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2.1.1椭圆及其标准方程,第二章 2.1椭圆,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这两个 F1，F2叫做椭圆的焦点， |F1F2|叫做椭圆的焦距.,定长(大于|F1F2|),定点,两焦点的距离,知识点二椭圆的标准方程,F1(c,0)，F2(c,0),F1(0，c)，F2(0，c),c2a2b2,1.平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.() 2.椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为定值.() 3.已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上，其标准方程不同.(),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一椭圆定义的应用,例1点P(3,0)是圆C：x2y26x550内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.,解方程x2y26x550化成标准形式为(x3)2y264，圆心为(3,0)，半径r8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|MP|r8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆.,反思感悟椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视. 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量. 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.,解析 2，故点P的轨迹不存在； 因为|PF1|PF2|F1F2|4，所以点P的轨迹是线段F1F2； 到定点F1(3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).,跟踪训练1下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上) 已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2| 的点P的轨迹为椭圆； 已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段； 到定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.,题型二求椭圆的标准方程,例2求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；,解因为椭圆的焦点在y轴上，,又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，,(2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点；,解因为椭圆的焦点在y轴上，,又c2，所以b2a2c26，,由ab0，知不合题意，故舍去；,方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn).,所以所求椭圆的方程为5x24y21，,反思感悟求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件. (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0且mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.,跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；,则2a10，c4，故b2a2c29，,(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；,解设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，,(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).,题型三椭圆中焦点三角形问题,例3(1)已知P是椭圆 上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积；,解由椭圆的标准方程，知a ，b2，,在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2， 即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，,(2)已知椭圆 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|4，求F1PF2的大小.,|PF2|2a|PF1|2，,又0F1PF2180， F1PF2120.,反思感悟在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数. 在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.,跟踪训练3已知两定点F1(1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|PF2|2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程；,解依题意知|F1F2|2， |PF1|PF2|2|F1F2|42|F1F2|， 点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，,(2)若F1PF260，求PF1F2的面积.,解设m|PF1|，n|PF2|，则mn2a4. 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2m2n22mncosF1PF2， 4(mn)22mn(1cos 60)，解得mn4.,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,待定系数法求椭圆的标准方程,则a2b0矛盾，舍去.,方法二设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB).,素养评析通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率.这也正是数学运算策略升级的有力佐证.,3,达标检测,PART THREE,1.已知F1，F2是定点，|F1F2|8，动点M满足|MF1|MF2|8，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段,1,2,3,4,5,解析|MF1|MF2|8|F1F2|， 点M的轨迹是线段F1F2.,1,2,3,4,5,2.椭圆4x29y21的焦点坐标是,1,2,3,4,5,解析焦点在y轴上，cos sin ，,1,2,3,4,5,25,解析由椭圆的定义知，372a，得a5，则ma225.,解设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0且mn)，,1,2,3,4,5,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.,
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