ); (ab)r= _(a0,b0,rQ).,0,没有意义,ar+s,ars,arbr,二、指数函数,函数 y=ax(a0, 且a1)叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R.,1.指数函数的定义,说明：指数函数有以下特点：,（1）自变量在指数上，且系数为1；,（2）底数是常数，且大于0不等于1；,（3）幂式前面的系数为1。,2.指数函数的图象和性质,R,(0,+),(0,1),y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,【例1】计算下列各式：,题型一 指数幂的化简与求值,解,根式运算或根式与指数式混合运算时,将 根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不 强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根 据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指 数，也不能既有分母又含有负指数.,探究提高,知能迁移1,解,【例2】(12分)设函数f(x)= 为奇函数. 求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.,题型二 指数函数的性质,解 (1)方法一 依题意，函数f（x）的定义域为R， f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x）， 2(a-1)(2x+1)=0，a=1. 方法二 f(x)是R上的奇函数， f(0)=0，即 a=1. （2）由(1)知， 设x1x2且x1,x2R，,f(x2)f(x1),f(x)在R上是增函数. (1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函 数,则有f(0)=0,即可求得a=1. （2）由x1x2推得 实质上应用了函数 f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.,探究提高,知能迁移2 设 是定义在R上的函数. （1）f（x）可能是奇函数吗？ （2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.,解 (1)方法一 假设f(x)是奇函数,由于定义域为R, f（-x）=-f（x）,即 整理得 即 即a2+1=0,显然无解. f（x）不可能是奇函数.,方法二 若f(x)是R上的奇函数， 则f(0)=0,即 f(x)不可能是奇函数.,(2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x), 即 整理得 又对任意xR都成立，有 得a=1. 当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性，任取x1,x2R且x1x2,当 f(x1)0，即增区间为0,+),反之(-,0为减区间. 当a=-1时，同理可得f(x)在（-，0上是增函数， 在0，+）上是减函数.,【例3】已知函数 (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.,题型三 指数函数的图象及应用,解 （1）由已知可得 其图象由两部分组成： 一部分是： 另一部分是：y=3x (x0) y=3x+1 (x-1).,向左平移 1个单位,向左平移 1个单位,图象如图： (2)由图象知函数在（-，-1上是增函数， 在（-1，+）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 在作函数图象时,首先要研究函数与某一 基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.,探究提高,知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a0,且a 1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是_. 解析 数形结合. 当a1时，如图,只有一个公共点，不符合题意. 当0a1时，如图,由图象知02a1,1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当01，x-时,y0;当a1时， a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快； 当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速 度越快. 2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、 (0,1)、(-1, ).,思想方法 感悟提高,方法与技巧,3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要 注意运用方程的观点处理问题，通过解方程（组） 来求值，或用换元法转化为方程来求解. 1.指数函数y=ax (a0,a1)的图象和性质与a的取值 有关，要特别注意区分a1与0a1来研究. 2.对可化为a2x+bax+c=0或a2x+bax+c0 (0)的 指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意 换元后“新元”的范围.,失误与防范,祝你进步！,
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