2016高考数学大一轮复习4.5两角和与差的正弦余弦正切公式教师用书理苏教版

4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()；cos()cos cos sin sin (C()；sin()sin cos cos sin (S()；sin()sin cos cos sin (S()；tan()(T()；tan()(T()2二倍角公式sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如T()可变形为tan tan tan()(1tan tan )，tan tan 11.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使tan 22tan .()(5)设sin 2sin ，(，)，则tan 2.()1(2013浙江改编)已知R，sin 2cos ，则tan 2 .答案解析sin 2cos ，sin24sin cos 4cos2.化简得：4sin 23cos 2，tan 2.2若，则tan 2 .答案解析由，等式左边分子、分母同除cos 得，解得tan 3，则tan 2.3(2013课标全国)设为第二象限角，若tan，则sin cos .答案解析tan，tan ，即且为第二象限角，解得sin ，cos .sin cos .4(2014课标全国)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为 答案1解析f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用例1(1)设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()的值为 (2)若0，0，cos()，cos()，则cos() .答案(1)3(2)解析(1)由根与系数的关系可知tan tan 3，tan tan 2.tan()3.(2)cos()cos()()cos()cos()sin()sin()0，则，sin().又0，则0，所以原式(cossin)(cossin)cos2sin2cos .(2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .题型三三角函数公式运用中角的变换例3(1)已知，均为锐角，且sin ，tan().则sin() ，cos .(2)(2013课标全国改编)已知sin 2，则cos2 .答案(1)(2)解析(1)，(0，)，从而.又tan()0，0.sin()，cos().为锐角，sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin()().(2)因为cos2，所以cos2.思维升华1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的配角技巧：2()()，()，()()等(1)设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos .(2)已知cos()sin ，则sin()的值是 答案(1)(2)解析(1)依题意得sin ，cos().又，均为锐角，所以0cos()因为，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin .(2)cos()sin ，cos sin ，(cos sin )，sin()，sin()，sin()sin().高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 22，22，则 .(2)(2014课标全国改编)设(0，)，(0，)，且tan ，则2 .(3)已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2 .(4) .思维点拨(1)注意和差公式的逆用及变形(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找，的关系(3)可以利用sin2cos21寻求sin cos 与sin cos 的联系(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化解析(1)原式，又tan 22，即tan2tan 0，解得tan 或tan .22，0，2k2k(kZ)，4k20，cos 0，cos sin 0，tan 1.8. .答案4解析原式4.9已知 2tan ，试确定使等式成立的的取值集合解因为 ，所以2tan .所以sin 0或|cos |cos 0.故的取值集合为|k或2k2k或2k2k，kZ10已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，所以，故0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记APB，则sin 2的值是 答案解析由周期公式可知函数周期为2，AB2.过P作PDAB于D，由函数的最大值为1，知PD1，根据函数的图象，可得AD，BD.在RtAPD和RtBPD中，sinAPD，cosAPD，sinBPD，cosBPD.所以sin sin(APDBPD)，cos cos(APDBPD)，故sin 22sin cos 2.2若，且sin2cos 2，则tan 的值为 答案解析，且sin2cos 2，sin2cos2sin2，cos2，cos 或(舍去)，tan .3若tan ，(0，)，则sin(2) .答案解析因为sin 2，又由(0，)，得2(0，)，所以cos 2，所以sin(2)sin 2coscos 2sin.4已知函数f(x)sincos，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0，求证：f()220.(1)解f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)的最小值为2.(2)证明由已知得cos cos sin sin ，cos cos sin sin ，两式相加得2cos cos 0，0，f()224sin220.5已知f(x)(1)sin2x2sin(x)sin(x)(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sincossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.所以sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范围是.