理论力第六章

第六章：分析力学第六章：分析力学6.1 约束约束 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 力学系统：力学系统：由相互作用着的质点所构成由相互作用着的质点所构成的系统，或称为的系统，或称为力学体系力学体系或或体系体系 位形：位形：力学系中各质点的位置状态称为力学系中各质点的位置状态称为力学系的位形。包含力学系的位形。包含 n 个质点的力学系个质点的力学系位形需要位形需要 3n 个坐标参量来确定个坐标参量来确定 约束：约束：在一个力学体系中，如若存在一在一个力学体系中，如若存在一些限制质点自由运动的条件，则这些限些限制质点自由运动的条件，则这些限制条件称为约束（其表现为在运动过程制条件称为约束（其表现为在运动过程中各质点位置和速度必须满足一定的关中各质点位置和速度必须满足一定的关系）系）力学体系的约束可以表示为力学体系的约束可以表示为约束方程约束方程若约束只是限制各质点的几何位置，则称若约束只是限制各质点的几何位置，则称为为几何约束几何约束nitzyxfiii,2,1,0,若约束方程中还包含有速度变量，则称这若约束方程中还包含有速度变量，则称这种约束为种约束为微分约束微分约束nitzyxzyxfiiiiii,2,10,例如：例如：a)长为长为 l 的刚性轻杆，一端被光滑的刚性轻杆，一端被光滑铰链悬挂在铰链悬挂在 o 点，另一端与小球连接组成点，另一端与小球连接组成球面摆，在直角坐标系小球约束方程为球面摆，在直角坐标系小球约束方程为02222lzyxb)半径为半径为 R 的车轮沿水平直线轨道无滑滚的车轮沿水平直线轨道无滑滚动，由于接触点速度为零，则约束方程为动，由于接触点速度为零，则约束方程为00cCyRxRyRxcC不随时间变化的约束称为为不随时间变化的约束称为为稳定约束稳定约束若约束明显地随时间变化，则称为若约束明显地随时间变化，则称为不稳不稳定约束定约束0,zyxf0,tzyxf 对于完整系，确定系统位置所需要的独对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目，称为该系统的立坐标的数目，称为该系统的自由度自由度对于具有对于具有n个质点的力学体系，若存个质点的力学体系，若存在在k个约束方程，则确定体系位形变化个约束方程，则确定体系位形变化的的3n个坐标参量中有个坐标参量中有s=3n-k个参量可个参量可以独立变化，其中以独立变化，其中 s 称为体系的称为体系的自由自由度度自由度为4！0constAzl 广义坐标：广义坐标：在给定的约束条件下能完全在给定的约束条件下能完全确定系统位置的一组独立变量称为系统确定系统位置的一组独立变量称为系统的广义坐标的广义坐标BBAAyxyx,AAyx对于一个给定的系统，广义坐标的数目是对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但广义坐标的选择不是唯一的！一定的，但广义坐标的选择不是唯一的！广义坐标的表示：广义坐标的表示：广义坐标一般用符号广义坐标一般用符号 q 表示，如果系统有表示，如果系统有s个自由度，就需要个自由度，就需要 s 个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标sqqq,21sq,2,1或或力学体系中每个质点的直角坐标都可以力学体系中每个质点的直角坐标都可以表示为广义坐标的函数，其变换关系称表示为广义坐标的函数，其变换关系称为为坐标变换方程坐标变换方程),(21tqqqxxsii)3,2,1(ni,AAyx如果选用如果选用 作为广义坐标作为广义坐标则坐标变换方程为：则坐标变换方程为：cos,sinsin,cossin0,lzlyylxxzyyxxBABABAAAAA广义坐标对时间的导数称为与广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的该广义坐标对应的广义速度广义速度：qtqdd系统状态由广义坐标和广义速度共同描述系统状态由广义坐标和广义速度共同描述6.2 虚功原理虚功原理（一）实位移和虚位移（一）实位移和虚位移质点在真实运动中的位移称为质点在真实运动中的位移称为实位移实位移，是由真实运动产生，是由真实运动产生，与一定的时间相对应，由动力与一定的时间相对应，由动力学方程、初始条件和约束方程学方程、初始条件和约束方程确定。在时间确定。在时间dtdt之内，质点的之内，质点的实位移只有一个。实位移只有一个。