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海淀区 2020-2021 学年第一学期期末练习高一数学2021.01学校班级姓名成绩考 1本试卷共 6 页,共三道大题,19 道小题. 满分 100 分. 考试时间 90 分钟.生 2在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名.须 3试题答案一律填涂或书写在试卷上.知 4考试结束,请将本试卷交回.一、选择题:本大题共10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.(1)已知集合U =1,2,3,4,5,6, A = 1,2,3 ,集合 A 与 B 的关系如图所示,则集合 B 可能是 A. 2 ,4 ,5 ( )B. 1 ,2 ,5 C. 1 ,6 BAUD. 1 ,3 (2) 若 p : x (0, +),x +1x2 ,则 p为( )A. $x(0, +), x +C. $x(0, +), x +1x1x22B. $x(0, +), x +D. x (0, +), x +1x1x2b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2b2B.1 1b | c |D.c -a c -b(6) 从数字 2, 3, 4, 6 中随机取两个不同的数,分别记为 x 和 y,则xy为整数的概率是( )A.16B.14C.12D.712高一年级(数学) 第1页(共10页)3 (7) 已知函数 f ( x) =2 x -5x,下列区间中含有 f ( x ) 的零点的是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)(8) 已知函数 f ( x ) =x2-2ax ,则“a 0, a 0, 且a 1)9植株高度y/mB. y =k log x +b (k 0, a 0, 且a 1)a8765C. y =kx+b (k 0)4321D.y =ax2+bx +c ( a 0)01 2 3 4 5 生长阶段x/年二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.(11)不等式 x2 -3x 0 的解集为_.(12)某超市对 6 个时间段内使用 A, B两种移动支付方式的支付方式A支付方式B次数用茎叶图作了统计,如图所示. 使用支付方式 A4 206 7的次数的极差为_;若使用支付方式 B 的次数1 05 31261m9的中位数为 17,则 m =_.(13)已知 a =log2131, b =2 3, c =1 2,则 a,b,c 的大小关系是_.(用“”连结)(14)函数 f ( x ) 的定义域为 D,给出下列两个条件: 对于 x , x D , 当 x x 时,总有 f ( x ) f ( x ) ;1 2 1 2 1 2 f ( x) 在定义域内不是单调函数.请写出一个同时满足条件的函数 f ( x ) ,则 f ( x ) =_. 高一年级(数学) 第2页(共10页)2 x2-2x,x a ,(15)已知函数 f ( x ) =-x-2x,x a.给出下列四个结论: 存在实数 a,使函数 f ( x ) 为奇函数; 对任意实数 a,函数 f ( x ) 既无最大值也无最小值; 对任意实数 a 和 k,函数 y = f ( x ) +k 总存在零点; 对于任意给定的正实数 m,总存在实数 a,使函数 f ( x ) 在区间 (-1,m) 上单调递减. 其中所有正确结论的序号是_.三、解答题:本大题共 4 小题,共 40. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (16)(本小题共9分)已知全集U =R,A =x | x -1| 2, B = x 0 x f (4x) .高一年级(数学) 第4页(共10页)(18)(本小题共 10 分)某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘,甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为 3 年. 现从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取 50 个,统计这些固态硬盘首次出现故 障发生在保修期内的数据如下:型号首次出现故障的甲乙时 间 x ( 年 )硬盘数(个)0 x 1 1 x 2 2 x 3 0 x 1 1 x 2 2 x 32 1 2 1 2 3假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.()从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个,试估计首次出现故障发生在保修期内的 概率;()某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个,试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第 3 年(即2 0, k 为给定的正实数,若函数 f ( x) =log (42x+a ) -x具有性质 P ( k ) ,求 a的取值范围.高一年级(数学) 第6页(共10页)2 x x海淀区 2020-2021 学年第一学期期末练习高一数学参考答案及评分建议一、选择题:题号答案1D2A3C4B5D6B7C8A9C10B二、填空题:(11)x | 0 x 3(12)23;8(13)acb(14)1x(答案不唯一)(15)注:第(11)题解答正确但未写成集合形式或集合书写不正确的得 3 分;第(12)题每空 2 分;第 (13)题写成 bca 的不扣分;第(14)题答案不唯一,只要解析式符合题意均得满分;第(15) 题分为 0 分,2 分和 4 分三档,不答或含有的得 0 分,答案是中的一个或两个的得 2 分,答 案是的得 4 分.