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海淀区 2020-2021 学年第一学期期末练习高一数学2021.01学校班级姓名成绩考 1本试卷共 6 页，共三道大题，19 道小题. 满分 100 分. 考试时间 90 分钟.生 2在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名.须 3试题答案一律填涂或书写在试卷上.知 4考试结束，请将本试卷交回.一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.（1）已知集合U =1,2,3,4,5,6, A = 1,2,3 ，集合 A 与 B 的关系如图所示，则集合 B 可能是 A. 2 ，4 ，5 （ ）B. 1 ，2 ，5 C. 1 ，6 BAUD. 1 ，3 （2） 若 p : x (0, +),x +1x2 ，则 p为（ ）A. $x(0, +), x +C. $x(0, +), x +1x1x22B. $x(0, +), x +D. x (0, +), x +1x1x2b，则下列不等式一定成立的是（ ）A.a2b2B.1 1b | c |D.c -a c -b（6） 从数字 2, 3, 4, 6 中随机取两个不同的数，分别记为 x 和 y，则xy为整数的概率是（ ）A.16B.14C.12D.712高一年级（数学） 第1页（共10页）3 （7） 已知函数 f ( x) =2 x -5x，下列区间中含有 f ( x ) 的零点的是（ ）A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)（8） 已知函数 f ( x ) =x2-2ax ，则“a 0, a 0, 且a 1)9植株高度y/mB. y =k log x +b (k 0, a 0, 且a 1)a8765C. y =kx+b (k 0)4321D.y =ax2+bx +c ( a 0)01 2 3 4 5 生长阶段x/年二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在题中横线上.（11）不等式 x2 -3x 0 的解集为_.（12）某超市对 6 个时间段内使用 A, B两种移动支付方式的支付方式A支付方式B次数用茎叶图作了统计，如图所示. 使用支付方式 A4 206 7的次数的极差为_；若使用支付方式 B 的次数1 05 31261m9的中位数为 17，则 m =_.（13）已知 a =log2131, b =2 3, c =1 2，则 a，b，c 的大小关系是_.（用“”连结）（14）函数 f ( x ) 的定义域为 D，给出下列两个条件： 对于 x , x D , 当 x x 时，总有 f ( x ) f ( x ) ；1 2 1 2 1 2 f ( x) 在定义域内不是单调函数.请写出一个同时满足条件的函数 f ( x ) ，则 f ( x ) =_. 高一年级（数学） 第2页（共10页）2 x2-2x,x a ,（15）已知函数 f ( x ) =-x-2x,x a.给出下列四个结论： 存在实数 a，使函数 f ( x ) 为奇函数； 对任意实数 a，函数 f ( x ) 既无最大值也无最小值； 对任意实数 a 和 k，函数 y = f ( x ) +k 总存在零点； 对于任意给定的正实数 m，总存在实数 a，使函数 f ( x ) 在区间 (-1,m) 上单调递减. 其中所有正确结论的序号是_.三、解答题：本大题共 4 小题，共 40. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （16）（本小题共9分）已知全集U =R，A =x | x -1| 2， B = x 0 x f (4x) .高一年级（数学） 第4页（共10页）（18）（本小题共 10 分）某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为 3 年. 现从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取 50 个，统计这些固态硬盘首次出现故 障发生在保修期内的数据如下：型号首次出现故障的甲乙时 间 x （ 年 ）硬盘数（个）0 x 1 1 x 2 2 x 3 0 x 1 1 x 2 2 x 32 1 2 1 2 3假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.（）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的 概率；（）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第 3 年（即2 0， k 为给定的正实数，若函数 f ( x) =log (42x+a ) -x具有性质 P ( k ) ，求 a的取值范围.高一年级（数学） 第6页（共10页）2 x x海淀区 2020-2021 学年第一学期期末练习高一数学参考答案及评分建议一、选择题：题号答案1D2A3C4B5D6B7C8A9C10B二、填空题：（11）x | 0 x 3（12）23；8（13）acb（14）1x（答案不唯一）（15）注：第（11）题解答正确但未写成集合形式或集合书写不正确的得 3 分；第（12）题每空 2 分；第 （13）题写成 bca 的不扣分；第（14）题答案不唯一，只要解析式符合题意均得满分；第（15） 题分为 0 分，2 分和 4 分三档，不答或含有的得 0 分，答案是中的一个或两个的得 2 分，答 案是的得 4 分.