人教版数学七年级下册第五章 相交线与平行线——专题练习

小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型 1 M 型【例 1】 如图，已知 ABCD，则B，BED，D 之间有何数量关系？请说明 理由【思路点拨】 由已知条件知，ABCD，但图形中没有截这两条平行线的第三条 直线，因而不能直接用平行线的性质解决为此可构造第三条直线，即过点 E 作 EFAB，于是 BE，DE 就可以作为第三条直线了变式当点 E 运动到平行线的外侧1已知 ABCD，点 E 为 AB，CD 之外任意一点(1)如图 1，探究BED 与B，D 的数量关系，并说明理由； (2)如图 2，探究CDE 与B，BED 的数量关系，并说明理由拓展平行线间有多个拐点2(1)如图 1 中，ABCD，则EG 与BFD 有何关系？ (2)在图 2 中，若 ABCD，又能得到什么结论？如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问 题来处理M 型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和模型 2铅笔型【例 2】 如图，直线 ABCD，B，BED，D 之间有什么关系呢？为什么？拓展平行线间有多个拐点3(1)如图 1，MA NA ，则A A 1 2 1 2如图 2，MA NA ，则A A A 1 3 1 2 3度；度；如图 3，MA NA ，则A A A A 1 4 1 2 3 4图 4，MA NA ，则A A A A A 1 5 1 2 3 4 5从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图 5，MA NA ，则A A A A 1 n 1 2 3 n度；度；度小专题(二)利用平行线的性质求角的度数类型 1直接利用平行线的性质与判定求角度1如图，OC 是AOB 的平分线，lOB.若152，则2 的度数为( ) A52 B54 C64 D692如图，CDAB，点 O 在 AB 上，OE 平分BOD，OFOE，D110，则AOF 的度数是( )A20 B25 C30 D353如图，ABCD，CBDE，B50，则D 4如图，已知 EFAD，12，BAC80，求AGD 的度数类型 2借助学具的特征求角度5如图，将直尺与 30角的三角尺叠放在一起若140，则2 的大小是 ( )A40 B60 C70 D806如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线 l ，l 上，已知C1 2是直角，则12 的度数等于( )A75 B90 C105 D120类型 3折叠问题中求角度7将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形若ABC26，则ACD 8如图，一个四边形纸片 ABCD，BD90，C130.把纸片按如图 所示折叠，使点 B 落在 AD 边上的 B点，AE 是折痕，则AEB 的度数是 类型 4抽象出平行线模型求角度 (建模思想)9如图，AOB 的一边 OA 为平面镜，AOB38，一束光线(与水平线 OB 平 行)从点 C 射入经平面镜反射后，反射光线落在 OB 上的点 E 处，已知ADCODE.则DEB 的度数是度10 如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半 圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的1 与2，则1 与2 的度数和是 小专题(三)平行线的性质与判定的综合运用教材 P37T13 的变式与应用教材母题 (教材 P37T13) ：完成下面的证明(1)如图 1，点 D，E，F 分别是三角形 ABC 的边 BC，CA，AB 上的点，DEBA，DF CA.求证：FDEA.证明：DEBA，FDEDFCA，AFDEA.(2)如图 2，AB 和 CD 相交于点 O，CCOA，DBOD.求证 ACBD. 证明：CCOA，DBOD，又COABOD( )，C ACBD(内错角相等，两直线平行)(1)判定两直线平行的方法有五种：平行线的定义；平行公理的推论；同 位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线 平行(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要 注意书写格式(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结 合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角 或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据1如图，已知 ADBC，EFBC，垂足分别为 D，F，23180.试说明： GDCB.