第5章(误差基本知识-)课件

测量误差及其产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性精度评定的指标误差传播定律及其应用 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识本章本章本章本章主要内容如下：主要内容如下：主要内容如下：主要内容如下：1一、观测误差一、观测误差一、观测误差一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客客观存在或理论值观存在或理论值)之差，称为测量误差。之差，称为测量误差。用数学式子表达：用数学式子表达：i=Li X i=Li X (i=1,2n)(i=1,2n)L L 观测值观测值 XX真值真值 5-15-1 测量误差概述测量误差概述1 1 1 1、仪器的原因、仪器的原因、仪器的原因、仪器的原因 仪仪仪仪器器器器结结结结构构构构、制制制制造造造造方方方方面面面面，每每一一种种仪仪器器具具有有一一定定的的精精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。二、测量误差的来源二、测量误差的来源二、测量误差的来源二、测量误差的来源 测测量量误误差差产产生生的的原原因因很很多多，但但概概括括起起来来主主要要有有以下三个方面：以下三个方面：2 例例例例 如：如：如：如：v DJ6DJ6型光学经纬仪基本分划为型光学经纬仪基本分划为11，难以确保分以下，难以确保分以下 估读值完全准确无误。估读值完全准确无误。v 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。以下估读值的准确性。仪器构造本身也有一定误差。仪器构造本身也有一定误差。例例例例 如：如：如：如：v水水准准仪仪的的视视准准轴轴与与水水准准轴轴不不平平行行，则则测测量量结结果果中中含含有有i i 角误差或交叉误差。角误差或交叉误差。v水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。3 2 2 2 2、人的原因、人的原因、人的原因、人的原因 观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。不同程度的影响。人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为观测条件；观测条件；观测条件；观测条件；观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为等精度观测；等精度观测；等精度观测；等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。不等精度观测。不等精度观测。不等精度观测。3 3 3 3、外界条件、外界条件、外界条件、外界条件 例例如如：外外界界环环境境如如温温度度、湿湿度度、风风力力、大大气气折折光光等等因因素的变化，均使观测结果产生误差。素的变化，均使观测结果产生误差。例例例例如如如如：温温温温度度度度变变变变化化化化使使使使钢钢钢钢尺尺尺尺产产产产生生生生伸伸伸伸缩缩缩缩阳阳阳阳光光光光曝曝曝曝晒晒晒晒使使使使水水水水准准准准气气气气泡泡泡泡偏偏偏偏移移移移，大大大大气气气气折折折折光光光光使使使使望望望望远远远远镜镜镜镜的的的的瞄瞄瞄瞄准准准准产产产产生生生生偏偏偏偏差差差差，风风风风力力力力过过过过大大大大使使使使仪仪仪仪器器器器安置不稳定等。安置不稳定等。安置不稳定等。安置不稳定等。4三、测量误差的分类三、测量误差的分类三、测量误差的分类三、测量误差的分类 先作两个前提假设：先作两个前提假设：先作两个前提假设：先作两个前提假设：观测条件相同观测条件相同观测条件相同观测条件相同.对某一量进行一系列的直接观测在此基础对某一量进行一系列的直接观测在此基础对某一量进行一系列的直接观测在此基础对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值上分析出现的误差的数值上分析出现的误差的数值上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律、符号及变化规律、符号及变化规律、符号及变化规律。5 先看两个实例：先看两个实例：先看两个实例：先看两个实例：例例1 1：用名义长度为：用名义长度为3030米而实际长度为米而实际长度为30.0430.04米的钢尺量距。米的钢尺量距。丈量结果见下表丈量结果见下表5-15-1：表表5-15-1 尺段数尺段数 一一二二三三四四五五 N N观测值观测值 30 3060609090120120150150 30 30 n n真实长度真实长度30.0430.0460.0860.0890.1290.12120.16120.16150.20150.20 30.04 30.04n n真误差真误差-0.04-0.04-0.08-0.08-0.12-0.12-0.16-0.16-0.20-0.20-0.04-0.04 n n可以看出：可以看出：可以看出：可以看出：误差符号始终不变，具有规律性。误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。误差对观测结果的危害性很大。6例例例例 2 2 2 2：在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。有时偏右。可以看出：可以看出：可以看出：可以看出：从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。何规律性。何规律性。何规律性。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。71.1.1.1.系统误差系统误差系统误差系统误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为定的规律变化，这种误差称为“系统误差系统误差”。系统误差系统误差具有规律性。具有规律性。2.2.2.2.偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3.3.3.3.粗差粗差粗差粗差-观测中的错误叫观测中的错误叫粗差粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。一旦发现，应及时更正或重测。引进如下概念：引进如下概念：8(二二二二)测量误差的处理原则测量误差的处理原则测量误差的处理原则测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。次观测，消弱其影响。消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：检校仪器：使系统误差降低到最小程度。