数值分析-第一讲误差.ppt

,欢迎您选修 数值分析,朱立永,北京航空航天大学 数学与系统科学学院,“诸位在校，有两个问题应该自己问问， 第一，到浙大来做什么？ 第二，将来毕业后做什么样的人？” - 竺可桢,老校长的两句话刻在浙大紫金港校区的一块大石上,这一讲的主要内容,数值分析是做什么的？ 数值分析这门课程的主要内容 这门课程的特点及学习方法 数值分析中的基本概念: 误差,数值计算（分析）是做什么的？,1、天体力学中的Kepler方程,x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数,非线性方程的数值解法!,全球定位系统：在地球的任何一个位置，至少可以同时收到4颗以上卫星发射的信号,2、全球定位系统（Global Positioning System, GPS),表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为 ，则得到下列非线性方程组,非线性方程组的数值方法!,记为,其中,3、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温,插值法!,4、铝制波纹瓦的长度问题,建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.,这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.,数值积分!,数值分析是做什么用的？,研究(构造）使用计算机求解各种科学 与工程计算问题的数值方法 对求得的数值解的精度进行评估（误 差，稳定性） 如何在计算机上实现求解,科学计算的重要性, 科学计算是工程实践的重要工具 在生命科学、航天航空、地质勘探、汽车制造、桥 梁设计、天气预报等领域中有广泛的应用， 产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计 算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和 计算材料学等， 数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。 科学计算是继理论与实验后另一科学研 究手段 ，（第三种科学方法:计算机时代的科学计算，石钟慈，暨南大学出版社 ）,本课程数值分析讲课范围,误差（第1章) 线形方程组的解法（第2章) 矩阵特征值和特征向量的计算（第3章) 函数求根，非线性方程和方程组求解（第4章) 函数插值，逼近，正交多项式（第5章) 数值积分（第6章) 数值微分和常微分方程数值解差分法（第7章) 偏微分方程数值解简介（第8章选讲内容),主要教材 颜庆津，数值分析。北航出版社，2006。 数值逼近参考书 李庆扬，王能超，易大义：数值分析。清华大学出版社，2001。 李岳生，黄友谦：数值逼进。北京人民教育出版社，1979。 王德人、杨忠华，数值逼近引论，高等教育出版社，1990 王仁宏，数值逼近，北京：高等教育出版社，1999 徐萃薇：计算方法引论。北京高等教育出版社，1985。 数值代数参考书 曹志浩，数值线性代数，上海：复旦大学出版社，1996. 徐树方，矩阵计算的理论与方法，北京大学出版社，1995. 微分方程数值解参考书 李立康、於崇华、朱政华，微分方程数值解法，复旦大学出版社，1999 陆金甫、关 治，微分方程数值解法（第二版），北京：清华大学出版社，2004 综合类（数值分析与科学计算、习题、实验等）参考书 蔡大用，数值分析与实验学习指导，北京：清华大学出版社，2001 Numerical Recipes(数值方法库） in C/Matlab/Fortran/C+, 其他 http:/en.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis Software：IMSL，NAG，MATLAB,参考资料,本门课程的特点,既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征 各部分内容相对独立,学习要求,掌握各种方法的基本原理与构造方法 重视各种方法的误差分析 掌握经典方法的程序代码,其它要注意的几点,结合自己的研究方向，有重点地学习，最好能带着研究课题中的问题来学习 对每一类问题，不但要掌握求解方法的基本原理，还要掌握一套自己的程序代码 课前一定要做好预习和准备（按专题讲解） 课后要认真完成作业和上机练习 有问题要及时问，（答疑时间和地点?) 办公室：图书馆西配楼519室， Email：numerical_,数值分析中的基本概念：误差,误差的来源,现 实 世 界,研究 对象,测量 数据,数学模型的建立,数值计算方法,程序设计,测量 误差,模型误差,截断误差(方法误差),舍入误差,上机计算 求得结果,误差的分类（1/4）,通过对实际问题进行抽象、简化得到的数学模型，与实际现象之间必然存在误差，这种误差称之为模型误差。,误差的分类（2/4）,一般数学问题包含若干参量，他们的值往往通过观测得到，而观测难免不带误差，这种误差称之为观测误差。