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补 充完整解：因为 ADBC，EFBC(已知)，所以ADBEFB (垂直的定义)所以 (同位角相等，两直线平行)所以12 (两直线平行，同旁内角互补)又因为23180( )，所以13( )所以 ABDG( )所以GDCB( )2如图，点 G 在射线 BC 上，射线 DE 与 AB，AG 分别交于点 H，M.若 DFAB， B75，D105，求证：AMEAGC.3如图，ABCD，AE 平分BAD，CD 与 AE 相交于点 F，CFEE.求证：AD BC.4如图，E1，3ABC180，BE 是ABC 的平分线你能判断 DF 与 AB 的位置关系吗？请说明理由5如图，ABBD 于点 B，点 E 是 BD 上的点，AE 平分BAC，CE 平分ACD，且 1290.求证：CDBD.6如图，把一张长方形 ABCD 的纸片沿 EF 折叠后， ED 与 BC 的交点为 G，点 D， C 分别落在 D，C的位置上若EFG55，求1，2 的度数7如图，已知 BCGE，AFG150.(1)求证：AFDE；(2)若 AQ 平分FAC，交 BC 于点 Q，且Q15，求ACQ 的度数参考答案：小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型 1 M 型【例 1】 如图，已知 ABCD，则B，BED，D 之间有何数量关系？请说明 理由【思路点拨】 由已知条件知，ABCD，但图形中没有截这两条平行线的第三条 直线，因而不能直接用平行线的性质解决为此可构造第三条直线，即过点 E 作 EFAB，于是 BE，DE 就可以作为第三条直线了【解答】 BEDBD. 理由：过点 E 作 EFAB，则 EFCD. BBEF，DDEF. BEDBEFDEFBD.变式当点 E 运动到平行线的外侧1已知 ABCD，点 E 为 AB，CD 之外任意一点(1)如图 1，探究BED 与B，D 的数量关系，并说明理由； (2)如图 2，探究CDE 与B，BED 的数量关系，并说明理由解：(1)BBEDD.理由如下： 过点 E 作 EFAB，则 ABCDEF. BEFB，DDEF.BEFBEDDEF，BBEDD.(2)CDEBBED.理由如下： 过点 E 作 EFAB，则 ABCDEF.BBEF180，CDEDEF180. 又DEFBEFBED，CDEBEFBEDBBEF， 即CDEBBED.拓展平行线间有多个拐点2(1)如图 1 中，ABCD，则EG 与BFD 有何关系？ (2)在图 2 中，若 ABCD，又能得到什么结论？解：(1)BEFFGDBEFGD.理由：过点 E，F，G 分别作 EMAB，FNAB，GHAB，由 ABCD，得 ABEMFNGHCD.BEMB，MEFEFN，NFGFGH，HGDD.BEFFGDBEMMEFFGHHGDBEFNNFGD BEFGD.(2)在图 2 中，有E E E E BF F F1 2 3 n 1 2n1D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问 题来处理M 型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和模型 2铅笔型【例 2】 如图，直线 ABCD，B，BED，D 之间有什么关系呢？为什么？【解答】 BBEDD360.理由：过点 E 作 EFAB.ABCD，ABCDEF.BBEF180，DDEF180. BBEFDDEF360， 即BBEDD360.拓展平行线间有多个拐点3(1)如图 1，MA NA ，则A A 180 度；1 2 1 2如图 2，MA NA ，则A A A 360 度；1 3 1 2 3如图 3，MA NA ，则A A A A 540 度；1 4 1 2 3 4图 4，MA NA ，则A A A A A 720 度； 1 5 1 2 3 4 5从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图 5，MA NA ，则A A A A 180(n1)度1 n 1 2 3 n解：每增加一个角，度数增加 180.小专题(二)利用平行线的性质求角的度数类型 1直接利用平行线的性质与判定求角度1如图，OC 是AOB 的平分线，lOB.若152，则2 的度数为( C ) A52 B54 C64 D692如图，CDAB，点 O 在 AB 上，OE 平分BOD，OFOE，D110，则AOF 的度数是( D )A20D35B25 C303如图，ABCD，CBDE，B50，则D1304如图，已知 EFAD，12，BAC80，求AGD 的度数解：EFAD，23(两直线平行，同位角相等)12，13(等量代换)ABDG(内错角相等，两直线平行)BACAGD180(两直线平行，同旁内角互补) BAC80，AGD100.类型 2借助学具的特征求角度5如图，将直尺与 30角的三角尺叠放在一起若140，则2 的大小是 ( D )A40 B60 C70 D806如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线 l ，l 上，已知C1 2是直角，则12 的度数等于( B )A75 B90 C105 D120类型 3折叠问题中求角度7将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形若ABC26，则ACD1288如图，一个四边形纸片 ABCD，BD90，C130.