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最新资料推荐长方体和正方体综合知识点自编版 前言 要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12条 4条横长棱4条纵宽棱4条竖高棱互相平行的棱长度相等，3组6个面上下前后,左右各2个面相对的面完全相同。上下、前后、左右相对的2个面完全相同8个上面4个下面4个同一个顶点引出的3条棱分别叫做：长、宽、高。三棱汇一点半特殊长方体12条4垂直棱+构正方8棱垂直于正方形面的4条棱长度相等6个面2面+4面有一组相对的2个面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形8个上面4个下面4个正方体12条长度相等6个面6个面全相等8个唠叨说教上述表格中涉及到的一些数字，相信你基本能脱口而出，可每到解题的时候，头脑一片混乱。每次考完试后，我常会听到一些同学说：这次考试我又粗心了。粗心是借口，过了4年级，粗心实际就是数学思维混乱，不讲数学道理，水平低的表现。并且屡教不改。这里牵涉到两个问题：一是记忆问题；形同其它学科，数学所需要背诵的基本概念、法则、定义、定理、公式，大多为了加快解题步骤，省却学生重复推倒的过程（很多小学、初中阶段学生自己都还无法去推倒）。由于数学学科的自身特点表现在探讨对象的抽象性，数学语言在纸面表达的抽象性很强。因此为记忆而记忆，机械的记忆，不仅枯燥无味，且造成错误频出，说到底无任何意义。纵观对于数学7大体系需要进行记忆的内容，其中6大版块计算体系、计数体系、组合体系、数论体系、行程体系、应用体系，每次在记忆的时候，脑海中最好同步显现相应的一道哪怕是最简单的题目即可；而对于第七体系的几何体系而言，公式、概念背诵的同时，不仅头脑中必须出现对应的图形，反复映射，特别重要的是，对于立体几何而言：作图，标上带单位的数字，更是不可或缺，意义重大。第二个问题：数学还是一门知识的连贯性、系统性、逻辑性很强的学科。决不可将数学不同阶段、时期的知识点孤立看待。数学知识的连贯性，犹如链条，缺少某一环节，知识就会散架。 例如说三年级上学期对于长方形、正方形周长的学习；三下对它们面积的学习；四下从三角形平行四边形梯形；五上，将上述图形简单合成，进入到多边形面积的学习；看下图所示：将四边形分成三组：两组对边都不平行的是任意四边形，有一组对边平行，另外一组对边不平行的是梯形；两组对边分别平行的是平行四边形。对于梯形分组来说，两腰相等是等腰梯形，有一个角是直角叫直角梯形。对于平行四边形分组来说，有一个角是直角的变成了矩形，有一组临边相等的是菱形；最后当拥有了直角后，再增加上一组临边相等；当拥有了一组临边相等后，再增加上有一个角是直角，最终，长方形和菱形都变成了正方形。动笔前一副“空想社会主义”的萌样；动笔时一副凌空蹈虚的傻样，很傻很天真其实你很2.长方体、正方体 空间构造认识长方体中，汇聚于一点的三条棱，分别是横长棱，纵深棱，竖高棱。平面几何中，以长度来界定长和宽。立体几何中，长宽高的界定，没有一本教材给出。我觉得，按照呈现在眼前的三维立体平面图中，线条的横向，纵向，竖向走向来定义为好。这对于长方体表面积的计算：长方体上、下两面的面积和=长宽2；长方体前、后两面的面积和=长高2；长方体左、右面两的面积和=宽高2；最后易记忆并合成为，S长=（长宽长高宽高）2。初中起到将来，直线坐标系，直角坐标系，空间坐标系与之相对应的实数虚数、函数、解析几何、微积分学习都有关联。三维立体平面图是为了方便研究，其实既可只见一面正、侧、俯视三取其一；两面正、侧、俯视三取其二；三面正视图、侧视图、俯视图三合一。特别说明：1，如果物体的宽度明显小于人双眼距离的时候，有可能4个面。但是你忽略了前提条件是从一点去观察；2，从不同角度观察长方体，最多能同时看见几面，请不要累加，前提条件是同时能看见。时间在流逝：是孔圣的“不舍昼夜”，是庄生的“白驹过隙”，是曹孟德的“譬如朝露”，是陈子昂的“怆然泣下”。还有那句拨动无数少年心弦，触落无数老者清泪的“你聪明的，告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？” You the wise, tell me, why should our days leave us, never to return?推荐聆听2014春晚歌曲时间都去哪儿了。 长方体有“大众化”和“半特殊化”两种。实质为汇聚于顶点的长宽高三种棱，有且只可以两两之间数值大小一样时，“大众化长方体“成为“半特殊化”长方体。若长宽高大小都相等，就成为正方体。半特殊化长方体由于隐含着有一组相对的两个面是正方形（为什么不能相邻？），或者说隐含着长方体的6个面，必定分为2个对面为正方形，4个只可为长方形的条件，我们依然应当从这个条件形成的实质内涵是12条原本分组为4长、4宽、4高的棱，重新分组为4和8两组棱。充分利用【相对2正方，其余环形4个等长方形】，【4棱环形4长方、8棱相对两正方】 是解决很多半特殊化长方体问题的关键。提问：1.长方体中的12条棱如何分组?2.长方体最少有4个面是长方形?3.半特殊化长方体对其所属的正方形的面有什么位置要求?4.若想构成半特殊化长方体,对棱的数量和位置上有什么要求?5.相邻不相对、相对不相邻。你是如何理解这句话在长方体上的表现？ 上下2相对 前后2相对 左右2相对其余前后左右 其余上下左右 其余上下前后4环形等长方 4环形等长方 4环形等长方相 对 2 正 方，其 余 环 形 4 个 等 长 方 形长方体和正方体的差别，不是面的差别，依然是棱！因为面的大小，就是棱的长度乘积结果造成；有关你前世今生的故事是这样的：正方体是特殊的长方体，它拥有长方体所具有的特征：8个顶点，12条棱，6个面且相对的面一定平行，不平行那叫“喇叭开口笑”！探究实质，依然是12条棱其中的8条，长度首先变得完全一样后，形成且只能形成相对的两个正方形，这样前世大众化长方体的你，变形为半特殊化长方体（又名正四棱柱，妖也要有名）。当原本垂直于正方形的4条棱，长度增加（你前世矮胖子，现在矮胖挫的妖）或者减少（你前世瘦丑穷）到和8条棱完全一样时，汇于一点三棱的你本是人，且是矮胖挫或瘦丑穷，某一日，走火入魔，邪念丛生，祸害学生，变形是为妖人？人妖？（随便你啦）。最终幡然醒悟，潜心修炼，放下屠刀，又某一日，得道成仙！本类型妖题，用你当年，破解不再是妖人或人妖的方法，依然是口念：相对2正方，其余环形4个等长方形，去解决。