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上海市金山中学2010-2011学年高二上学期期末考试数学试题沪教版一、填空题：（每题4分，共56分）1、二元一次方程组的系数矩阵为 。2、数列的前项和，则通项公式 。3、已知，若与平行，则m 。4、计算：= 。5、已知四个数成等差数列，成等比数列，则= 。6、设+，那么 。7、圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为，半径为，则该圆锥的体积为 。. 8、某程序框图如图1所示，则执行该程序后输出的结果是 _ 。9、在北纬东经有一座城市,在北纬东经有一座城市,设地球半径为,则、两地之间的球面距离是 。开始结束输出是否10、在正四棱柱中（如图2），已知底面的边长为2，点是的中点，直线与平面成角，则异面直线和所成角为_。(结果用反三角函数值表示) 图1图211、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比= (用数值作答) 。 12、定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中是坐标原点，。已知，则的坐标为_。13、面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点P到第条边的距离为，若，则；根据以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第个面的距离记为，若，则_。 14、设为数列的前项和，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为 _ 。二、选择题：（每题5分，共20分）15、下列四个命题中真命题是 （ ）A同垂直于一直线的两条直线互相平行；B过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；C底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；D过球面上任意两点的大圆有且只有一个。16、无穷等比数列中，则首项的取值范围是 ( ) . A B C D17、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令。给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的，有；（4）。（注：这里指与的数量积）其中假命题是 （ ）A（1） B（2） C（2）（3） D（2）（4） EFD1C118、如图，正方体的棱长为，动点在棱上，动点分别在棱上，若，则四面体的体积 （ ）A与都有关B与有关，与无关C与有关，与无关D与有关，与无关三、解答题（共74分）19、（本题12分）如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，。（1）求证：； A B C D P（2）求点到平面的距离。20、（本题14分）已知命题：，其中为常数，命题：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为，且函数在上单调递增。若命题与命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围。21、（本题14分）已知向量, ， 。（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值。22、（本题16分）野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架（如图3）进行野炊训练。 已知，、两点间距离为。（1）求斜杆与地面所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）将炊事锅看作一个点，用吊绳将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅到地面及各条斜杆的距离都不小于30，试问吊绳长的取值范围。图323、（本题18分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，。数列满足，为数列的前n项和。（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由。金山中学2011学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷(答案)2012.1（考试时间：120分钟满分：150分命题人：陈雅洁审核人：孙冠军）一、填空题：（每题4分，共56分）1、二元一次方程组的系数矩阵为 。2、数列的前项和，则通项公式 。3、已知，若与平行，则m 。4、计算：= 。25、已知四个数成等差数列，成等比数列，则= 。6、设+，那么 。7、圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为，半径为，则该圆锥的体积为 。. 8、某程序框图如图1所示，则执行该程序后输出的结果是 _ 。1279、在北纬东经有一座城市,在北纬东经有一座城市,设地球半径为,则、两地之间的球面距离是 。开始结束输出是否10、在正四棱柱中（如图2），已知底面的边长为2，点是的中点，直线与平面成角，则异面直线和所成角为_。(结果用反三角函数值表示) 图2图111、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比= (用数值作答) 。12、定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中是坐标原点，。已知，则的坐标为_。13、面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点P到第条边的距离为，若，则；根据以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第个面的距离记为，若，则_。 14、设为数列的前项和，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为 。二、选择题：（每题5分，共20分）15、下列四个命题中真命题是 （ B ）A同垂直于一直线的两条直线互相平行；B过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；C底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；D过球面上任意两点的大圆有且只有一个。16、无穷等比数列中，则首项的取值范围 ( B ) . A B C D17、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令。给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的，有；（4）。（注：这里指与的数量积）其中假命题是 （ B ）A（1） B（2） C（2）（3） D（2）（4） EFD1C118、如图，正方体的棱长为，动点在棱上，动点分别在棱上，若，则四面体的体积 （ D ）A与都有关B与有关，与无关C与有关，与无关D与有关，与无关三、解答题（共74分） A B C D P19、（本题12分）如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，。（1）求证：；（2）求点到平面的距离。解（1）由平面可推得，又，所以平面。从而可得。 5分（2）过作，由（1）知：平面，所以。所以平面。 在直角三角形中，故点到平面的距离 12分20、（本题14分）已知命题：，其中为常数，命题：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为，且函数在上单调递增。若命题与命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围。解：若命题是真命题，则。（2分），（5分）函数在上调递增，则，。（8分）若命题是真命题且命题是假命题，则。（10分）若命题是真命题且命题是假命题，则。（12分）因此满足题意的实数的取值范围为或。（14分）21、（本题14分）已知向量, ， 。（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值。解：（1）当时， 1分所以 4分因而； 6分（2）， 7分 10分因为，所以 11分当时，即， 12分当时，即 .13分所以. 14分来22、（本题16分）野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架（如图3）进行野炊训练. 已知，、两点间距离为。（1）求斜杆与地面所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）将炊事锅看作一个点，用吊绳将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅到地面及各条斜杆的距离都不小于30，试问吊绳长的取值范围。图3DO （1）设P点在平面ABC上的射影为点O，连接CO， 在RtPOC中，所以 。 即PC与底面ABC所成角的大小为。 6分（2）在RtPOC中，解得，作交PC于D点，由，得。 又, 故吊绳长度的取值范围为. 16分23、（本题18分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和。（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由。20、（1）（法一）在中，令，得 即 2分解得， 3分， 5分（法二）是等差数列， 2分由，得 ， 又，则 3分(求法同法一)（2）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 6分 ，等号在时取得 此时 需满足 7分当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 8分 是随的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 9分综合、可得的取值范围是 10分（3）， 若成等比数列，则，即12分（法一）由，可得，即， 14分 16分又，且，所以，此时因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列18分（法二）因为，故，即，（以下同上） 16分
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