把纸片按如图 所示折叠，使点 B 落在 AD 边上的 B点，AE 是折痕，则AEB 的度数是 65类型 4抽象出平行线模型求角度 (建模思想)9如图，AOB 的一边 OA 为平面镜，AOB38，一束光线(与水平线 OB 平 行)从点 C 射入经平面镜反射后，反射光线落在 OB 上的点 E 处，已知ADC ODE.则DEB 的度数是 76 度10 如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半 圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的1 与2，则1 与2 的度数和是 90小专题(三)平行线的性质与判定的综合运用教材 P37T13 的变式与应用教材母题 (教材 P37T13) ：完成下面的证明(1)如图 1，点 D，E，F 分别是三角形 ABC 的边 BC，CA，AB 上的点，DEBA，DF CA.求证：FDEA.证明：DEBA，FDEBFD(两直线平行，内错角相等)DFCA，ABFD(两直线平行，同位角相等)FDEA.(2)如图 2，AB 和 CD 相交于点 O，CCOA，DBOD.求证 ACBD. 证明：CCOA，DBOD，又COABOD(对顶角相等)，CDACBD(内错角相等，两直线平行)(1)判定两直线平行的方法有五种：平行线的定义；平行公理的推论；同 位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线 平行(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要 注意书写格式(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结 合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角 或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据1如图，已知 ADBC，EFBC，垂足分别为 D，F，23180.试说明： GDCB.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补 充完整解：因为 ADBC，EFBC(已知)，所以ADBEFB90(垂直的定义)所以 ADEF(同位角相等，两直线平行)所以12180(两直线平行，同旁内角互补) 又因为23180(已知)，所以13(同角的补角相等)所以 ABDG(内错角相等，两直线平行)所以GDCB(两直线平行，同位角相等)2如图，点 G 在射线 BC 上，射线 DE 与 AB，AG 分别交于点 H，M.若 DFAB， B75，D105，求证：AMEAGC.证明：DFAB(已知)，DBHM(两直线平行，同位角相等) 又B75，D105(已知)， BBHM75105180. DEBC(同旁内角互补，两直线平行) AMEAGC(两直线平行，同位角相等)3如图，ABCD，AE 平分BAD，CD 与 AE 相交于点 F，CFEE.求证：AD BC.证明：AE 平分BAD(已知)，12(角平分线的定义)ABCD(已知)，1CFE(两直线平行，同位角相等)又12(已证)，CFEE(已知)，2E(等量代换)ADBC(内错角相等，两直线平行)4如图，E1，3ABC180，BE 是ABC 的平分线你能判断 DF 与 AB 的位置关系吗？请说明理由解：DFAB.理由：BE 是ABC 的平分线，12(角平分线的定义)E1(已知)，E2(等量代换)AEBC(内错角相等，两直线平行)AABC180(两直线平行，同旁内角互补) 3ABC180(已知)，A3(等量代换)DFAB(同位角相等，两直线平行)5如图，ABBD 于点 B，点 E 是 BD 上的点，AE 平分BAC，CE 平分ACD，且 1290.求证：CDBD.证明：AE 平分BAC，CE 平分ACD(已知)，BAC21，ACD22(角平分线的性质)BACACD21222(12)1290(已知)，BACACD180.ABCD(同旁内角互补，两直线平行)BD180(两直线平行，同旁内角互补)D180B(等式的性质)ABBD(已知)，B90(垂直的定义)D90，即 CDBD.6如图，把一张长方形 ABCD 的纸片沿 EF 折叠后， ED 与 BC 的交点为 G，点 D， C 分别落在 D，C的位置上若EFG55，求1，2 的度数解：ADBC，EFG55，2GED，DEFEFG55(两直线平行，内错角相等) 由折叠，知GEFDEF55.GED110.2110.1180270(两直线平行，同旁内角互补)7如图，已知 BCGE，AFG150.(1)求证：AFDE；(2)若 AQ 平分FAC，交 BC 于点 Q，且Q15，求ACQ 的度数解：(1)证明：BCGE，E150.AFG150，EAFG50.AFDE.(2)过点 A 作 APGE，BCGE，APGEBC.FAPAFG50，PAQQ15. FAQFAPPAQ65.AQ 平分FAC，CAQFAQ65. CAP80.ACQ180CAP100.