第49讲空间点、线、面的位置关系

第49讲空间点、线、面的位置关系戛习.1了解平面的基本性质，理解“三个公理”的意义.2理解空间点、直线、平面的位置关系的定义.3能运用公理、定理和已获得的结论证明空间位置关系的简单命题.课前知识梳理1. 平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内用符号语言表述为：若A,BI，且A,Ba,贝Ulua公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.用符号语言表述为Pa,且PaCl3=I且PI.2. 空间两条直线的位置关系(1) 空间两条直线的位置关系包括平行、相交、异面，其中异面直线是指不同在任何一个平面内的直线.(2) 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3. 空间中直线与平面的位置关系直线在平面内有无数个公共点直线与平面相交有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行没有公共点4. 平面与平面的位置关系平行一一没有公共点相交一一有且只有一条公共直线1. 公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.2. 异面直线的判定定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.3. 唯一性定理(1) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4) 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.热身练习1. 在下列命题中，不是公理的是(A)A平行于同一平面的两个平面互相平行B.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上有两点在同一平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线阿根据点、线、面位置关系的4个公理来判断，选项A是两平面平行的性质,B,C,D分别是公理2、公理1和公理3.2. 如果两条直线a,b没有公共点，那么a,b的位置关系是(D)A.共面B.平行C.异面D.平行或异面CD平行和异面都没有公共点.3. 若直线a,b是异面直线，直线b,c是异面直线，则a,c的位置关系是(D)A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.以上都有可能可画图帮助判断，得到a与c异面、相交、平行都有可能.4. 11,12,13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(B)A.11-L12,12-L13?11/13B.11L12,12/13?h丄临c.Il/I2/l3?ll,I2,I3共面D.Ii,I2,I3共点？Ii,I2,I3共面CEJ当1l丄12,12丄13时，丨1也可能与I3相交或异面，故A不正确；Il丄丨2，I2/I3?Il丄13，故B正确；当Il/l2l3时，丨1,12,13未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；Il,I2,I3共点时，1l,12,13未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确.5. （2016山东卷）已知直线a,b分别在两个不同的平面aB内，则“直线a和直线b相交”是“平面a和平面B相交”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件EEJ由题意知a?a,b?若a,b相交，则a,b有公共点，从而a,B有公共点，可得出a,B相交；反之，若a,B相交，则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面a和平面B相交”的充分不必要条件.高频考点m二m点、线、面位置关系的判定（经典真题）已知m,n为异面直线，m丄平面a,n丄平面3直线I满足I丄m,I丄n,I?a,I?3则A.all3且I/aB.a丄3且I丄3C.a与3相交，且交线垂直于D.a与3相交，且交线平行于直接去判断每一个选择支是否正确，很抽象.可构造长方体模型，化抽象为直观进行判断.画出满足题设条件的长方体模型，如图:mCiA显然a丄3排除A;虽然a丄但I/3,排除B；a与3相交，且交线平行于I，排除C,选D.須D(1)对于线线、线面、面面的位置关系的判定，常常可构造长方体模型或正方体模型，化抽象为直观去判断.(2)构造法实际上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，可避免因考虑不全面而导致解题错误.1.若空间中四条两两不同的直线Il,l2,I3,I4满足11丄12,12丄I3,b丄I4，则下列结论一定正确的是(D)A.I1丄I4B. 11/I4C. I1与I4既不垂直也不平行D.I1与I4的位置关系不确定魁3构造一个长方体模型，在长方体中判断它们的位置关系.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中,OiG/AB记I1为DD1所在的直线，I2为DC所在的直线，I3为DA所在的直线,若14=AA1，满足1l丄12,12丄13,13丄14,此时，Il/l4，可排除选项A和C.若l4=DCi，也满足条件，可以排除选项B.故选D.刍-判断空间两直线的位置关系（2017覃塘区校级月考）在下图中,G，N,M,H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）但3因为M,G为中点，可得到GM仝HN,所以GH/MN，所以GH与MN共面.可利用结论：“平面内一点和平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”进行判定，也可采用反证法判定，得到GH与MN是异面直线.因为GM三1HN，所以GH与MN共面.（1）空间两条直线位置关系的判定，主要是异面、共面的判定对于异面直线的判定可直接证明也可采用反证法，通过图形分析、运用反证法的思想是判断线面位置关系的常用方法.（2）共面的情况主要是对平行与垂直这两种特殊位置关系的判定对于平行的判定，常4及线面平行与面面平行的4及线面平行与面面平行的利用三角形（梯形）的中位线的性质、平行四边形的性质、公理性质定理；对垂直关系的判断，常利用平面几何中特殊图形的特点及线面垂直的性质来解决.2.如图是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中：GH与EF平行；BD与MN为异面直线;GH与MN成60角；DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是把正四面体的平面展开图还原，如图所示.EGH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线,GH与MN成60。角,由AF丄DE,MN/AF，所以DE丄MN.吕厂平面基本性质的应用麼在空间四边形ABCD中，E,G分别为BC,AB的中点，F在CD上,H在AD上，且有DF:FC=2:3,DH:HA=2:3.求证：G,E,F,H四点共面；（2）求证：EF,GH,BD交于一点；若EF与GH相交于0,证明：B,D,0三点共线.盹）（1）连接EG,HF，因为E,G分别是BC,AB的中点,所以GE/AC,又因为DF:FC=2:3,DH:HA=2:3,所以HF/AC，所以GE/HF，故G,E,F,H四点共面.由知G,E,F,H四点共面，又EF与GH不平行，所以EF与GH必相交.设EFnGH=0,由OEF,EF?平面BCD,所以O平面BCD，同理O平面ABD,所以O在平面ABD与平面BCD的交线BD上，所以EF,GH,BD交于一点O.由可知，O点在BD上，所以B,D,O三点共线.(1)理解平面的基本性质，掌握其基本应用是解决“点、线共面，多点共线，多线共点”的关键.(2)公理1是判断一条直线是否在平面内的依据；公理共面的依据；公理3是证明三点共线或三线共点的依据.3.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，/2及其推论是判断或证明点、线2及其推论是判断或证明点、线BAD=ZFAB=90BC/AD,BC=；AD,BE/FA,BE=FA,G,H分别是FA,FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形;(2)证明：C,D,F,E四点共面.E3Z)(1)因为G,H分别是FA,FD的中点,1所以GH/AD,GH=2AD,1又因为BC/AD,BC=2AD，所以BC/GH,BC=GH,所以四边形BCHG是平行四边形.1(2)因为BE/FA,BE=2FA，所以BE/FG,BE=FG,所以四边形BGFE是平行四边形，所以BG/EF.又因为BG/CH，所以EF/CH.所以C,H,F,E四点共面.又DFH,FH?平面CHFE，所以D平面CHFE,所以C,D,F,E四点共面.课0犁,1空间点、线、面位置关系的判断，常常需要进行文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用，特别要注意“构造法”的运用，通过构造长方体等模型，能化抽象为直观，快速得到判断.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1) 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2) 反证法：即证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而得到两线异面.3证明点共线、线共点、点或线共面的基本方法：(1)证明空间点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出两点在某两个平面的交线上，再证明其他点既在第一个平面内，又在第二个平面内，从而说明它在两个平面的交线上(2)证明空间线共点问题如证三线共点，可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后证另两条直线的交点在此直线上(3) 证明空间几点共面问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内；证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取适当的两条直线确定若干个平面，再证明这些平面重合