检校仪器：使系统误差降低到最小程度。求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。采用合理的观测方法：如对向观测。采用合理的观测方法：如对向观测。研究偶然误差是测量学的重要课题。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级。适当提高仪器等级。进行多余观测，求最或是值。进行多余观测，求最或是值。9 四、四、四、四、偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差的特性 若若i i=L=Li i X X （i=1,2,3,358i=1,2,3,358）表表表表5-25-25-25-210从表从表从表从表5-25-25-25-2中可以归纳出偶然误差的特性中可以归纳出偶然误差的特性中可以归纳出偶然误差的特性中可以归纳出偶然误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；会超过一定的限值；会超过一定的限值；会超过一定的限值；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；的频率小；的频率小；的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。用公式表示为：用公式表示为：用公式表示为：用公式表示为：实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。时，这种特性就表现得愈明显。为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表以按表5-25-2的数据作的数据作误差频率直方图误差频率直方图误差频率直方图误差频率直方图(图图5-1)5-1)。11-24-21-18-16-12-9-6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 x=图图5-1 5-1 频率直方图频率直方图12 若误差的个数无限增大若误差的个数无限增大(n)n)，同时又无限缩小误同时又无限缩小误差的区间差的区间d d，则图则图5-15-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率，它完整地表示了偶然误差出现的概率P P。即当即当nn时，时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。的概率。正态分布曲线的数学方程式为正态分布曲线的数学方程式为:(5-3)(5-3)为为标准差标准差，标准差的平方为，标准差的平方为 方差方差。13 从从从从5-35-35-35-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:1 1.f()f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的的f()f()相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。特性。2.2.2.2.愈小，愈小，f()f()愈大。当愈大。当=0=0时，时，f()f()有最大值有最大值;反之，反之，愈大，愈大，f()f()愈小。当愈小。当nn时，时，f()0,f()0,这就是偶然误这就是偶然误差的第一和第二特性。差的第一和第二特性。3.3.3.3.如果求如果求f()f()二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：点横坐标：拐拐=如果求如果求f()f()在区间在区间 的积分，则误差出现在区间内的的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值相对次数是某个定值 ，所以当，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特的值表征了误差扩散的特征征。14f()+-11121-+f()2+-22122115v观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；v观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；v 具有较小具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；陡的趋势迅速下降；v 具有具有 较大较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：165-2 5-2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准一一一一.中误差中误差中误差中误差 误差误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：标准差标准差 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：般采用下述误差公式：标准差标准差中误差中误差 m m 的不同在于观测个数的不同在于观测个数 n n 上；上；标准差表征了一组同精度观测在标准差表征了一组同精度观测在(n)n)时误差分布的时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；扩散特征，即理论上的观测指标；而中误差则是一组同精度观测在为而中误差则是一组同精度观测在为 n n 有限个数时求得有限个数时求得的观测精度指标；的观测精度指标；所以中误差是标准差的近似值估值；所以中误差是标准差的近似值估值；随着随着 n n 的增大，的增大，m m 将趋近于将趋近于。17必须指出：必须指出：必须指出：必须指出：同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。准差，而标准差的估计值即为中误差。同精度观测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。例例例例3:3:3:3:设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了1010次次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 第一组：第一组：+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1；第二组：第二组：0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.