高考数学大二轮专题复习：第二编立体几何中向量方法

高考数学大二轮专题复习：第二编立体几何中向量方法第3讲立体几何中的向量方法考情研析以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为线面角、二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.核心知识回顾1.线、面的位置关系与向量的关系设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)lmabakba1ka2，b1kb2，c1kc2；(2)lmabab0a1a2b1b2c1c20；(3)laa0a1a3b1b3c1c30；(4)laaka1ka3，b1kb3，c1kc3；(5)vkva3ka4，b3kb4，c3kc4；(6)vv0a3a4b3b4c3c40.2三种空间角与空间向量的关系(1)线线角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cos.(2)线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角满足sin.(3)二面角如图()，AB，CD是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，；如图()()，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足coscosn1，n2或cosn1，n2热点考向探究考向1利用向量证明平行与垂直例1(1)(多选)(2020山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，ADAA12，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是()A对于任意给定的点P，存在点Q使得D1PCQB对于任意给定的点Q，存在点R使得D1RCQC当ARA1C时，ARD1RD当A1C3A1R时，D1R平面BDC1答案ABD解析如图所示，建立空间直角坐标系，设P(2，a,0)，a0,2，Q(2,2，b)，b0,2，设，得到R(22，2，22)，0,1.(2，a，2)，(2,0，b)，42b，当b2时，D1PCQ，A正确；(22，2，2)，2(22)2b，取时，D1RCQ，B正确；由ARA1C，则(2，2，22)(2，2，2)412440，解得，此时0，C错误；由A1C3A1R，则R，设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则解得n(，1，)，故n0，故D1R平面BDC1，D正确故选ABD.(2)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1分别是棱AD，AA1的中点设F是棱AB的中点，证明：直线E1E平面FCC1；证明：平面D1AC平面BB1C1C.证明如图，过点D作AB的垂线交AB于点G，则以点D为原点，DG，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易得A(，1，0)，B(，3,0)，C(0，2,0)，E1(，1，1)，E，F(，1,0)，D1(0,0,2)，B1(，3,2)，C1(0,2,2)(0,0,2)，(，1,0)设平面FCC1的法向量n1(x，y，z)，则令x1，得n1(1，0)，又，故n10，又E1E平面FCC1，所以E1E平面FCC1.(，1，2)，(0,2，2)，设平面D1AC的法向量n2(a，b，c)，由得令b1，得n2(，1,1)同理易得平面BB1C1C的一个法向量n3(1，0)，因为n2n30，故平面D1AC平面BB1C1C.利用空间向量证明平行与垂直的方法步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系(4)根据运算结果解释相关问题如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点证明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以BEDC.(2)因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，又因为ABAD，PAADA，所以AB平面PAD，所以向量(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，而(0,1,1)(1,0,0)0，所以，又BE平面PAD，所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一个法向量(1,0,0)，向量(0,2，2)，(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即不妨令y1，可得n(0,1,1)为平面PCD的一个法向量则n(0,1,1)(1,0,0)0，所以n.所以平面PCD平面PAD.考向2利用空间向量求空间角角度1利用空间向量求异面直线所成的角例2(2020山东省济南市高三6月模拟)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，ABADBC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90，形成如图所示的几何体，其中M为的中点(1)求证：BMDF；(2)求异面直线BM与EF所成角的大小解(1)证法一：如图，连接CE，设CE与BM交于点N，根据题意，知该几何体为圆台的一部分，且CD与EF相交，故C，D，F，E四点共面，因为平面ADF平面BCE，所以CEDF，因为M为的中点，所以CBMEBM.又BCBE，所以N为CE的中点，BNCE，即BMCE，所以BMDF.证法二：如图，以点B为坐标原点，BE，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则ADAF1，BCBE2，所以B(0,0,0)，M(，0)，D(0,1,1)，F(1，0,1)，所以(，0)，(1，1,0)，所以0，所以BMDF.(2)解法一：如图，连接DB，DN，由(1)知，DFEN且DFEN，所以四边形ENDF为平行四边形，所以EFDN，所以BND为异面直线BM与EF所成的角，设AB1，则BDDNBN，所以BND为等边三角形，所以BND60，所以异面直线BM与EF所成角的大小是60.解法二：如图，以点B为坐标原点，BE，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则ADAF1，BE2，所以B(0,0,0)，M(，0)，E(2,0,0)，F(1，0,1)，所以(，0)，(1,0,1)，所以cos，所以异面直线BM与EF所成角的大小是60.角度2利用空间向量求线面角例3(2020山东省实验中学高考预测卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ADP90，平面ADP平面ABCD，点F为棱PD的中点(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE，并说明理由；