【管中窥豹之你的前世今生变形记】一个长方体木块,从上部和下部分别截去4厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？ 【解法1】根据题意可以知道：长方体是一个底面为正方形的长方体。【相对两正方】, 4cm把截去的4cm和2cm拼凑在一起，这样就减少了一个高度为 （42）cm，面积是120cm的侧面，这个侧面是由4个相等的长方形（长就是长方体的长，宽就是6cm）组成的。【其余环形4个等长方形】正方体的棱长：120（42）4=5（cm）【红色线均为5cm】原长方体的体积：55（4+2+5）=275（立方厘米）【解法2】120平方厘米就是(4+2)厘米高的长方体的侧面积， 长方体底面周长：1206=20厘米， 【侧面积底面周长=高】 2cm 因为成为正方体，底面是正方形，所以底面边长为204=5厘米，那么原来长方体的高为(4+2+5=11厘米)， 所以原长方体体积：5511=275立方厘米。【解法3】列方程，设长方体的长是x厘米，那么宽也就是x厘米， 4cm【依然是利用半特殊长方体的相对两正方这一特性】 高就是x+2+4厘米。 根据题意：原来长方体的表面积-正方体的表面积=120 2x+4x(x+2+4)-6x=120 2x+4x+24x-6x=120 24x=120 x=5 2cm那么长方体的长和宽都是5cm，高是5+2+4=11cm。体积V=长宽高 V=5511=275立方厘米最后一点强调：由一维空间的点、线，到二维空间的平面图形：长方形，正方形，再到立体几何图形的学习。图形的日趋复杂的变化演绎过程，可以说：点动成线，线动成面，面动则成体。不管是曾经的平面图形周长，面积的题目，还是现在立体几何中的棱长和、表面积、体积、容积、容积中的排水法、挖一块或若干块、切一刀或几刀、若干块拼成一大块、棱的几倍变形引起表面积体积的变化，涂色问题，这些所有的所有，根本都要围绕变化的和不变化的，从棱变则全变这一点去探究！最后的最后，请你画画图，讲讲道理，带入公式的数字含义对吗？另外数学一些题目是需要你联系生活实际的，例如：在现实生活中，不是所有长方体都要求六个面的面积，要根据实际情况，有的是求六个面的面积，有的是求五个面的面积，有的是求四个面的面积。做个画家和导演，讲讲道理，学校那点简单题目没有你不会做的！公式棱长类：长方体的棱长和=（长宽高）4 C=4（abh）长方体的棱长和=长4宽4高4 C=4a4b4h长方体的高=棱长和4长宽正方体的棱长和=棱长12 C=12a正方体的棱长=棱长和12棱长和的变形：包扎用绳总长度=2个长+2个宽+4个高+打结用绳长度长方体、正方体的表面积和体积类：长方体的表面积=（长宽长高宽高）2 用字母表示S=2(abacbc)长方体的表面积=长宽2长高2宽高2 用字母表示S=2ab2ac2bc正方体的表面积=棱长棱长6 用字母表示S=6a2长方体的体积=长宽高 用字母表示V=abc 正方体的体积=棱长棱长棱长 用字母表示V= a3上述公式变形很无聊： 长方体的长=体积宽高 长方体（或正方体）的体积=底面积高 长方体的高=体积底面积 长方体的体积=横截面积长 长方体的长=体积横截面积 侧面积底面周长=高 【这是个好公式】解决有关长方体和正方体表面积的实际问题时，有时只求长方体、正方体的4个面（如：一根方柱的涂漆表面、一个盒子四周的商标纸、一个烟囱或通风管或排水管、一个火柴盒的外盒；）或5个面（无盖的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一个抽屉、一个火柴盒的内盒、一本影集的封套；家里地面不刷涂料，还需要扣除不需要刷涂涂料的门、窗的面积）在计算时，请注意首先进行单位换算统一后再进行。一、长方体和正方体的认识【知识点1】关于点、线、面如图所示为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样的方法，截去原长方体的八个角，则新的立体图形的顶点有 个；棱有 条，面有 个，【思路分析】一个长方体有4+4+4=12条棱，一个角上裁出3条棱，即8个角共38=24条棱，相加即可原有棱的条数12+八个顶角裁出的24条棱=36条棱。顶点的变化为：原有一个顶点因裁去而损失，但是增加的一个面，或者说增加的3条棱于其它棱交点为3个，3-1=2个。【思路点拨】每切去一个角，多出3条棱，多1个面，多2个顶点；依此类推，切去长方体的八个角，多出24条棱，8个面，16个顶点加上原来的12条棱,6个面,8个顶点一共36条棱，14个面,16个顶点。【举一反三】如果把一个长方体截去一个角后,新的立体图形有（ ）个顶点，有（ ）条棱、有（ ）个面 图1 图2 图 3 图4解答：图1、新的几何体有（ 10 ）个顶点， 有（ 15 ）条棱、有（ 7 ）个面 图2、新的几何体有（ 9 ）个顶点， 有（ 14 ）条棱、有（ 7 ）个面 图3、新的几何体有（ 8 ）个顶点， 有（ 13 ）条棱、有（ 7 ）个面 图4、新的几何体有（ 7 ）个顶点， 有（ 12 ）条棱、有（ 7 ）个面判断并改正：1、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( )2、长方体的六个面一定是长方形； ( ) 3、正方体的六个面面积一定相等； ( ) 4、一个长方体最多有四个面面积相等； ( ) 5、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 6、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 7、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ）8、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ）9、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ）10、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ）11、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等（ ）12、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）【知识点2】关于棱长棱长和的变形：例如：一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？