试求这两组观测值的中误差。试求这两组观测值的中误差。由由 解得：解得：m m1 1=2.7 m=2.7 m2 2=3.6=3.6 可见：可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。第一组的观测精度较第二组观测精度高。18二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差）根据正态分布曲线，误差在微小区间根据正态分布曲线，误差在微小区间d d中的概率：中的概率：p()=f()dp()=f()d 设以设以k k倍中误差作为区间，则倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：在此区间误差出现的概率为：分别以分别以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得：P(P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P(P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P(P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由此可见：偶然误差的绝对值大于由此可见：偶然误差的绝对值大于由此可见：偶然误差的绝对值大于由此可见：偶然误差的绝对值大于2 2 2 2倍中误差的约占误差倍中误差的约占误差倍中误差的约占误差倍中误差的约占误差总数的总数的总数的总数的5555，而大于，而大于，而大于，而大于3 3 3 3倍的误差仅占误差总数的倍的误差仅占误差总数的倍的误差仅占误差总数的倍的误差仅占误差总数的0.30.30.30.3。由于一般情况下测量次数有限，由于一般情况下测量次数有限，3 3倍中误差很少遇到，倍中误差很少遇到，故以故以2 2倍中误差作为允许的误差极限，称为倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差容许误差”，或或 称为称为“限差限差”即即容容=2=2m m19三、相对误差三、相对误差 在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。还不能正确反映观测的质量。例如例如:用钢卷尺量用钢卷尺量200200米和米和4040米两段距离，量距的中误差米两段距离，量距的中误差都是都是22cmcm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。差与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即的质量。即m/Lm/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差又可要求写成分子为相对中误差又可要求写成分子为1 1的分式，即的分式，即 。上例为上例为 K K1 1=m=m1 1/L/L1 1=1/10000,=1/10000,K K2 2=m=m2 2/L/L2 2=1/2000=1/2000 可见可见:前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。对误差。对误差。对误差。205-3 5-3 误差传播定律误差传播定律 若若若若 Z=FZ=FZ=FZ=F（x x x x1 1 1 1,x,x,x,x2 2 2 2,x,x,x,x3 3 3 3,，x x x xn n n n）式中式中x xi i(i=1,2,3,(i=1,2,3,，n)n)为独立观测值，其中误差为为独立观测值，其中误差为m mi i(i=1,2,3,(i=1,2,3,，n),n),求观测值函数的中误差求观测值函数的中误差m mz z。当观测值当观测值x xi i分别具有真误差分别具有真误差x xi i时，则函数时，则函数z z也随之产生相应的真误差也随之产生相应的真误差z z。由数学分析可知，变量与函数的之间的误差关系可近似用由数学分析可知，变量与函数的之间的误差关系可近似用函数的全微分表达，即函数的全微分表达，即21 一般函数：一般函数：倍数函数：倍数函数：和差函数：和差函数：线性函数：线性函数：一、误差传播定律主要公式一、误差传播定律主要公式一、误差传播定律主要公式一、误差传播定律主要公式22二、误差传播定律的应用二、误差传播定律的应用 应用误差传播定律求观测值函数的精度时，可按下述步骤进应用误差传播定律求观测值函数的精度时，可按下述步骤进行：行：1 1、按问题性质先列出函数式：、按问题性质先列出函数式：、按问题性质先列出函数式：、按问题性质先列出函数式：2 2、对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值真误差、对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值真误差、对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值真误差、对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值真误差之间的关系式之间的关系式之间的关系式之间的关系式 3 3、将真误差形式转换成中误差形式、将真误差形式转换成中误差形式、将真误差形式转换成中误差形式、将真误差形式转换成中误差形式 注意：各观测值之间必须互相独立。注意：各观测值之间必须互相独立。注意：各观测值之间必须互相独立。注意：各观测值之间必须互相独立。23误差传播定律的应用误差传播定律的应用误差传播定律的应用误差传播定律的应用例题：设有函数例题：设有函数例题：设有函数例题：设有函数 式中式中式中式中:s=150.11ms=150.11m，其中误差其中误差其中误差其中误差mms s=0.05m =1194500=0.05m =1194500，其中误差其中误差其中误差其中误差mm=20.6=20.6；求求求求z z的中误差的中误差的中误差的中误差mmz z 解：因为解：因为 所以所以：24误差传播定律的应用误差传播定律的应用误差传播定律的应用误差传播定律的应用水准测量的高差中误差：水准测量的高差中误差：水准测量的高差中误差：水准测量的高差中误差：若若 hAB=h1+h2+hn 设每站高差中误差均为设每站高差中误差均为m站站，则有，则有 mmh hABAB=n m=n m站站站站 即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比比比比。若水准路线为平坦地区，则每测站间距离若水准路线为平坦地区，则每测站间距离S大大致相等，设致相等，设AB路线总长为路线总长为L，则测站数则测站数n=L/S，则：则：即水准测量高差中误差与距离的平方根成正比。