三、解答题：本大题共 4 题，共 40.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（16）解：不等式| x -1|2 的解为 -1x 3，故 A =x -1x 3.2 分（）AB =x -1 x 3 x 0 x 5 = x 0 x 3.5 分（）A = x | x -1或 x 3 ， U7 分( A) B = x | x -1或x 3 x 0 x 0 . U9 分（17）（）证明：任取 x , x (0, +)1 2，且 x x 1 2，1 分则 f ( x ) - f ( x ) =( x - 1 2 11 1 ) -( x - )x x1 22 分=( x -x )(1 +1 21x x1 2)4 分，且 x x x , x (0, +)1 21 21 x -x 0 . 1 21 2 f ( x ) -f ( x ) 0.1 2，5 分高一年级（数学） 第7页（共10页）即 f ( x ) 0,4 x 0 ,7 分又函数 f ( x) 在区间 (0, +)上单调递增，且 f (2x +1) f (4x) , 2x +14x， 8 分 2x -11 , 9 分 x 1 .不等式的解集为 (-,1) . 10 分（18）解：（）在图表中甲品牌的 50 个样本中，首次出现故障发生在保修期内的频率为5 1，即 .50 101 分 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内为事件 A .2 分利用频率估计概率，得 P( A) =110.所以从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，估计其首次出现故障发生在保修期内的1概率为 .104 分（）在图表中甲品牌的 50 个样本中，首次出现故障发生在保修期第 3 年的频率为2 1，即 .50 25在图表中乙品牌的 50 个样本中，首次出现故障发生在保修期第 3 年的频率为350.5 分 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内的第三年为事 件 B ，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内的第三年 为事件 C . 6 分利用频率估计概率，得 P ( B) =1 3 ， P(C ) = .25 507 分P( BC +BC) =P ( B ) P(C ) +P ( B ) P (C )=P ( B )1-P (C ) +1 -P ( B )P (C )=1 3 1 3 (1 - ) +(1 - ) 25 50 25 501191250所以某人在该商城同时购买了甲、乙两个品牌的固态硬盘各一个，估计保修期内恰有一个首次出现故障的概率为1191250.10 分高一年级（数学） 第8页（共10页）0 0 0 a a a （19）解：（）对于 ，对于任意实数 x，可得 | f ( x ) - f ( -x) |=|2021 -2021| =0 1 , 所以 g ( x ) 不具有性质 P (1).4 分（）设二次函数 f ( x ) =ax 2 +bx +c (a 0)满足性质 P (k ).则对于任意实数 x, 满足 | f ( x) -f (-x) |=|ax2+bx +c -(ax2+bx +c) |=|2bx |k.5 分k若 b 0 , 则可取 x = 0 , 有 | f ( x ) - f ( -x ) |=|2bx |=2k k , 矛盾.0 | b |6 分所以 b =0, 此时 f ( x) =ax2+c (a 0)即 f ( x )为偶函数.7 分（）由于 a 0, 函数 f ( x ) =log (42x+a ) -x的定义域为 R .易知 f ( x) =log (4 x +a) -x =log (2 x +a 2-x)2 2.若函数 f ( x) 具有性质 P ( k )，则对于任意实数 x, 有| f ( x) - f ( -x) |=|log (22x+a 2-x) -log (22-x +a 2x)|=|log22 x +a 2-x 2-x +a 2x|k .即 -k log22 x +a 2-x 2-x +a 2xk .8 分即 -k log24 x +a 1 +a 4xk .由于函数 y =log x 在 (0, +)上单调递增,2可得 2-k4 x +a 1 +a 4x2k.9 分即 2-k1a -1 +a 1 +a 4x2 k .当 a =1 时，得 2-k12k，对任意实数 x 恒成立.当 a 1时，易知 a -1a0 ，由 1 +a 4x11 ，得 0 1 ，得 0 1 +a 4x1a -a 1 +a 4x1a - ，a得1a -1 1 +a a 1 +a 4xa .依题意， 2-k1a -1 +a 1 +a 4x2k对任意实数 x 恒成立，高一年级（数学） 第9页（共10页）a a - k1 2-k ,所以 a 即1 a 2k.a 2k.当 a 11时，易知 a - 1 ，得 0 1a -a 1 +a 4x1a - ，a得1a -1 1 +a a 1 +a 4xa .依题意， 2-k1a -1 +a 1 +a 4x2k对任意实数 x 恒成立，a 2-k ,所以 1 即 1 a 2 2k .a.综上所述，a 的取值范围为 2-k,2k .11 分注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.高一年级（数学） 第10页（共10页）
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