3020cm20cm 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；上面和下面的彩带长度=长的长度。解答：需要彩带的长度=高4+长2+宽2+打结部分长度204+302+10=150cm图2这款IPAD的外包装长a厘米，宽b厘米，高c厘米，商店为了顾客方便，用丝带进行捆扎，结头处长d厘米，这个包装盒至少要准备 米彩带？ 图2 图3有5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？A号2张，号4张 B号2张，号2张，号2张 C号2张，号2张，号2张D号2张，号4张 E. 号2张，号4张 图3F. 号4张，号两张仓库有四种规格的铁皮（单位：分米）：规格长6，宽4 规格长6，宽5 规格长5，宽4 规格边长是4的正方形从中选择5张制成一个无盖的长方体容器的两种方案（表格中填入几张）规格规格规格规格容积/升方案一方案二练习：1有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ ）米的铝合金。2把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。30m6m50m3一个长方体长12厘米 宽8厘米 高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）。4一个长方体的礼堂如右图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？ 【右图礼堂】 5一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？6正方体的六个面中，选出3个面，其中有两个面不相邻的排法有多少种方案？ 本题为和计数体系排列组合的结合解答：两个面不相邻那就是对面！正方体共3组对面，假定选组对面，还有一面从其他4面中任意选，就有4种情况！所以共有34=12种先任选一个面，再选第二个面与之不相邻只有一个，第三个面可从剩下的4个面中任选。因此选定一个面后再选2个面可达到要求的种数有4种。 正方体共有6个面，因此共有4624种选法。 但是不相邻便是相对的，因此选法有一次重复，所以要除以2. 所以最终共有选法为24/212种。从正方体的六个面中任意选三个面共有20（6+5+4+3+2=20）种。其中过同一顶点的三个面相邻的只有8种，是不符合题意的，所以20-8=12种。7.小明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒，他用其中的若干根小棒搭成了一个长方体框架长方体框架的棱长和是多少？A. 9a+6b B. 8a+4b C.6(a+b) D.12a+12b E. 6a+9b F. 4a+8b举一反三： 小明有59根a厘米长的小棒和56根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个长方体框架长方体框架的棱长和是多少？ 小明有49根a厘米长的小棒和46根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个正方体框架正方体框架的棱长和是多少？ 小明有29根a厘米长的小棒和16根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了两个正方体框架正方体框架的棱长和是多少？长方体或正方体的切割组合对棱长的影响一，切割对正方体、正方体棱长的影响 切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。二、 组合对长方体、正方体棱长的影响 将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；（棱长减少的最多）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；（棱长减少的最少）将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条（公式：8（N1）例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？【分析】：五个正方体棱长共有125=60条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条；即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：14028=5cm；所以一个正方体的棱长和为：512=60cm。【知识点3】长方体、正方体的侧面展开图： 长方体的展开图有几种长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图：一四一式27种；二三一式18种；二二二式6种； 三三式3种，共计54种长方体的展开图判断： 展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的大小完全相同。 在同一行或同一列中，如有3个或4个长方形的， 其中同样大小的两个长方形中间一定只隔一个 其他的长方形。把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）分析：右图中，把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面，有“空心圆”的正方形做“上面”，显然是正方体C的展形图，故选（C）。 有一个长方体，它的侧面展开图是个正方形， 它的底面也是个正方形，那么底面正方形的边长是长方体高的 【分析】由题意得：将侧面展开后的图形为右图所示说明这个长方体的底面周长和高相等（半特殊化长方体）；因为底面也是正方形，说明底面周长就是正方形的周长，所以正方形的周长和高相等，正方形的周长是正方形边长的4倍，则长方体的高就是正方形的边长的4倍，即这个正方形的边长是长方体高的1/4有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度观察的结果如图所示，那么这个立方体1的对面是 ，3的对面是 ， 4的对面是 用红、黄、蓝、白、黑、绿这6种颜色分别涂在正方体的各面上，每一个面只涂一种颜色。如图所示，现有涂色方式完全一样的4块小正方体拼成了一个长方体。每个小正方体中，红色面的对面涂的是 色？黄色面的对面涂的是 色？黑色面的对面涂的是 色？ 