一元线性回归方差分析显著性分析

一元线性回归分析及方差分析与显著性检验某位移传感器的位移X与输出电压y的一组观测值如下：（单位略）X15101520?5am 7V0.10510.52621.05211.57752.10312.6287设x无误差，求y对x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。（附：Fo. io（l，4）=, Fo.o5（1, 4）=, Fo.odl, 4）=）回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。一.一元线性回归的数学模型在一元线性回归中，有两个变量，其中x是可观测、可控制的普通变量， 常称它为自变量或控制变量，y为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过 散点图或计算相关系数判定y与x之间存在着显著的线性相关关系，即y与x之 间存在如下关系：y = a + b*x + s（1）/通常认为N（O0?）且假设；与X无关。将观测数据（xbyi） （i=l,n）代入 再注意样本为简单随机样本得：， 并=a + b * & + fiiSfSn独立同分布N（0,o2）（2）称（1）或（2）（ 乂称为数据结构式）所确定的模型为一元（正态）线性回归模型。对其进行统计分析称为一元线性回归分析。模型中EY=a + b*x，若记y=E（YL则y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程,其图象就是回归直线，b为回归系数，a称为回归常数，有时也通称a、b为回 归系数。设得到的回归方程y = b0+bx残差方程为Vi = yt-y = yt-b0-bxt, r = i,2,根据最小二乘原理可求得回归系数bo和bo 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令/ 、y.1V2Y =x =b = fv =-:Im:J X 7则误差方程的矩阵形式为Y-Xb = V对照V = L-AXf设测得值儿的精度相等，则有b = （XTXylXTY将测得值分别代入上式，可计算得NNNNNNNN。-d 工 X）/（1；）（工开）-（0）（工 D _曰f=l x t _ 1=1t-1f=l/=!_心卜NN/nx：-（x/“/=!/=!NN屹#-（兀）f=l/=!其中x=y x,_1 N门企儿 2V /=1N_1 N（vA = Y （兀-=工冷（XX/=!/=1 N /=1N_ Ni NNg =工（兀一对（开一刃=工1 一石（工兀）（工兀） /=!/=1N /=1f=lN_N1 Nly =- y）2 = X y； - -（X ）2Z=1/=1/V f=l二、回归方程的方差分析及显著性检验问题：这条回归直线是否符合y与x之间的客观规律回归直线的预报精度 如何解决办法：方差分析法一分解N个观测值与其算术平均值之差的平方和；从量值上区别多个 影响因素；用F检验法对所求回归方程进行显著性检验。（一）回归方程的方差分析总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）s=f（）；y）2=：.,“s=Ni/=!可以证明：S=U+Q其中=（片一刃=勿“，=1Z=10见，Vq = N 2/=!U回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关系而引起y变化的部分。Q残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对y变差 的影响。(二) 回归方程显著性检验一F检验法基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越大Q越小说明y与x的线 性关系愈密切。计算统计量F尸=込对一元线性回归，应为 卩/1Q/(N-2)查F分布表，根据给定的显著性水平a和己知的自由度1和N-2进行检验： 若，FnFQN_2),回归在的水平上高度显著。化a(1,N 2) F v F00iQ,N-2),回归在的水平上显著。化。(1-2)Fv化“(kN-2),回归在的水平上显著。FFa,则通过检验。) yy=a+b*test(l,:);plot(test(l,:)/test(2/:)/,r.,),hold onplot(test:Lyy,bLhold offtitle(str)结果如下:test =回归方程为：y=+*xRA2拟合优度检验：RA2=1方差检验：sgmA2=F-分布显著性检验：F计算值：.6024 自由度：fl=l,f2=4注：请对照F-分布表找到所需置信水平下的F临界值Fa,若FFa,则通过检验。