kzj yi xrdddd质点在满足当时约束条件下一切可能的质点在满足当时约束条件下一切可能的无限小位移，称为该时刻质点的无限小位移，称为该时刻质点的虚位移虚位移质点的虚位移用质点的虚位移用 表示表示rkzj yi xr称为坐标的变分，与微分运算规则完全称为坐标的变分，与微分运算规则完全一致一致xyz，为为 沿坐标轴方向的投影，沿坐标轴方向的投影，r 虚位移和实位移的区别与联系虚位移和实位移的区别与联系虚位移和实位移都必须满足虚位移和实位移都必须满足约束条件！虚位移是在时间约束条件！虚位移是在时间没有变化，即没有变化，即dt=0dt=0时所设想时所设想的位移，并不曾发生，有无的位移，并不曾发生，有无穷多个可能性；而实位移则穷多个可能性；而实位移则是在是在dt0dt0时间内发生的真实时间内发生的真实位移位移（二）理想约束和虚功原理（二）理想约束和虚功原理作用在质点上的力作用在质点上的力F与质点任一虚位移与质点任一虚位移 的标积，称为此力在虚位移中的的标积，称为此力在虚位移中的虚功虚功rrFFW虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能量转化过程与之联系。对于处于平衡状态量转化过程与之联系。对于处于平衡状态的体系，作用在各质点上的力（主动力和的体系，作用在各质点上的力（主动力和约束力）所做的虚功之和为约束力）所做的虚功之和为0 0若体系中各个约束力所做的虚功之和等若体系中各个约束力所做的虚功之和等于零，则这种约束称为于零，则这种约束称为理想约束理想约束01inirF光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约束，受这些约束的质点，约束力恒与相应束，受这些约束的质点，约束力恒与相应的虚位移垂直的虚位移垂直!如两个质点（研究对象）被不可伸长的如两个质点（研究对象）被不可伸长的轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束，面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束，固定点约束等。固定点约束等。虚功原理：虚功原理：受理想约束的力学系统，保持受理想约束的力学系统，保持平衡的必要条件是作用于该系统的全部主平衡的必要条件是作用于该系统的全部主动力在任意虚位移中的虚功之和为零动力在任意虚位移中的虚功之和为零01inirFW01niiziyixzFyFxF在直角坐标系在直角坐标系OxyzOxyz中有中有虚功原理是分析力学中解决静力学问题虚功原理是分析力学中解决静力学问题的基本原理，提供了解决各类力学体系的基本原理，提供了解决各类力学体系（质点、质点组、刚体等）静力学问题的（质点、质点组、刚体等）静力学问题的统一方法，有很大的普适性统一方法，有很大的普适性对虚功原理不是用静止的观点去解决静对虚功原理不是用静止的观点去解决静力学问题，而是采用变动的观点，在变动力学问题，而是采用变动的观点，在变动（虚位移）中寻找平衡的条件（虚位移）中寻找平衡的条件虚功原理与牛顿力学不同，分析力学的虚功原理与牛顿力学不同，分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上，方法不是将注意力放在区分内力和外力上，而是放在区分主动力和约束力上。虚功原而是放在区分主动力和约束力上。虚功原理只涉及到主动力（外力和内力中的），理只涉及到主动力（外力和内力中的），而未知的约束力不会在虚功原理中出现。而未知的约束力不会在虚功原理中出现。这是此原理的突出优点。这是此原理的突出优点。对虚功原理中所说的主动力所做虚功之对虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零，是对任意的虚位移而言的，不是和为零，是对任意的虚位移而言的，不是针对特殊的虚位移。针对特殊的虚位移。（三）虚功原理的广义坐标表述和广义（三）虚功原理的广义坐标表述和广义力力),(21tqqqxxsii则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位移之间的存在关系移之间的存在关系ttxqqxxisii1)3,2,1(ni0 t代入虚功原理的表达式可得代入虚功原理的表达式可得0131131 qqxFqqxFWsniiisinii可写为可写为022111sssqQqQqQqQWniiisqxFqWtqqqQ3121;,其中其中称为广义力在方向称为广义力在方向 上的分量，所有这上的分量，所有这些力的分量构成的总体些力的分量构成的总体 则是作用在体则是作用在体系上的广义力系上的广义力QsQ,2,10根据广义根据广义平衡方程平衡方程由于广义坐标是描写力学体系位形的独立由于广义坐标是描写力学体系位形的独立参量，因此他们的虚位移变更也都分别相参量，因此他们的虚位移变更也都分别相互独立，则虚功原理的广义坐标表述的物互独立，则虚功原理的广义坐标表述的物理意义为：理意义为：体系处于平衡时广义力的各分体系处于平衡时广义力的各分量均为零量均为零（体系静平衡的广义平衡方程体系静平衡的广义平衡方程）0;,21tqqqQs),2,1(s从上述从上述s个体系的平衡方程可以解得体系个体系的平衡方程可以解得体系处于平衡位形时未知的主动力！