下面是一个长方体的展开图，其中错误的是（ ）A. B. C. D.下图是长方体的展开图，已经给出有关数据，求出这个长方体的表面积和体积【分析】要会看图哎！由图意可知：这个长方体的长、宽、高分别为8分米、5分米和3分米，解答：长方体的表面积： 长方体的体积：=(85+53+38)2 =853=(40+15+24）2， =403 =792 =120立方分米 =158（平方分米） 这是一个长方体的展开图，请问此长方体的体积是多少立方厘米？解析：观察图形可知长+宽的和是 则可得高是 则这个长方体的长是 ，宽是 由此利用长方体的体积公式即可解答解答：经过折叠可以组合成正方体: 经过折叠可以组合成长方体：【知识点4】一定要按照棱长对棱长的方式去考虑小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要222=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即333=33=27个，依次类推接下来是444=43=64个；555=53=125个从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。要求能够熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由abc个小正方体组成的。练习：1、用棱长为3cm的小正方体拼棱长为9cm的大正方体需要（ ）个小正方体。 A、8个 B、27个 C、26个 D、64个2、一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（ ）块这样的小正方体。3、一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以（ ）块。从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？ 二、长方体和正方体的表面积和体积 静止型【知识点1】 判断正误两个棱长和相等的长方体，它们的表面积相等（ ）一个长方体和一个正方体的棱长和相等，它们的表面积相等（ ）两个棱长和相等的正方体，它们的表面积相等 （ ）表面积相等的两个长方体，它们的棱长和相等 （ ）表面积相等的一个长方体和一个正方体，它们的棱长和相等 （ ） 表面积相等的两个正方体，它们的棱长和也相等 （ ） 下面哪些问题跟长方体表面积有关。 （ ） A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C：求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（ ）。【知识点2】长方体、正方体表面积求法的变形：一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（ ）个面.贴商标类、通风管型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？ 一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？ 一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮? 游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。 一个长方体的长12厘米,高8厘米, 底面与左侧面的面积和为200平方厘米.求这个长方体的体积？一个长方体的表面积是66.16分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米。求长方体的体积一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如右图， 从四个角上剪去边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？【知识点3】棱长变化对棱长和、表面积、体积的影响：必须习惯并熟悉字母替代数字后，去考虑棱长的变化对长方体、正方体棱长和、表面积、体积的影响！棱长变化对正方体的棱长和、表面积、体积的影响正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。棱长变化对长方体的棱长和、表面积、体积的影响长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8；长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍；长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律。体积扩大abc倍。长方体长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ab倍长方体宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大bc倍 长方体长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ac倍练习：大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍。正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（ ）倍一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（ ）。正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（ ）倍。一个正方体的棱长为4厘米，扩大为2倍后，其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米比原来扩大了（ ）。一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（）；大正方体棱长之和是小正方体的（ ） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（ ）。 A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的2倍 C.