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突破4.2 指数函数重难点突破一、考情分析二、经验分享考点一 指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时,y1；当x0时,0y1当x1；当x0时,0y32x,则该不等式的解集为(B)A4,)B(4,)C(,4)D(4,1【参考答案】B【解析】依题意可知,原不等式可转化为3x432x,由于指数函数y3x为增函数,所以x42x,解得x4,故选B【变式训练4-1】（2018秋泰山区校级期中）已知,则、的大小关系是ABCD【分析】根据指数函数的性质判断即可【参考答案】解：是减函数,故,而,故,故选：【点睛】本题考查了指数函数的性质,考查函数值的大小比较,是一道基础题【变式训练4-2】（2019秋潍坊期中）下列不等关系正确的是ABCD【分析】根据指数函数的性质分别判断各个选项的大小即可【参考答案】解：对于,故错误；对于,故错误；对于,故错误；对于,故正确；故选：【点睛】本题考查了指数函数的性质,考查函数值大小比较问题,是一道基础题(五) 求指数型复合函数的定义域与值域例5已知函数f(x)2x,函数g(x)则函数g(x)的最小值是_【参考答案】0【解析】当x0时,g(x)f(x)2x为单调增函数,所以g(x)g(0)0；当x0时,g(x)f(x)2x为单调减函数,所以g(x)g(0)0,所以函数g(x)的最小值是0.【变式训练5-1】函数f(x)的值域是()来源:学。科。网A(,1)B(0,1)C(1,)D(,1)(1,)【参考答案】B【解析】3x11,01,函数的值域为(0,1)【变式训练5-2】求函数的定义域与值域【分析】根据指数函数的性质,利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可【参考答案】解：,设,则,则函数等价为,则函数的定义域为,即函数的值域为【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解,利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键【变式训练5-3】求函数的定义域和值域【分析】根据指数函数的性质进行求解即可【参考答案】解：恒成立,函数的定义域为,由得,即,当时,不成立,当,则,由得,即函数的值域为【点睛】本题主要考查函数的定义域和值域的求解,利用指数函数的性质是解决本题的关键(六) 求指数型复合函数的最值与单调区间例6已知函数f(x)2x的定义域是0,3,设g(x)f(2x)f(x2),(1)求g(x)的解析式及定义域；(2)求函数g(x)的最大值和最小值【解析】(1)f(x)2x,g(x)f(2x)f(x2)22x2x2.因为f(x)的定义域是0,3,所以02x3,0x23,解得0x1.于是g(x)的定义域为x|0x1(2)设g(x)(2x)242x(2x2)24.x0,1,2x1,2,当2x2,即x1时,g(x)取得最小值4；当2x1,即x0时,g(x)取得最大值3.【变式训练6-1】（多选题）若函数f(x)在R上单调递增,则实数a的取值范围不能为(BD)A(5,8)B(2,8)C6,8)D(3,8)【参考答案】BD【解析】因为函数f(x)是R上的增函数,所以解得4a8.【变式训练6-2】（2019春咸宁校级月考）已知,（1）设,求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值【分析】（1）根据指数函数的性质,即可求的最大值与最小值；（2）将函数转化为关于的函数,即可求的最大值与最小值【参考答案】解：（1）设,则,即,即的最大值为9,最小值为1；（2）设,则,函数转化为,当时,最小为,当时,最大为,即的最大值为67,最小值3【点睛】本题主要考查函数的最值的计算,利用指数函数的单调性以及利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键【变式训练6-3】（2019春雁塔区校级期末）若函数,且在区间,上的最大值为35,求的值【分析】将看成一个整体,对解析式进平方后,化为关于的二次函数,再对分类讨论,由指数函数的性质分别求出的范围,再由二次函数的单调性求出函数的最大值,由条件列出方程求解【参考答案】解：由题意得,若时,由,得,则当,即时,函数取到最大值,解得或（舍去）,若时,由,得,则当,即时,函数取到最大值,解得或（舍去）,综上可知,的值为5或【点睛】本题考查了指数函数和二次函数的性质的应用,关键是将看成一个整体对解析式化简,考查了整体思想【变式训练6-4】已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明在其定义域上的单调性.【解析】（1）的定义域为实数集,所以是奇函数；（2）,设,所以在实数集上增函数.(七) 指数型复合函数的综合问题例7已知函数f(x),g(x),则f(x),g(x)满足()Af(x)g(x)g(x)f(x)Bf(2)f(3)Cf(x)g(x)xDf(2x)2f(x)g(x)【解析】选ABDA正确,f(x)f(x),g(x)g(x),所以f(x)g(x)g(x)f(x)；B正确,因为函数f(x)为增函数,所以f(2)f(3)；C不正确,f(x)g(x)x；D正确,f(2x)22f(x)g(x)【变式训练7-1】(本小题满分12分)已知函数yf(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x).(1)判断并证明yf(x)在(,0)上的单调性；(2)求yf(x)的值域【解析】：(1)yf(x)在(,0)上单调递增,证明如下：设x1x20,则03x13x21,3x1x21.f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2),即yf(x)在(,0)上是增函数(2)函数f(x)在(,0)上是增函数且连续,f(x)f(0)0.又f(x),当x0时,f(x)的值域为.而函数f(x)为奇函数,由对称性可知,函数yf(x)在(0,)上的值域为.综上所述,yf(x)的值域为.【变式训练7-2】（2019春甘肃校级期末）已知定义在上的奇函数,为常数（1）求的值；（2）用单调性定义证明在,上是减函数；（3）解不等式【分析】（1）根据解出；（2）设,计算并化简,只需证明即可；（3）利用单调性和奇偶性得出,等价于,解出【参考答案】解：（1）是定义在上的奇函数,即,解得（2）,设,则,即,在,上是减函数（3）是奇函数且在,上单调递减,在上是减函数,解得【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性综合应用,属于基础题【变式训练7-3】已知奇函数的定义域为,其中为指数函数且过点（）求函数的解析式；（）判断函数的单调性,并用函数单调性定义证明【分析】（）设,由的图象过点,求得,可得的解析式再根据,求得的值,可得的解析式（）根据,设,则,根据,从而根据函数的单调性的定义得出结论【参考答案】解：（）设,由的图象过点,可得,故函数再根据为奇函数,可得,即（）,设,则,由于,结合,可得,即,故在上单调递减【点睛】本题主要考查指数函数的综合应用,函数的奇偶性的性质,利用函数的单调性的定义证明函数的单调性,属于中档题四、迁移应用1、（2019秋金堂县校级期中）已知函数,求其单调区间及值域【分析】要求复合函数的单调递增（减区间的即求内函数的单调递减区间,根据二次函数的性质,求出内函数的单调递减（增区间和值域后,即可得到参考答案【参考答案】解：设则的单调递减区间为,递增区间为,函数为减函数,故函数的单调递增区间为,递减区间为,值域为,【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性,函数的值域,指数函数的性质及二次函数的性质,其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则,将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键2、（2019秋雁峰区校级期中）求函数的定义域和单调区间【分析】由已知中函数的解析式,先确定函数的定义域,进而根据二次函数和对数函数的性质,分别判断内,外函数的单调性,进而根据复合函数“同增异减”的原则,得到参考答案【参考答案】解：要使函数有意义,只需,解得或函数的定义域为,令则为减函数的单调递减区间是,单调递增区间是,所以原函数单增区间为,单减区间为,【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,指数函数的单调区间,复合函数的单调性,其中复合函数单调性“同增异减”的原则,是解答本题的关键,解答时易忽略函数的定义域而错解科教兴国10
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