,4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米）处的水温,误差的分类（3/4）,由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其运算结果在计算机上存放会产生误差，这种误差称之为舍入误差。,舍入误差与机器字长紧密相关!,例如：在十位十进制下，会出现： 1/3=0.333 333 333 3,将 e-x2 作Taylor展开后再积分,截断（方法）误差: 求解数学模型所用的数值计算 方法如果是一种近似的方法，那么只能得到近似解， 由此产生的误差称为截断误差或方法误差,1.2.2 误差与有效数字 /* Error & Significant Digits */, 绝对误差 /* absolute error */,|e|的上限记为，称为绝对误差限 /* accuracy*/,工程上常记为xa，例如：,e=x-a, 其中x为精确值，a为x的近似值。,实际应用中，精确解往往无法得到！, 相对误差 /* relative error */,相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为,实际应用中：,思考题1：实际应用中，用a取代x合理吗？为什么？,（提示：当绝对误差限较小时，两者的差为相对误差限的高阶无穷小量，可以忽略）,当 较小时，因两者的差为:,有效数字 定义：如果近似值a的误差限是某一位数的半个单位， 则称a准确到小数点后n位，并从第一个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。 例：3.1415926535, 3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。 例： a=0.0034000.5E-5近似值准确到小数点后 五位，有三位有效数字。,1.2.3 函数求值的的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/,问题：对于 y = f (x)，u=f(a),若用a 取代x，将对y 产生什么影响？,分析：e(u) = f (x) f (a) e(a) = x a,中值定理（Mean Value Theorem）,= f ( )(x a),a 与 x 非常接近时，可认为 f ( ) f (a) ，则有： |e(u)| | f (a)|e(a)|, (u)=|f(a)|.(a),即：a 产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f (a)|倍。故称| f (a)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.,f 的条件数在某一点是小大，则称 f 在该点是好条件的 /* well-conditioned */ 坏条件的 /* ill-conditioned */。,f的条件数,特别情况u=f（x）：,多元函数u=f（x1，xn）：,误差的四则运算,例 求积分,由 可得 算法1： 算法2： 首先给出两种算法的初始值：,误差分析的重要性,两种算法与真实值的比较,说明,在上表中， 是算法1计算的值， 是算法2计算的值，而 是真实值的一个近似。从上表我们不难直观的得出结论：随着n的增大，算法一的出来的值是越来越偏离真实值，我们可以说，算法1是不稳定的。 定义：对于某个算法，若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的。,在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,4. 数值运算中误差分析的方法与原则,数值运算总是在一个预先设计好的算法中进行的，所谓算法就是一个有限的基本运算序列。这个序列预定了怎样从输入数据去计算出问题的解。由于运算是在计算机上进行的，而计算机的字长有限，因而产生舍入误差。为减小舍入误差的影响，设计算法时应遵循以下一些原则：,要避免除数绝对值远远小于被除数的绝对值的除法,要避免两相近数相减,要防止大数“吃掉”小数,注意简化计算步骤，减少运算次数,5 Remarks,避免相近的两数相减 (会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做). 例 各有五位有效数字的23.034与22.993相减. 23.034-22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生. 例 当 x 较大时,计算,防止”大数”吃”小数” 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数吃掉从而引起计算结果很不可靠. 例:求 两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另一种等价的形式.,注意简化计算步骤，减少运算次数,例 已知 a0, a1, a2 , an, x, 计算多项式： 直接计算：运算量（乘） 秦九韶算法（1247年）：,运算量,作业,Page 12-13: 习题：1，3，5，7，8. 阅读Numerical Recipes in C： page 19-21. 关于误差和稳定性的内容。,