等于大正方体表面积的3倍判断：一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。（ ） 正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。（ ） 有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。（ ） 棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍。（ ）【知识点4】表面积、体积与数论体系的结合 唯一的偶质数是2，是帮助我们解决质数问题的一个非常好条件，请时刻想起。以下是利用数论的特性与先天不足，一些和数论有关系的公式，我们只需要最多通过09这10个数字便可推导出，例： 奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数 奇数奇数=奇数； 奇数偶数=奇数 偶数偶数=偶数例1一个长方体，前面和上面的面积和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 【思路导航】长方体的前面与上面的面积和是长宽+长高=长（高+宽），由于长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=1119=11（17+2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。 为什么不写成209=1911，若是这样，11是个质数，两个质数的和是奇数，其中必有一个偶质数，唯一的偶质数是2，那么另一个数是9，不是质数，不合题意要求。长方体的体积：209=1119=11（17+2）=374 （立方厘米）表面积：（1117+112+172）2=486（平方厘米）练习：一个长方体，它的前面和上面的面积和是110平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积。用2100个棱长为1cm的正方体堆成一个长方体，它的高是1dm，且长大于宽大于高，这个长方体的长为 ；宽为 .三、长方体和正方体的表面积 静止非穿透型不规则型、挖N块型、置放N块型不规则型几何体表面积、体积的求解：【例题1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是1042=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10（62）2=80（立方厘米），整个零件的体积是802=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10610422）2=232（平方厘米）。练习：1.如图是一些棱长是1厘米的小正方体搭成的立体图形，如果要在基础上拼搭成一个长方体（不可以移动原有的小正方体），这个长方体的体积至少是 立方厘米，还需用 个这样的小正方体2. 将若干个完全相同的正立方体黏合而成如右的立体图形，若其表面积为270平方公分，则其体积= 立方公分挖N块型： 无论在哪里挖，原来体积挖出的体积=新的几何体的体积小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变。挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大。增大的面积为4-2=2个小正方体的面。 挖去的小正方体在面的位置，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大。增大的面积=5-1=4个小正方体的面。再复杂的并着挖的情况根据图例实际进行讨论。【例题1】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，856=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了222=8（立方厘米），这个零件的体积是2408=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（858665）2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（22）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（22）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236224=252（平方厘米）。【例题2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【思路导航】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600 【例题3】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【思路导航】原正方体的表面积是44696(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形从而，它的表面积是：9646120平方厘米。【例题4】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【思路导航】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑变化前后的表面积不变：50 50 6 15000(平方厘米)。2厘米【例题5】下图是最大的是一个棱长为2厘米的正方体，在这个大正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【思路导航】棱长为2厘米的大正方体的表面积为：226=24（平方厘米）；下挖的棱长为1厘米的正方形小洞，增加了四周4个面的面积=1144(平方厘米)，下挖的棱长为厘米厘米的正方形小洞，增加了四周4个面的面积=41(平方厘米)，下挖的棱长为厘米的正方形小洞，增加了四周4个面的面积=4(平方厘米)，这个立体图形的总表面积为：24 41(平方厘米).练习：1. 一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？3 右图是一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？