谢冉1029公开课

第二节第二节 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示基础梳理基础梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个 向量a a和b b,作OA=a a,OB=b b,则AOB=叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角的范围是 ,a a与b b同向时,夹角=;a a与b b反向时,夹角=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是 ,则a a与b b垂直,记作 .2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果 是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a a,一对实数 ,使 .其中,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.21e,e12e,e不共线的向量非零ab互相垂直不共线 0 2 0存在唯一的),(21aa2211eaeaa(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数 ,使a=a1e1+a2e2.把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a=,其中 a1叫a在x轴上的坐标,a2 叫a在y轴上的坐标.设OA=xe1+ye2,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已知A ,B ,则AB ,即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=,b=,其中b0,则a与b共线向量aba+ba-b坐标a)y,x(11)y,(x11)y,(x22)y,(x11)y,(x221212,yyxxa,)x y（向量OA的坐标（x,y)1212,)xxyy（1212,)xxyy（终点b始点),(21aa),(21aa),(21aa),(21aa),(21bb01221baba题型一题型一 平面向量基本定理平面向量基本定理【例1】如图,在OAB中,OC=OA,OD=1/2OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b,以a、b为基底表示OM.分析 本题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,nR),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.141-ab41CMOM-OCm-n,4ab解 设OM=ma+nb(m,nR),则AM=OM-OA=(m-1)a+nb,因为A,M,D三点共线,所以 ,即m+2n=1.而CB=OB-OC ,又因为C,M,B三点共线,所以 ,即4m+n=1.由 ,解得 ,所以b.21-aa-b21OA-ODAD21n1-1-m1m-n411-4m2n1,4mn11m,73n713ab77OM学后反思 (1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来方便.(2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.举一反三举一反三1.已知 =(1,2),=(-2,3),a=(-1,2),以 为基底将a分解为 的形式.1e2e12,e e1 12 2ee解析：1 12 212121211212122(1,2)(2,3)(2,23).1,2121147,2324777aeeaaee 解得题型二题型二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及 ,求点C、D的坐标和CD的坐标.BA31-DAAB,31 AC分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式列方程组,求出坐标.解 设点C、D的坐标分别为 由题意得因为 所以有 和 解得 和 所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4).(-3,-6).BA),y-,2x-(-1DA(3,6),AB2),-y1,(xAC2211),y,(x),y,(x221122-y1,1x112,y-21,x-1-224y0,x110,y-2,x22BA31-DAAB,31 AC学后反思 向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一个“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN的坐标.举一反三举一反三解析：A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3),CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24),M(0,20).同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18).M(0,20),N(9,2),MN=(9,-18).20,y0,x24,4y3,3x题型三题型三 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a a=(3,2),b b=(-1,2),c c=(4,1).若(a a+kc c)(2b b-a a),求实数k;分析 由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.解 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),又(a+kc)(2b-a),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0k .1316-学后反思 (1)与平行有关的问题,一般地,可考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解.(2)向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题.举一反三举一反三3.a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？解析：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数，使ka+b=(a-3b),即（k-3,2k+2）=(10,-4)，得当k=-时，ka+b与a-3b平行，此时ka+b=-a+b=-(a-3b).=-0,ka+b与a-3b反向.k3101,k.2k243 解得13131313题型四题型四 向量的综合应用问题向量的综合应用问题【例4】（12分）已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.分析 利用向量相等,建立点P(x,y)与已知向量之间的关系,表示出P点的坐标,然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征,从而解决问题.解 (1)O(0,0),A(1,2),B(4,5),OA=(1,2),AB=(3,3),OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).2若P在x轴上,则2+3t=0,解得t ;若P在y轴上,则1+3t=0,解得 ;.4若P在第二象限,则 解得 .632-0,3t20,3t131t3132-t(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),8若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,而 无解,.10四边形OABP不能成为平行四边形.1223t-31,3t-3学后反思 (1)向量的坐标表示,实际上是把向量的运算代数化,从而实现了数与形的有机结合.这样,很多的几何问题都可以转化为代数的运算,体现了向量的优越性.(2)利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法,而利用方程(组)是求解的重要工具,这一方法需灵活应用.4.已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若AP=AB+AC(R).(1)试求为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上;（2）试求为何值时，点P在第三象限内.举一反三举一反三解析：设点P的坐标为（x,y），则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+AC=(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).由AP=AB+AC，得（x-2,y-3）=（3+5,1+7）,x235x55y31 7y47（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，则5+5=4+7,解得=.因此，当=时，点P在第一、三象限的角平分线上.（2）若点P在第三象限内，则有-1.因此，当-1时，点P在第三象限内.x550,y470,1212易错警示易错警示【例1】已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为 .错解 由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4),.552,5552(2,4)|AB|AB错解分析 与AB共线有两种情况:一是同向共线,一是反向共线,“错解”中忽略了反向共线这一情况.正解 与AB同向时为 与AB反向时为 .552,55|AB|AB.552,-55|AB|AB【例2】已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线AB平行于直线CD吗?错解 AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2),又22-41=0,ABCD,ABCD.错解分析 在证三点共线或直线平行时,直接由ABCD得ABCD,这是不正确的,因为向量平行与直线平行存在一定的差异:向量平行不等于对应的直线平行,还可能出现直线的重合;而直线平行时,对应的向量平行.所以解题时应区分开这一点.正解 AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2),又22-41=0,ABCD.又AC=(1-(-1),5-(-1)=(2,6),AB=(2,4),A,B,C三点不共线,直线AB与直线CD不重合,ABCD.10.(2009安徽)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB,其中x,yR,则x+y的最大值是.考点演练考点演练解析:建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos 120,sin 120），即设AOC=，则OC=（cos，sin）.OC=xOA+yOB=(x,0)+=(cos,sin)，0120，30+30150.则当=60时，x+y取最大值，最大值为2.13,22B3,22yy0sincoscos23,2sin3sin323sincos2sin30yxxyyxy 11.若对几个向量 存在n个不全为零的实数 使得 成立,则称这几个向量为“线性相关”.依此规定,求 “线性相关”的实数 .(写出一组数值即可,不必考虑所有情况)n321a,a,a,a,k,k,k,kn3210akakaknn2211(2,2)a(1,-1),a(1,0),a321321k,k,k解析：由“线性相关”定义可知 即 所以 取 ,则因此,即为所求的一组值.0,akakak332211(0,0),)2k,-k2kk(k3232100,2kk-0,2kkk323211k3-4.k2,k12答案:21k3-4.k2,k1212.已知ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F.求DF.解析：如图所示,A(7,8),B(3,5),C(4,3),AB=(3-7,5-8)=(-4,-3),AC=(4-7,3-8)=(-3,-5).D是BC的中点,AD=(AB+AC)=(-,-4).又M、N分别为AB、AC的中点,F为AD的中点,DF=-AD=(,2).21217274