处于平衡位形时未知的主动力！例题例题 课本课本176，例题，例题6.1，例题，例题6.26.3 从牛顿力学到拉格朗日方程从牛顿力学到拉格朗日方程（一）达朗贝尔原理（一）达朗贝尔原理研究研究n n个质点组成的体系，每个质点的个质点组成的体系，每个质点的运动都服从牛顿定律：运动都服从牛顿定律：nFFrmiiii,2,1 nrmFFiiii,2,10 意义意义：如果把：如果把 当作作用在质点上当作作用在质点上的力看待，那么任何瞬时作用在体系的力看待，那么任何瞬时作用在体系中任意质点中任意质点i上的主动力上的主动力 ，约束力，约束力，和力，和力 总是平衡的，质点的动力总是平衡的，质点的动力学方程转化为静力学方程，此平衡原学方程转化为静力学方程，此平衡原则称为则称为达朗贝尔原理达朗贝尔原理iirm iirm iFiFiirm 称为逆效力或达称为逆效力或达朗贝尔惯性力朗贝尔惯性力以静制动以静制动!达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程01iniiiiirrmFFW 根据虚功原理，体系的静平衡条件为：根据虚功原理，体系的静平衡条件为：只考虑理想约束体系：只考虑理想约束体系：01iniirF01iniiiirrmFW 得到得到在理想约束下，运动的每一瞬间系统在理想约束下，运动的每一瞬间系统所受主动力和逆效力的虚功之和为零所受主动力和逆效力的虚功之和为零 基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程考虑考虑n n个质点组成的自由度为个质点组成的自由度为s s的体系：的体系：qrqriistqrrii,2,1,先证明下述两个恒等式先证明下述两个恒等式qrtrqqrtiiiddddstqrrii,2,1,1ddsiiiirrrrqtqtqrqriiqtrqqqrqrtisii212ddtrqtrqqrqiisidd101iniiiirrmFW trqqrrtisii1ddsiiqqrr1将坐标变分代入虚功原理将坐标变分代入虚功原理得到得到011nisiiiiiqqrrmqrF 定义广义力定义广义力niiiqrFQ1由于由于s 个广义坐标的变分各自独立，得到个广义坐标的变分各自独立，得到011qqrrmQsniiii Qqrrmniiii1 niiiiniiiiniiiiniiiiqrtrmqrrtmqrtrmqrrm1111dddddd niiiiniiiiniiiiqrrmqrrtmqrrm111dd niiiniiiqrmqrtm12122121ddsQqTqTt,2,1dd受理想约束的拉格朗日方程受理想约束的拉格朗日方程 有势系的拉格朗日方程有势系的拉格朗日方程对于有势体系，广义力为对于有势体系，广义力为qVqrrVqrFQniiiniii11则拉格朗日方程变为则拉格朗日方程变为qVQqTqTtdd0qV0ddqVTqVTt移项整理得移项整理得把把 定义为拉定义为拉格朗日函数，则拉格朗日方程变为格朗日函数，则拉格朗日方程变为tqVtqqTtqqL;,;,sqLqLt,2,10dd受理想约束的有势系的拉格朗日方程受理想约束的有势系的拉格朗日方程 循环坐标和广义动量积分循环坐标和广义动量积分拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称为力学系的广义动量为力学系的广义动量qTqLp若广义坐标若广义坐标 为线坐标，则为线坐标，则 是线动量是线动量若广义坐标若广义坐标 为角坐标，则为角坐标，则 是角动量是角动量pqpq若某一广义坐标若某一广义坐标 在拉格在拉格朗日函数中不出现，则有朗日函数中不出现，则有0qLq根据拉格朗日方程可得根据拉格朗日方程可得0ddqLt则其所对应的第一积分为则其所对应的第一积分为Const.pqL在体系的拉格朗日函数在体系的拉格朗日函数 L内不出现的广义内不出现的广义坐标，称为该体系的坐标，称为该体系的循环坐标循环坐标，其所对应，其所对应的第一积分为该循环坐标的的第一积分为该循环坐标的广义动量积分广义动量积分6.4 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用例题例题6.46.4：体现了拉格朗日方程在力学体现了拉格朗日方程在力学体系的运动时的优势体系的运动时的优势 例题：一半径为例题：一半径为r，质量为，质量为m 的小圆柱体沿一的小圆柱体沿一固定的半径为固定的半径为R 的圆柱面内表面做纯滚动，用的圆柱面内表面做纯滚动，用拉格朗日方程求圆柱体在其平衡位置（最低点拉格朗日方程求圆柱体在其平衡位置（最低点）附近做微振动的周）附近做微振动的周期期。