4在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的6个面（不触及棱、角），12条棱上，上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？5. 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？6.（小学生数学报邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案) 置放型： 无论在哪儿放，原来的体积置放的体积新的几何体的体积 根据单一凹凸型的特性，放置一个，无论放哪里，新的几何体的表面积增加的是所置放小的几何体的四周面积。再复杂的，并着放置的情况根据图例实际进行讨论。【例题1】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积【思路导航】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面上下方向：(平方分米)；侧面：(平方分米)，(平方分米)这个立体图形的表面积为：(平方分米)【例题2】(2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_平方厘米【思路导航】（方法1）四个正方体的表面积之和为：(平方厘米)，重叠部分的面积为：(平方厘米)，所以，所得到的多面体的表面积为：(平方厘米)(方法2)三视图法从前后面观察到的面积为平方厘米,从左右两个面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为平方厘米表面积为(平方厘米)【例题3】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【思路导航】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2个上面个左面个前面上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米因此，这个立体图形的总表面积为：(平方厘米) 上下面 左右面 前后面练习： 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?有一个形状如右图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。如图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积挖完再置放型：如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如右图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？【较难】一个由棱长为N厘米的小正方体，构成棱长M厘米的大正方体。然后分别在大正方体的其中一个顶点处取出了一个小正方体、在其中两条棱上分别取出一个小正方体、其中三个面上各取出一个小正方体（在面的相对靠近中间位置）。并且随后将这些小正方体呈“一字长蛇阵”摆放在大正方体的上表面。请计算大正方体最终的体积和表面积是多少？四、长方体和正方体的表面积 静止穿透型切割型、拼接型 立体图形的切割：(切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题) 正方体对于正方体而言，无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，不存在增加最多最少的问题。增加的面积均为2a2 。 长方体 沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。1刀增加 2 面分成 2 段 2刀增加 面分成 段3刀增加 面分成 段 N刀增加 面分成 段【例题1】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是504=12.5（平方厘米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.56=75（平方厘米）。【例题2】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 【思路导航】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次，6112618(平方米)【例题3】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 【思路导航】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?练习：把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（ ）平方厘米。 用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ ）平方厘米。棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（ ）。一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加( )平方分米一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？ 把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？ 一根1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加( )平方厘米？ 一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高位1分米，锯三刀之后之后可以锯成6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？【较难】如图所示，在棱长为3的正方体中，由上到下，由左到右，由前到后的居中位置各钻一个洞，其洞口为一正方形，面积为1且洞深为3求所得几何体的总表面积立体图形的拼接：（组合只会使表面积减少，因此也存在减少最多或最少的问题）
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