三、解答题:本大题共 4 题,共 40.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(16)解:不等式| x -1|2 的解为 -1x 3,故 A =x -1x 3.2 分()AB =x -1 x 3 x 0 x 5 = x 0 x 3.5 分()A = x | x -1或 x 3 , U7 分( A) B = x | x -1或x 3 x 0 x 0 . U9 分(17)()证明:任取 x , x (0, +)1 2,且 x x 1 2,1 分则 f ( x ) - f ( x ) =( x - 1 2 11 1 ) -( x - )x x1 22 分=( x -x )(1 +1 21x x1 2)4 分,且 x x x , x (0, +)1 21 21 x -x 0 . 1 21 2 f ( x ) -f ( x ) 0.1 2,5 分高一年级(数学) 第7页(共10页)即 f ( x ) 0,4 x 0 ,7 分又函数 f ( x) 在区间 (0, +)上单调递增,且 f (2x +1) f (4x) , 2x +14x, 8 分 2x -11 , 9 分 x 1 .不等式的解集为 (-,1) . 10 分(18)解:()在图表中甲品牌的 50 个样本中,首次出现故障发生在保修期内的频率为5 1,即 .50 101 分 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个,其首次出现故障发生在保修期内为事件 A .2 分利用频率估计概率,得 P( A) =110.所以从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个,估计其首次出现故障发生在保修期内的1概率为 .104 分()在图表中甲品牌的 50 个样本中,首次出现故障发生在保修期第 3 年的频率为2 1,即 .50 25在图表中乙品牌的 50 个样本中,首次出现故障发生在保修期第 3 年的频率为350.5 分 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个,其首次出现故障发生在保修期内的第三年为事 件 B ,从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个,其首次出现故障发生在保修期内的第三年 为事件 C . 6 分利用频率估计概率,得 P ( B) =1 3 , P(C ) = .25 507 分P( BC +BC) =P ( B ) P(C ) +P ( B ) P (C )=P ( B )1-P (C ) +1 -P ( B )P (C )=1 3 1 3 (1 - ) +(1 - ) 25 50 25 501191250所以某人在该商城同时购买了甲、乙两个品牌的固态硬盘各一个,估计保修期内恰有一个首次出现故障的概率为1191250.10 分高一年级(数学) 第8页(共10页)0 0 0 a a a (19)解:()对于 ,对于任意实数 x,可得 | f ( x ) - f ( -x) |=|2021 -2021| =0 1 , 所以 g ( x ) 不具有性质 P (1).4 分()设二次函数 f ( x ) =ax 2 +bx +c (a 0)满足性质 P (k ).则对于任意实数 x, 满足 | f ( x) -f (-x) |=|ax2+bx +c -(ax2+bx +c) |=|2bx |k.5 分k若 b 0 , 则可取 x = 0 , 有 | f ( x ) - f ( -x ) |=|2bx |=2k k , 矛盾.0 | b |6 分所以 b =0, 此时 f ( x) =ax2+c (a 0)即 f ( x )为偶函数.7 分()由于 a 0, 函数 f ( x ) =log (42x+a ) -x的定义域为 R .易知 f ( x) =log (4 x +a) -x =log (2 x +a 2-x)2 2.若函数 f ( x) 具有性质 P ( k ),则对于任意实数 x, 有| f ( x) - f ( -x) |=|log (22x+a 2-x) -log (22-x +a 2x)|=|log22 x +a 2-x 2-x +a 2x|k .即 -k log22 x +a 2-x 2-x +a 2xk .8 分即 -k log24 x +a 1 +a 4xk .由于函数 y =log x 在 (0, +)上单调递增,2可得 2-k4 x +a 1 +a 4x2k.9 分即 2-k1a -1 +a 1 +a 4x2 k .当 a =1 时,得 2-k12k,对任意实数 x 恒成立.当 a 1时,易知 a -1a0 ,由 1 +a 4x11 ,得 0 1 ,得 0 1 +a 4x1a -a 1 +a 4x1a - ,a得1a -1 1 +a a 1 +a 4xa .依题意, 2-k1a -1 +a 1 +a 4x2k对任意实数 x 恒成立,高一年级(数学) 第9页(共10页)a a - k1 2-k ,所以 a 即1 a 2k.a 2k.当 a 11时,易知 a - 1 ,得 0 1a -a 1 +a 4x1a - ,a得1a -1 1 +a a 1 +a 4xa .依题意, 2-k1a -1 +a 1 +a 4x2k对任意实数 x 恒成立,a 2-k ,所以 1 即 1 a 2 2k .a.综上所述,a 的取值范围为 2-k,2k .11 分注:本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.高一年级(数学) 第10页(共10页)
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