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四川大学数学学院 邓瑾四川大学数学学院 邓瑾解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:(,)0zf x y 底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：以侧面：以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”D),(yxfz 2四川大学数学学院 邓瑾D(,)zf x y 1)“大化小大化小”用任意曲线网分用任意曲线网分D为为 n 个区域个区域12,n 以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个k (,),kk 3)“近似和近似和”1nkkVV 1(,)nkkkkf (,)kkf(,)(1,2,)kkkkVfkn 那那么么中任取一点中任取一点小曲顶柱体小曲顶柱体k(,)kk 3四川大学数学学院 邓瑾4)“取极限取极限”k 定定义义的的直直径径为为 1212()maxkkP PP,P 令令 1max()kk n 01lim(,)nkkkkVf (,)zf x y(,)kkfk(,)kk 4四川大学数学学院 邓瑾2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,(,),x yC 计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为(,)(),x y 若若常常数数设设D 的面积为的面积为,那么那么M 假设假设(,)x y 非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”处置处置.1)“大化小大化小”用任意曲线网分用任意曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域12,n相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.Dyx5四川大学数学学院 邓瑾2)“常代变常代变”中任取一点中任取一点k 在在每每个个(,),kk 3)“近似和近似和”1nkkMM 1(,)nkkkk 4)“取极限取极限”1max()kk n 令令01lim(,)nkkkkM k (,)kk (,)(1,2,)kkkkMkn 则第则第 k 小块的质量小块的质量yx6四川大学数学学院 邓瑾两个问题的共性：两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”01lim(,)nkkkkVf 01lim(,)nkkkkM 曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:7四川大学数学学院 邓瑾二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:(,)f x y设设将区域将区域 D 任意分成任意分成 n 个小区域个小区域(1,2,),kkn 任取一点任取一点(,),kkk 若存在一个常数若存在一个常数 I,使使01lim(,)nkkkkIf 可积可积,(,)f x y则则称称(,)dDf x y (,)If x y称称 为为在在D上的二重积分上的二重积分.,x y称称为为积积分分变变量量积分和积分和(,)dDf x y 积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,8四川大学数学学院 邓瑾(,)dDVf x y 引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:(,)dDMx y 引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:假如假如 在在D上可积上可积,(,)f x y也常也常d d d,x y二重积分记作二重积分记作(,)d d.Df x yx y ,kkkxy 这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作(,)ddDf x yxy (,)ddDx yxy 若函数若函数(,)f x y(,)f x y定理定理1.在在D上可积上可积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,那么那么xyo9四川大学数学学院 邓瑾三、二重积分的性质三、二重积分的性质1.(,)(,)dDf x yg x y 122.(,)d(,)d(,)dDDDf x yf x yf x y 3.(,)1,Df x y 若若在在 上上1 ddDD 为为D 的面积的面积,那么那么 1212(,)DDDDD 无无公公共共内内点点(,)d(,)dDDf x yg x y(a,b为常数为常数)10四川大学数学学院 邓瑾特别特别,由于由于(,)(,)(,)f x yf x yf x y (,)dDf x y 那那么么(,)dDf x y (,)dDx y 4.若在若在D上上(,)f x y(,),x y (,)dDf x y 5.设设max(,),min(,),DDMf x ymf x y D 的面积为的面积为,(,)dDmf x yM 则有则有11四川大学数学学院 邓瑾6.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)(,)f x y设设函函数数(,),D (,)(,)Df x y df 证证:由性质由性质5 可知可知,1(,)dDmf x yM 由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点(,)D 1(,)(,)dDff x y (,)d(,)Df x yf 在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因而因而12四川大学数学学院 邓瑾xyoD7.