6.6 哈密顿函数和正则方程哈密顿函数和正则方程n n个质点组成的自由度为个质点组成的自由度为s s的力学体系：的力学体系：LqqLLqptpppqqqHtpqHssss112121;,;,;,称为哈密顿函数称为哈密顿函数(或哈密顿量或哈密顿量)，是广义坐，是广义坐标和广义动量的函数。标和广义动量的函数。在稳定约束下，动能是广义速度的二次在稳定约束下，动能是广义速度的二次齐次函数齐次函数2211Ta q q 对于仅有两个广义坐标的系统：对于仅有两个广义坐标的系统：22222121122111212qaqqaqaqqaT则可得则可得：TqaqqaqaqqTqqTqqT222222221122111221121同理，对于具有同理，对于具有s s个广义坐标的力学体系个广义坐标的力学体系有有TqqaqqTsss22111在稳定约束情形下，哈密顿函数就是力在稳定约束情形下，哈密顿函数就是力学系的总机械能函数学系的总机械能函数系统的动能为广义速度的二次齐次函数时，系统的动能为广义速度的二次齐次函数时，哈密顿函数变为哈密顿函数变为VTVTqqTLqqLLqppppqqqHpqHsssss1112121,;,对于不稳定约束系统对于不稳定约束系统：012TTTT VTTVTTTTTVTqqTLqqLLqptpqHsss02012121112,LqptpqHs1,LqppqHsdddd1考察在无限小时间变化内哈密顿函数的考察在无限小时间变化内哈密顿函数的改变改变：stqqLL,2,1;,拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和时间的函数时间的函数：ttLqqLqqLLssdddd11ttLqpqpLsdddd1LqppqHsdddd1(1)(2)(3)ttLqppqHsdddd1将将(2)(2)代入代入(3)(3)得：得：ttHqqHppHHsdddd1stpqHH,2,1;,(4)(5)对比（对比（4 4）和（）和（5 5）两式可得到下述方程组）两式可得到下述方程组sqHppHq,2,1称为哈密顿称为哈密顿正则方程正则方程，其为力学系的运，其为力学系的运动方程，广义坐标和广义动量则称为力动方程，广义坐标和广义动量则称为力学系的学系的正则变量正则变量.例题：例题：半径为半径为r质量为质量为M的均质圆盘的均质圆盘,其其盘心盘心C处系一细绳并绕过滑轮处系一细绳并绕过滑轮O，绳的另，绳的另一端系一质量为一端系一质量为m的重物，圆盘在水平的重物，圆盘在水平面上作纯滚动，不计滑轮质量。试用哈面上作纯滚动，不计滑轮质量。试用哈密顿正则方程求盘心的加速度及盘沿与密顿正则方程求盘心的加速度及盘沿与地面的摩擦力（初始时刻地面的摩擦力（初始时刻m在在O点处）。点处）。解：解：体系的自由度为体系的自由度为1 1，选取，选取 为广义坐为广义坐标，设圆盘做纯滚动的角速度为标，设圆盘做纯滚动的角速度为cxrxrxcc体系的动能为体系的动能为222212121ccxmIxMT222221212121cccxmrxMrxMT222143ccxmxMT以以O点为势能零点，则体系的势能为点为势能零点，则体系的势能为cmgxV则体系的拉格朗日函数为则体系的拉格朗日函数为ccmgxxmMVTL22341LqptpqHs1,21324ccHTVMm xmgx则体系的哈密顿量为则体系的哈密顿量为1322cccTpMm xx232ccpxMm(1)(2)代入正则方程有代入正则方程有2132322cccccccpHxpMm xpMmHpmgx 将将(2)代入（代入（1），得），得232ccpHmgxMm得到体系的运动学方程为得到体系的运动学方程为mgxmMc 2321mMmgxc232 对于圆盘和重物系统由牛顿第二定律可对于圆盘和重物系统由牛顿第二定律可得得cxmMfmg 则圆盘与底面的摩擦力为则圆盘与底面的摩擦力为mMMmgxmMmgfc23 用正则方程建议系统运动微分方程小结用正则方程建议系统运动微分方程小结1)1)确定自由度，选择广义坐标确定自由度，选择广义坐标2)2)写出系统相对于惯性系的动能和势能，写出系统相对于惯性系的动能和势能，写出拉格朗日方程；求出广义动量，反解写出拉格朗日方程；求出广义动量，反解出广义速度；再代入出广义速度；再代入H函数消去广义速度，函数消去广义速度，使得使得H表达为广义坐标和广义动量的函数。表达为广义坐标和广义动量的函数。4)4)将将H代入正则方程，得出系统运动微分代入正则方程，得出系统运动微分方程方程tpqH,