2019-2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第一课时二维形式的柯西不等式练习新人教A版选修4-5

第一课时二维形式的柯西不等式基础达标1.设a(2，1，2)，|b|6，则ab的最小值为A.18B.6C.18 D.12解析|ab|a|b|，|ab|18，18ab18，ab的最小值为18，故选C.答案C2.已知xy1，那么2x23y2的最小值是A. B. C.D.解析2x23y2(x)2(y)2()2()2(xy)2(xy)2.当且仅当2x3y，即x，y时等号成立.答案B3.函数y2的最大值是A. B. C.3 D.5解析根据柯西不等式，知y12，当且仅当2，即x时，等号成立.答案B4.设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_.解析根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.答案5.设a、bR且ab2.求证：2.证明根据柯西不等式，有(2a)(2b)()2()2(ab)24，2，当且仅当，即ab1时等号成立.原不等式成立.能力提升1.已知a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值是A.3B.4C.5 D.6答案C2.已知2x2y21，则2xy的最大值是A. B.2C. D.3解析2xy，故选C.答案C3.已知p，qR，且p3q32，则pq的最大值为A.2 B.8C. D.4答案A4.设a，b，c，d，m，n都是正实数，P，Q，则P、Q间的大小关系为A.PQ B.PQC.PQ D.PQ答案B5.如果实数m，n，x，y满足m2n2a，x2y2b，其中a，b为常数，那么mxny的最大值为A. B.C. D. 解析由柯西不等式，得(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab，当mn，xy时，mxny.答案B6.已知a、b、c都是正数，且abbcca1，则下列不等式中正确的是A.(abc)23 B.a2b2c22C.2 D.abc答案A7.函数y34的最大值为_.解析y2(34)2(3242)()2()225(x56x)25，当且仅当34，即x时等号成立.函数y的最大值为5.答案58.已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_.解析根据二维形式的柯西不等式的代数形式知(a2b2)(c2d2)(acbd)2，可得(ambn)(bman)(ambn)(anbm)()2mn(ab)2212，当且仅当，即mn时，取得最小值2.答案29.函数y的最大值为_.解析y，y1.答案10.已知a，bR，且ab1.求证：(axby)2ax2by2.证明设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n|，(axby)2ax2by2.11.已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4.(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值.解析(1)由|xa|b，得baxba，则解得a3，b1.(2)24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.12.已知、(0，)，且cos cos cos()，试求、的值.解析已知等式可化为sin sin (1cos )cos cos .将式平方得sin sin (1cos )cos 2sin2(1cos )2(sin2cos2)2(1cos )，2(1cos )0.0，cos .(0，)，代入已知得.