即水准测量高差中误差与距离的平方根成正比。即水准测量高差中误差与距离的平方根成正比。即水准测量高差中误差与距离的平方根成正比。25 由三角形闭和差求测角中误差由三角形闭和差求测角中误差由三角形闭和差求测角中误差由三角形闭和差求测角中误差26 5-4-4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差 直接平差直接平差 等精度直接平差等精度直接平差 不等精度直接平差不等精度直接平差 一、平差原则一、平差原则一、平差原则一、平差原则 按最小二乘原理按最小二乘原理 例如：测的某三角形的三个内角的观测值：例如：测的某三角形的三个内角的观测值：其闭合差其闭合差 为消除闭合差，须对三个角度进行改正，即为消除闭合差，须对三个角度进行改正，即 27满足条件的改正数可以有无限多组，见下表：满足条件的改正数可以有无限多组，见下表：根据最小二乘原理，应使根据最小二乘原理，应使改正数改正数第第1 1组组第第2 2组组第第3 3组组第第4 4组组第第5 5组组 V V V V V V+6+6+6+6+6+6+4+4+20+20-6-6-4-4+6+6+16+16+3+3-1-1+16+16+6+6+5+5+7+7vvvv10810845245230830826626611011028 二、等精度直接平差二、等精度直接平差二、等精度直接平差二、等精度直接平差 （一）求最或然值（一）求最或然值（一）求最或然值（一）求最或然值算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值 在相同的观测条件下，对某量进行在相同的观测条件下，对某量进行n n次观测，其值分次观测，其值分别为别为l l1 1，l l2 2，lnln，其算术平均值为其算术平均值为 （二）观测值的改正数（二）观测值的改正数（二）观测值的改正数（二）观测值的改正数 算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值（算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值（v v）:一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。29 （三）精度评定（三）精度评定 1、观测值的中误差：、观测值的中误差：2、算术平均值的中误差：、算术平均值的中误差：30 5-55-5、不等精度直接平差、不等精度直接平差（一）权与单位权（一）权与单位权（一）权与单位权（一）权与单位权 例例例例如如如如：对对对对某某某某量量量量分分分分两两两两组组组组观观观观测测测测，第第第第一一一一组组组组观观观观测测测测2 2 2 2次次次次，第第第第二二二二组组组组观观观观测测测测4 4 4 4次次次次。每每每每次次次次观观观观测测测测精精精精度度度度同同同同，其其其其中中中中误误误误差差差差都都都都为为为为m m m m，求求求求由由由由两组观测结果计算该量的最或然值。两组观测结果计算该量的最或然值。两组观测结果计算该量的最或然值。两组观测结果计算该量的最或然值。3132 （二）不等精度观测值的最或然值（二）不等精度观测值的最或然值 （三）不等精度观测值最或然值的中误差（三）不等精度观测值最或然值的中误差 （四）单位权中误差（四）单位权中误差 33 本章小结本章小结本章小结本章小结：1.1.测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因 仪器的原因仪器的原因 人的原因人的原因 外界环境的影响外界环境的影响 2.2.测量误差的分类与处理原则测量误差的分类与处理原则 系统误差系统误差 -在相同的观测条件下，对某一量进在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差系统误差”。偶然误差偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差偶然误差”。34 误差的处理原则误差的处理原则误差的处理原则误差的处理原则系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加以系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差，采用改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差，采用不同时间的多次观测。不同时间的多次观测。消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：检校仪器：检校仪器：求改正数求改正数 采用合理的观测方法。采用合理的观测方法。研究偶然误差是测量学的重要课题。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级适当提高仪器等级 进行多余观测，求最或是值。进行多余观测，求最或是值。35 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；差的绝对值不会超过一定的限值；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；大的误差出现的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；率；当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零均值趋近于零。3.偶然误差的特性偶然误差的特性36四四四四 .观测成果的精度评定指标观测成果的精度评定指标观测成果的精度评定指标观测成果的精度评定指标 1、中误差中误差 观测个数总是有限的观测个数总是有限的n n 中误差是标准差的近似值估值；同精度观测值对应着一中误差是标准差的近似值估值；同精度观测值对应着一个误差分布，即对应着一个标准差和中误差。个误差分布，即对应着一个标准差和中误差。2 2、极限误差、极限误差 偶然误差的绝对值大于偶然误差的绝对值大于2 2倍中误差的约占误差总数的倍中误差的约占误差总数的55，故以，故以2 2倍中误差作为允许的误差极限，倍中误差作为允许的误差极限，允允=2=2m m 3 3、相对中误差相对中误差 用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量质量,即即m/L=1/Nm/L=1/N。37五、误差的传播规律及应用五、误差的传播规律及应用五、误差的传播规律及应用五、误差的传播规律及应用 1、和差函数的中误差、和差函数的中误差 2、线性函数和倍数函数的中误差、线性函数和倍数函数的中误差 3、一般函数的中误差、一般函数的中误差习题习题 5 5 P P1041041 1、2 2、7 7、8 838