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专题6 算法、推理、证明、排列、组合与二项式定理,第2讲排列、组合、二项式定理,考情考向分析 1考查计数原理、排列、组合的实际应用 2考查二项式定理展开式中的指定项(或系数)及系数和,考点一计数原理及排列组合 1(特殊元素位置)某毕业典礼由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位则该毕业典礼的节目演出顺序的编排方案共有() A72种B48种 C42种D54种 解析：若节目甲排在第一位，则节目乙有4种排法； 若节目甲排在第二位，则节目乙有3种排法 答案：C,2(相邻问题)5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端，则不同的排法种数为() A24B32 C36D40 答案：C,3(不相邻问题)某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为() A360B520 C600D720,答案：C,4(排列、组合混合)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 () A1 344种B1 248种 C1 056种D960种 解析：先考虑中间行数字和为5的所有情况，分三步：,答案：B,5(均匀分组)上合组织青岛峰会于2018年6月9日到11日在青岛举行为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有 () A96种B100种 C124种D150种 解析：因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分 当按照1,1,3来分时，不同的分法共有,根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有 NN1N2150(种)，故选D. 答案：D,1元素、位置分析法 若以元素分析为主，则需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，则需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置；若有多个约束条件，则往往以考虑一个约束条件为主，同时兼顾其他条件 2相邻、不相邻问题 对于某几个元素必须相邻的排列问题，可以用捆绑法来求解，即将需要相邻的元素捆绑为一个元素，再与其他元素一起进行排列，同时要注意捆绑元素的内部也需要排列 对于元素的不相邻问题，可先把没有特殊要求的元素进行排列，再把不相邻的元素插入中间或两端,3分组问题,考点二二项式定理 1(求特定项)(2018浙江金华十校模拟改编)在(x24)5的展开式中，含x6的项为_ 解析：因为(x24)5的展开式的第r1项 答案：160 x6,2(求特定项系数)(2018甘肃兰州一中模拟)(x2xy)4的展开式中，x3y2的系数是_ 解析：法一：(x2xy)4(x2x)y4， 因为(x2x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6212.,法二：(x2xy)4表示4个因式x2xy的乘积， 在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2， 即可得到含x3y2的项， 答案：12,3(系数和)已知(1x)44(1x)36(1x)24x5a0a1xa2x2a3x3a4x4，那么a2a4的值为() A9B18 C25D41 解析：法一：取x1，得a0a1a2a3a4(11)44(11)36(11)2451. 取x1，得a0a1a2a3a4(11)44(11)36(11)24581. 取x0，得a016.,即(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4. 取x0，得a016. 取x1，得a0a1a2a3a4(21)41. 取x1，得a0a1a2a3a4(21)481. 故a0a2a441，则a2a425. 答案：C,答案：D,A3B5 C6D7 答案：D,1(ab)n中的特定项,2特定项系数 求二项式与代数式的积的展开式的特定项的系数问题的关键：一是将二项式看作一个整体，利用分配律整理所给式子；二是利用二项展开式的通项公式，求特定项，特定项的系数即为所要求的系数 破解(xyz)n的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单，若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数,3赋值法求系数和 赋值法是指对二项式中的未知元赋值，从而求得二项展开式的各项的系数和的方法此种方法所体现的是从一般到特殊的转化思想 4二项式系数最值,1混淆“类”与“步” 典例1如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_,解析按区域1与3是否同色分类，分两类(正确分类是解决本题的关键) 第二类，区域1与3不同色：第一步，涂区域1与3，有A种方法； 第二步，涂区域2，有2种涂色方法； 第三步，涂区域4，只有1种涂色方法； 故由分类加法计数原理知，不同的涂色种数为247296.(先涂区域1和3是化解本 题难点和避开易错点的关键) 答案96,2混淆排列与组合 典例2从5个班级中选10人组成一个篮球队，有_种选法 解析把10个指标分成5份，但是并非每个班级都需要有人参加，因此本题是组合问题，而不是排列问题(指标是相同的，只需要考虑分组) 答案1 001,3忽视“平均分组” 典例3现有6种杂志各1本，将其分给甲、乙、丙三人，每人2本，有_种不同的分法 解析显然6种杂志是不同的6种，(对象不同，不可以平均分组) 答案90,4错用二项展开式的通项公式 典例4(x2x1)10的展开式中x5的系数为() A1 452B252 C840D360 答案A,易错防范解此类题的易错点是不会处理含有多项(三项及以上)的展开式问题一般情况下，可借助二项展开式的通项，把某一部分看成一个整体，再运用二项式定理解此类题时，还可以考虑运用计数原理来解决,5混淆二项式系数与二项展开式系数 A1B1 C2D2,解析由题意知二项式系数和为2n32，即n5，(正确处理二项式系数和为2n) 二项展开式的通项为 答案C,第m项：此时r1m即rm1，直接代入通项； 常数项：该项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0即可,
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