设函数设函数(,)f x yD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,(1)(,)(,),f xyf x y若若(2)(,)(,),f xyf x y 若若(,)dDf x y (,)d0Df x y 当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍有仍有类似结果类似结果.1D在在 D 上上12(,)dDf x y 在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,那么那么那么那么13在第一象限部分在第一象限部分,则有则有221,:1DD xy 如如为为圆圆域域22()ddDxyxy ()ddDxyxy 1224()ddDxyxy 0 四川大学数学学院 邓瑾例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:23()d,()dDDxyxy 其中其中22:(2)(1)2Dxy解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1xy323()()xyxy 22(2)(1)2xy 它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),1.xy 与与直直线线相相切切而域而域 D 位位1,xy从而从而23()d()dDDxyxy 于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 1y2xo1D14四川大学数学学院 邓瑾例例2.判断积分判断积分2222341ddxyxyxy 的正负号的正负号.解解:分积分域为分积分域为123,D DD那那么么原式原式=12231ddDxyxy 22231ddDxyxy 32231ddDxyxy 1ddDxy 3331ddDxy 32(43)23D32D11Dyxo3(12)0 猜想结果为负猜想结果为负 但不好估计但不好估计.舍去此项舍去此项15四川大学数学学院 邓瑾例例3.3.估计下列积分之估计下列积分之值值22ddI:10100coscosDxyDxyxy 解解:D 的面积为的面积为2(10 2)200 由于由于221100coscosxy 积分性质积分性质5200200I102100即即:1.96 I 210101010D11001102xyo16四川大学数学学院 邓瑾四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算17xoabxdxx 如果一个立体上垂直于一定轴的各个截面面积已如果一个立体上垂直于一定轴的各个截面面积已知，那么，这个立体的体积可用定积分来计算知，那么，这个立体的体积可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积四川大学数学学院 邓瑾18 dbax 设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为12()()(,)xyxDx yaxb 任取任取0,xa b 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为(,)dDVf x y 2010()00()()(,)dxxA xf xyy 截面积为截面积为21()()(,)dxxf x yy ()dbaA xx 截柱体的截柱体的2()yx 1()yx zxyoab0 xD四川大学数学学院 邓瑾ydcxo2()xy 1()xy y ddcy 12(,)()(),Dx yyxycyd 同样同样,曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算(,)dDVf x y 21()()(,)dyyf x yx 21()()(,)dyyf x yx ddcy 19四川大学数学学院 邓瑾内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义(,)dDf x y 01lim(,)niiiif (dd d)x y 2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法20四川大学数学学院 邓瑾被积函数相同被积函数相同,且非负且非负,思考与练习思考与练习2211ddxyIxyxy 21ddxyIxyxy 11311ddIxyxy 解解:123,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知213III 11xyo1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:21四川大学数学学院 邓瑾2.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,那么那么31d,DIyx 232d,DIy x 1323dDIyx 的大小顺序为的大小顺序为()123213321312();();();().A IIIB IIIC IIID III 提示提示:因因 0 y 1,故故122;yyy D故在故在D上有上有30,x 又又因因133232yxyxy x yox1D22四川大学数学学院 邓瑾3.计算计算2200sin()d d.Ixyx y 解解:cos()xy 20 20 d y20sincos dyyy cossinyy2 2200dsin()dIyxyx 20 23四川大学数学学院 邓瑾4.证明证明:221(sincos)d2,Dxy 其中其中D 为为01,01.xy 解解:利用题中利用题中 x,y 位置的对称性位置的对称性,有有22(sincos)dDxy 222212(sincos)d(sincos)dDDxyyx 222212(sincos)d(sincos)dDDxxyy22(sincos)dDxx 242sin()dDx 2214201,sin()1,xx 又又 D 的面积为的面积为 1,故结论成立故结论成立.yox1D124四川大学数学学院 邓瑾0.40.5I 备用题备用题1.估计估计 的值的值,其中其中 D 为为22d216DIxyxy 01,02.xy解解:被积函数被积函数21(,)()16f x yxy 2 D 的面积的面积1(0,0)4Mf 的最大值的最大值(,)Df x y在在 上上2211(1,2)534mf(,)f x y的最小值的最小值22,54I故故yox2D125四川大学数学学院 邓瑾220 xy22ln()0 xy2.判断判断的正负的正负.221ln()dd(0)xyxyxy 解：解：1xy 当当时，时，故故22ln()0 xy又当又当时，时，1xy 于是于是2()xy1 221ln()dd0 xyxyxy 1111xyoD26
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